Оператор квадрата момента импульса

 

Собственные значения и собственные функции операторов

квантовой механики.

Для каждого оператора можно найти функции, которые являются его собственными функциями, т. е. удовлетворяют требованию

(1)

Это главный постулат квантовой механики.

где - действительное число для ирмитовых операторов и называется собственным значением оператора , принадлежащим собственной функции .

В классической механике:

Уравнение для собственных функций и собственных значений оператора энергии будет

где Е - собственное значение оператора энергии; - собственная функция.

В явном виде.

 

Интегрируя это уравнение в частных производных второго порядка и выбирая те решения, которые удовлетворяют стандартным условиям, получают совокупность собственных функций оператора энергии .

 

Средние значения физических величин.

 

В классической механике каждая динамическая величина имеет определённое значение.

В квантовой механике дело обстоит иначе. Например, система находится в состоянии, которое является результатом суперпозиции состояний с собственными значениями .

Если система находится либо в состоянии , либо в состоянии , то соответствующее измерение даст определенное число или соответственно. Какое значение будет получатся, когда система находится в состоянии

Здесь в классической физике получилось бы одно строго определённое число.

В квантовой механике получается не одно определённое число, а одно из двух чисел: или , или и никаких других. То или другое значение получается не с достоверностью, а лишь с определённой вероятностью. В квантовой механике нельзя приписать динамической переменной определённого значения, но всегда можно приписать определённую вероятность.

А если известны вероятности, то можно вычислить среднее значение.

Среднее значение координаты х.

Если волновая функция нормирована к единице, то

Учитывая, что оператор координаты “ ”есть просто умножение на х:

Аналогично

Второй постулат квантовой механики:

где .- обобщённые координаты.

Например: 1) линейного гармонического осциллятора в нормальном состоянии. Нормированная волновая функция этого состояния известна.

где

все интегралы вида вследствие нечётности подынтегральной

функции.

2) Определим P

Как и в классической механике, в этом случае равны нулю, что и следовало ожидать из соображений симметрии функции относительно х.

3) Вычислим средние значения кинетической и потенциальной энергии:

т. е. средняя потенциальная энергия равна средней кинетической, как и в классической механике.

И как и следовало ожидать, поскольку нулевое состояние есть состояние с определённой энергией.

 

Условия возможности одновременного измерения разных

механических величин.

Согласно одному из основных постулатов квантовой механики, механической величине можно приписывать определённое значение только в том случае, когда это значение является собственным значением - функции, описывающей состояние, в котором находится система.

При каких условиях две или несколько механических могут иметь одновременно определённые значения.

Две механические величины F и G имеют определённые значения, если состояние описывается функцией , являющейся собственной функцией того и другого оператора, т. е. общей собственной функцией.

Например:

Собственные функции этих операторов удовлетворяют уровням.

Где - собственные значения операторов.

Функция равная

удовлетворяет всем этим трем уравнениям, т.е. является общей собственной функцией операторов . Это показывает, что проекции количества движения на все три оси координат могут иметь одновременно определенные значения.

ТЕОРЕМА: Если операторы имеют общие собственные функции, то такие операторы коммутируют.

Пусть общей собственной функцией операторов .

Следовательно,

Обратная теорема: Если операторы коммутируют, то они имеют общие собственные функции.

Динамические переменные имеют общую собственную функцию, следовательно, их операторы коммутируют.

Откуда следует

Аналогично

Координатам соответствующая другой координате составляющая импульса также коммутируют.

Но координата и соответствующая ей составляющая импульса не коммутируют,

т.е.

или

Не могут иметь определенные значения координаты m соответствующие mm составляющие количества движения, либо одна из них имеет определенное значение m тогда другая будет неопределенна.

Составляющие момента импульса не коммутируют:

Соотношения неопределенностей.

В классической механике записаны так .

Т.е. на опыте, исходя на основе физических соображений, не можем одновременно получить абсолютно точные значения. Неопределенности обусловлены не совершенством наших измерений, а самой природой материи.

Квантовая механика приводить к неизбежности этих неопределенностей.

Неопределенности или неточности характеризуются квадратным корнем из среднего квадрата отклонения:

Они указывают верхний предел точности, который может быть достигнут при одновременном измерении координат m импульсов; произведение неточностей не может

быть меньше

Свободная частица.

Одна частица, движущаяся в отсутствие действия сил в направлении, которое мы примем за ось X. Т.к. силы отсутствуют, то U=const мы можем принять ее равной нулю. Функция Гамильтона в классической механике состоит из одной кинетической энергии

при выбранной оси координат x: , оператор импульса будет

Оператор Гамильтона:

Уравнение Шредингера

Частные решения этого уравнения, таковы

Эти условия удовлетворяют стандартным условиям конечности m непрерывности во всем пространстве при любых положительных значениях E: E>0.

Спектр собственных значений энергии в данном случае сплошной, в отличие от дискретного спектра.

 

Движение в центральном поле.

Оператор момента количества движения.

 

Движение в поле центральных сил. Важную роль играет в квантовой механике оператор момента количества движения.

В декартовых координатах:

Теперь мы должны перейти в этой главе к сферическим координатам:

Напишем полный дифференциал как функция x, у, z.

.

Переход к сферическим координатам, пологая, что r и V остаются постоянными, а изменяется то

Аналогично выводится

Операторы некоммутирующие операторы, поэтому определить можно одну компоненту, а две другие не определяются.

Оператор квадрата момента количества движения

- оператор Лежандра.

Каждый из операторов коммутирует с оператором .

Оператор квадрата момента импульса имеет общие собственные функции с операторами каждой из его проекций.

Законы сохранения в центрально симметричном поле.

Оператор энергии полярных координатах:

Вводится оператор радиального момента:

Если принять во внимание, что то .

Оператор любой составляющей момента количества движения коммутирует с .

.

Это означает, что численное значение момента количества движения сохраняется во времени. и коммутируют с , следовательно все три оператора имеют общие собственные функции.

А поэтому численное значение момента количества движения, одна из его проекций и энергия могут одновременно определенные значения.

, где У - шаровая функция. .

Шаровыми функциями называются шаровые полиномы (одновременные), удовлетворяющие уравнению Лапласа или в декартовых координатах

в раскрытом виде

В сферических координатах

Где l есть квантовое число момента количества движения.

- собственное значение квадрата момента количества движения.

т.е.

тогда момент количества движения принимает собственные значения - собственная функция оператора.