Решение простейших задач в сферических координатах.

 

Ротатор – представляет собой частицу, движущуюся по сфере радиуса . Это задача – движение под действием центральных сил, когда потенциальная энергия постоянна, и можно положить равной нулю. .

Угловая часть описывается шаровыми функциями, а для определения радиальной функции берем уравнение

,

где , подставим .

.

- момент инерции.

Энергия ротатора зависит от орбитального квантового числа, магнитное квантовое число, характеризующее проекцию момента на ось Z, в выражение не входит. Собственному значению соответствуют собственные функции , зависящие от m. m может меняться от , каждому значению энергии будут соответствовать (2 l+1) собственных функций, описывающих состояния ротатора, отличающиеся лишь ориентацией момента относительно оси Z, то есть уровень энергии является -кратно вырожденным.

При l= 0 имеем однократно вырожденный уровень, который называется просто невырожденным.

Состояния: l= 0, 1, 2, 3, 4 …

s, p, d, f, g и так далее.

Рассмотрим S и P состояния ротатора.

В S-состоянии , собственная функция , соответствующая нулевому собственному значению энергии , будет равна .

-квадрат модуля – плотность вероятности

В P-состоянии , квантовое число m может принимать три значения: -1, 0, +1, следовательно, собственному значению энергии соответствуют три собственные функции:

Плотности вероятности:

Величина представляет вероятность обнаружить частицу на сфере постоянного радиуса в области углов .

Поскольку квадрат модуля не зависит от угла , вероятность обнаружить частицу в одном и том же интервале углов становится одинаковой. В силу этого произведение соответствует плотности вероятности обнаружить частицу между углами .

Графически распределение плотности вероятности (1), (2), (3) представлены на рисунке:

 

Чтобы поучить полную картину нужно вращать вокруг оси Z. Рис а) и из (1) направление момента относительно оси Z для ротатора в состоянии S не зависит от угла , так как . Покоящаяся же материальная точка может с равной вероятностью находиться в любом месте сферической поверхности радиуса , то есть все положения ротатора возможны и равноправны. Классического аналога S-состояние не имеет.

Из (2) и рис. б) следует, что наиболее вероятной из всех траекторий ротатора в P-состоянии с является та, которая расположена в плоскости (xy), причем состояния с отличаются одно от другого направлением оси вращения: при ротатор обладает правым вращением (момент количества движения параллелен оси Z), а при - левым (момент антипараллелен оси Z).

При l=1 и m =0 наиболее вероятной орбитой ротатора является та орбита, которая лежит в плоскости, проходящей через ось Z (рис. в)). При этом момент направлен перпендикулярно оси Z.

Аналогичным образом можно исследовать состояния с l = 2 (пять значений ), с l =3 и так далее.

Во всех случаях наблюдается размытость электронного облака.

Существуют фотографии электронного облака для различных состояний водородоподобного атома.

Правила отбора.

 

a) ;

b) соответствует правому вращению ;

c) соответствующие левому вращению .

Разрешенными будут только те переходы, для которых изменение квантового числа m орбитального числа ­ l равны

это имеет место для центрально-симметричных систем и, в частности, для атома водорода.

Литература.

 

Шпольский Э.В. «Атомные физика». т. I-II М. Наука, 1984 г.

Блохинцев Д.И. «Основы Квантовой механики» М. Наука, 1983 г.

Гольдин Л.Л., Новикова Г.И. «Введение в квантовую физику». М. Наука, 1988 г.

Матвеев А.Н. «Атомная физика» М.Высшая школа 1989 г.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Квантовая механика» М. Наука 1974 г.

Соколов А.А., Тернов Н.М., Жуковский В.Ч. «Квантовая механика» М. Наука 1979 г.

Фок В.А. «Начала квантовой механики» М Наука 1976 г.

Горяга Г.И. «Конспект лекций по атомной физике». М. Наука, 1985 г.

Киттель Ч. «Введение в физику твердого тела» (перевод с американского издания) М. Наука, 1978 г.

Бонч-Брусевич В.Л. «Физика полупроводников» М. Наука 1977 г.

Шиллинг Г. «Статистическая физика в примерах». М. МИР 1976 г.

Киреев П.С. «Физика полупроводников» М. Высшая школа,1975 г.