Квантово-механические операторы

 

Вопросы:

1 Линейные операторы.

2 Коммутативные операторы.

3 Самосопряжённые (эрмитовы) операторы.

4 Основные квантово-механические операторы.

 

Принятые обозначения:

· – произвольная функция.

· − оператор импульса.

· − операторы проекции импульса на оси координат.

· − оператор полной энергии.

· – потенциальная энергия.

· − операторы проекций момента импульса на оси координат.

· − оператор Лапласа.

 

Основные формулы:

· Оператор линейный, если:

· Операторы и коммутативны, если их коммутатор:

· Оператор эрмитов (самосопряжённый), если:

где − произвольные функции.

· Оператор проекции и квадрата импульса:

· Оператор полной энергии (гамильтониан):

.

· Оператор проекции момента импульса:

· Оператор квадрата момента импульса:

 

Задачи

 

1 Проверить следующее операторное равенство: .

2 Найти результат действия операторов и на функции: a) и б) .

3 Найти собственное значение оператора , принадлежащее собственной функции , если:
а)
б)
в)

4 Найти собственные функции и собственные значения следующих операторов:
а) , если (x)= (x+a), а – постоянная;
б) , если =0 при x=0 и x= .

5 Проверить следующие правила коммутации:
а)
б)
в)
если известно: и

6 С помощью правил коммутации, приведенных в предыдущей задаче, показать, что:
а) оператор коммутирует с операторами
б) .

Ответы

 

2. ; ; ; . 3. 4; 1; . 4. , где , ; , где ,

Уравнение Шредингера

 

Вопросы:

1 Временное уравнение Шредингера.

2 Стационарное уравнение Шредингера

3 Уравнение Шредингера в операторной форме

4 Стандартные условия, накладываемые на волновую функцию.

 

Принятые обозначения:

· – мнимая единица, =

· − волновая функция, описывающая состояние частицы.

· − масса частицы.

· – полная энергия частицы.

· – потенциальная функция координат и времени.

· − постоянная Планка.

· − оператор Лапласа.

· – вероятность.

· – коэффициент прозрачности.

 

Основные формулы:

· Временное уравнение Шредингера:

.

· Стационарное уравнение Шредингера:

,

если потенциал не зависит от времени.

· Вероятность обнаружить частицу в интервале от x₁ до x₂:

· Оператор Лапласа в сферических координатах для функции

· Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера конечной ширины:

,

где – высота потенциального барьера, − ширина барьера.

 

Задачи

 

1 Написать уравнение Шредингера для: а) электрона, находящегося в водородоподобном атоме; б) линейного гармонического осциллятора.

2 Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины с абсолютно непроницаемыми стенками . Найти вероятность пребывания частицы в области .

3 Электрон наводится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы такова, что энергетические уровни расположены весьма густо. Найти плотность уровней , т.е. их число на единичный интервал энергии, в зависимости от . Вычислить для , если ширина ямы равна 1 см.

4 Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной . Определить среднее значение координаты электрона, если

5 Частица массы находится в одномерном потенциальном поле , вид которого показан на рисунке 2, где . Найти:
а) уравнение, определяющее возможные значения энергии частицы в области , привести это уравнение к виду: , где . Показать с помощью графического решения этого уравнения, что возможные значения энергии частицы образуют дискретный спектр;
б) минимальное значение энергии , при котором появляется первый энергетический ypoвeнь в области . При каком минимальном значении появляется n -ый уровень?

6 Волновая функция частицы массы для основного состояния в одномерном потенциальном поле имеет вид , где − нормировочный коэффициент, − положительная постоянная. Найти с помощью уравнения Шредингера постоянную и энергию частицы в этом состоянии.

7 Определить энергию электрона атома водорода в стационарном состоянии, для которого волновая функция , где , и − некоторые постоянные.

8 Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид , где − некоторая постоянная, а − первый боровский радиус. Найти:
а) наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром; 6) среднее значение модуля кулоновской силы; в) среднее значение потенциальной энергии электрона в поле ядра.

9 Электрон с энергией движется в положительном направлении оси (смотри рисунок 3). Высота U потенциального барьера равна 5 эВ. При какой ширине d барьера вероятность прохождения электрона через него будет равна 0,2?

 

Ответы

 

2. . 3. 0,8 10⁷ уров/эВ. 4. . 5. б) . 6. ; 7. . 8. r_вф=r₁; 9.» 0,5 нм.