Квантовые свойства света. Фотоэффект

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА

(национальный исследовательский университет)"

 

 

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

АТОМНАЯ ФИЗИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ

ЭЛЕМЕНТЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ

 

Задачи для аудиторной и самостоятельной работы

 

Самара 2012

УДК 535.853

Составители: Е.А.Китаева, В.Г. Макарян, И.Л. Стукалина

 

 

Квантовая механика. Атомная физика и спектроскопия. Элементы ядерной физики: Задачи для аудиторной и самостоятельной работы / Самарский гос. аэрокосм. ун-т. Сост. Е.А.Китаева, В.Г. Макарян, И.Л. Стукалина; Самара, 2012. 32 с.

 

Пособие содержит вопросы для самоконтроля, принятые обозначения и основные формулы. Методические указания составлены в соответствии с программой по физике для студентов дневного отделения радиотехнического факультета. Подготовлено на кафедре физики.

 

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королёва.

 

Рецензент: к.т.н., доцент А.И. Колпаков

 

Тепловое излучение

Вопросы:

1 Энергетическая светимость.

2 Испускательная и поглощательная способность тел.

3 Абсолютно чёрное тело.

4 Закон Кирхгофа.

5 Закон Стефана-Больцмана.

6 Закон смещения Вина.

7 Распределение энергии в спектре абсолютно чёрного тела.

8 Формула Рэлея-Джинса.

9 Квантовая гипотеза и формула Планка.

 

Принятые обозначения:

· ω – циклическая частота.

· Т – термодинамическая температура.

· R − энергетическая светимость.

· − испускательная способность тела (спектральная плотность энергетической светимости).

· − поглощающая способность тела.

· u − спектральная плотность энергии теплового излучения.

· − объёмная плотность энергии теплового излучения.

· σ – постоянная Стефана-Больцмана.

· – постоянная Вина.

· k – постоянная Больцмана.

· ħ, h – постоянная Планка.

· с – скорость света.

· ε – степень черноты серого тела.

 

Основные формулы:

· Закон Кирхгофа:

,

где – универсальная функция Кирхгофа (испускательная способность абсолютно чёрного тела).

· Зависимость максимальной спектральной плотности энергетической светимости от температуры:

,

где

· Закон Стефана-Больцмана:

.

· Энергетическая светимость серого тела:

,

где – степень черноты серого тела.

· Закон смещения Вина:

,

где – это длина волны, на которую приходится максимальная энергия излучения.

· Формула Рэлея-Джинса:

,

где k – постоянная Больцмана

· Формула Планка:

, .

· Объемная плотность энергии:

.

· Связь универсальной функции Кирхгофа со спектральной плотностью энергии:

 

Задачи

1 Температура абсолютно черного тела изменилась при нагревании от 1000 К до 3000 К. Во сколько раз увеличилась при этом его энергетическая светимость? На сколько изменилась длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости? Во сколько раз увеличилась его максимальная спектральная плотность энергетической светимости?

2 Абсолютно черное тело имеет температуру =2900 К. В результате остывания тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, изменилась на 9 мкм. До какой температуры охладилось тело?

3 Радиус вольфрамовой нити в электрической лампочке равен 0,2 мм, длина равна 5 см. При включении лампочки в цепь с напряжением 220 В через лампочку течет ток силой 0,27 А. Найти температуру нити лампочки. Считать, что в состоянии равновесия все выделяющееся в нити тепло теряется в результате лучеиспускания. Коэффициент черноты для вольфрама при этой температуре равен 0,31.

4 Энергетическая светимость абсолютно черного тела равна 3 Вт/см ². Определить длину волны, отвечающую максимуму испускательной способности этого тела.

5 Излучение солнца по спектральному составу близко к излучению абсолютно черного тела, для которого длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости равна 0,48 мкм. Найти массу, теряемую солнцем ежесекундно за счет излучения. Оценить время, за которое масса солнца уменьшится на 1%.

6 Два абсолютно черных тела имеют одинаковую температуру 1000 К. Площадь поверхности одного тела в два раза меньше площади поверхности второго тела. Первое тело охлаждают на 500 К. На сколько нужно нагреть второе тело, чтобы общая энергетическая светимость тел не изменилась?

7 Медный шарик радиусом 0,6 см поместили в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика 300 К. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найти, через сколько времени его температура уменьшится в 2 раза.

8 Поверхность тела нагрета до температуры 1000 К. Затем одна половина этой поверхности нагревается на 100 К, а другая охлаждается на 100 К. Во сколько раз изменится энергетическая светимость поверхности этого тела?

9 Какую мощность надо подводить к зачерненному металлическому шарику радиусом 2 см, чтобы поддерживать его температуру на 27 К выше температуры окружающей среды? Температура окружающей среды равна 293 К. Считать, что тепло теряется только вследствие излучения.

10 Температура абсолютно черного тела равна 2 кК. Определить: а) спектральную плотность энергии для длины волны λ=600 нм; б) объемную плотность энергии в интервале длин волн от λ₁=590 нм до λ₁=610 нм. Принять, что средняя спектральная плотность энергии тела в этом интервале равна значению, найденному для длины волны λ=600 нм.

11 Исследование спектра излучения солнца показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны λ=500 нм. Принимая солнце за абсолютно черное тело, определить: а) энергетическую светимость солнца; б) поток энергии, излучаемый солнцем; в) массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых солнцем за 1 с.

12 Муфельная печь потребляет мощность Р = 1 кВт. Температура ее внутренней поверхности при открытом отверстии площадью S = 25 см ² равна 1,2 кК. Считая, что отверстие печи излучает как черное тело, определить, какая часть мощности рассеивается стенками.

 

Ответы

 

1. 81; 1,93 мкм; в 243 раза. 2. 290 К. 3. 2700 К. 4. 3,4 мкм. 5. ; . 6. 100 К. 7. 3 часа. 8. 1,06. 9. 3 Вт. 10. 30 10⁹ Вт/м ³. 11. 64 МВт/м ²; 3,9 10²⁶ Вт; 4,3 10⁹ кг. 12. 0,71.

Задачи

 

1 При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом с длиной волны 0,35 мкм и 0,54 мкм обнаружили, что соответствующие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в два раза. Найти работу выхода с поверхности этого металла.

2 Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: а) ультрафиолетовым излучением с длиной волны мкм; б) -излучением с длиной волны пм, если работа выхода электронов из серебра равна 4,7 эВ.

3 Определить красную границу λ_ο фотоэффекта для цезия, если при облучении его поверхности фиолетовым светом длиной волны λ=400 нм максимальная скорость фотоэлектронов равна 0,65 Мм/с.

4 Для прекращения фотоэффекта, вызванного облучением ультрафиолетовым светом платиновой пластинки, нужно приложить задерживающую разность потенциалов =3,7 В. Если платиновую пластинку с работой выхода эВ заменить другой пластинкой, то задерживающую разность потенциалов придется увеличить до 6 В. Определить работу выхода электронов с поверхности этой пластинки.

5 Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вылетающих из металла при облучении -фотонами с энергией 1,53 МэВ.

6 Максимальная длина волны света, вызывающего фотоэффект с поверхности пластины равна 0,5 мкм. Если на эту пластину подать задерживающий потенциал, равный 2 В, то при какой минимальной частоте начнётся фотоэффект?

7 Лазер мощностью 1 мВт генерирует монохроматическое излучение с длиной волны равной 0,6 мкм. За какое время лазер испускает фотоны, суммарная масса которых равна массе покоя протона ()?

8 Сетчатка глаза начинает реагировать на жёлтый свет с длиной волны 600 нм при мощности падающего на него излучения Вт. Сколько фотонов при этом падает на сетчатку каждую секунду?

9 Найти массу фотона, импульс которого равен импульсу молекулы водорода при температуре t = 20 ° С. Скорость молекулы считать равной средней квадратичной скорости.

10 Найти частоту ν света, вырывающего из металла электроны, которые полностью задерживаются разностью потенциалов 3 В. Фотоэффект прекращается при частоте света Гц. Найти работу выхода электрона из металла.

11 Фотон с λ=0,170 вырывает из покоившегося атома электрон, энергия связи которого Е = 69,3 кэВ. Найти импульс, переданный атому в результате этого процесса, если электрон вылетел под прямым углом к направлению падающего фотона.

12 При некотором максимальном значении задерживающей разности потенциалов фототок с поверхности лития (), освещаемого светом с длиной волны λ_o, прекращается. Изменив длину волны света в n =1,5 раза, установили, что для прекращения тока необходимо увеличить задерживающую разность потенциалов в 2,0 раза. Вычислить λ_ο.

 

 

Ответы

 

1. 1,9 эВ. 2. м/с; м/с. 3. 651 нм. 4. 4 эВ. 5. м/с. 6. Гц. 7. с. 8. . 9. кг. 10. Гц. 11. кг м/с. 12. м.

 

Задачи

 

1 Стенка колбы у электролампы накаливания представляет собой посеребренную сферу радиусом 4 см. Лампа потребляет мощность 50 Вт, 90% которых затрачивается на излучение. Во сколько раз давление газа в колбе, равное 1,5 мкПа, меньше светового давления?

2 Небольшое идеально отражающее зеркальце массы 10 мг подвешено на невесомой нити длины 10 см. Найти угол, на который отклонится нить, если по нормали к зеркальцу в горизонтальном направлении произвести выстрел коротким импульсом лазерного излучения с энергией 13 Дж?

3 Пучок монохроматического света с длиной волны 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток энергии имеет мощность 0,6 Вт. Определить силу давления, испытываемую этой поверхностью, а также число фотонов, падающих на нее за время 5 с.

4 Параллельный пучок света длиной волны λ=500 нм падает нормально на зачерненную поверхность, производя давление p = 10 мкПа. Определить: а) концентрацию фотонов в пучке; б) число фотонов, падающих на поверхность площадью 1 м ² за время 1 с.

5 Русский астроном Ф.А. Бредихин объяснил форму кометных хвостов световым давлением солнечных лучей. Найти световое давление солнечных лучей на абсолютно черное тело, помещенное на таком же расстоянии от Солнца, как и Земля. Какую массу должна иметь частица в кометном хвосте, помещенная на этом расстоянии, чтобы сила светового давления на нее уравновешивалась силой притяжения частицы Солнцем? Площадь частицы, отражающую все падающие на нее лучи, считать равной S =0,5·10^-12 м ². Солнечная постоянная K = 1,37 кВт/м ².

6 Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на рассеивающее вещество. При этом длина волны излучения, рассеянного под углами 60 и 120 градусов отличаются друг от друга в два раза. Считая, что рассеяние происходит на свободных электронах, найти длину волны падающего излучения.

7 Фотон с энергией 1 МэВ рассеялся на свободном покоившемся электроне. Найти кинетическую энергию электрона отдачи, если в результате рассеяния длина волны фотона изменилась на 25%.

8 В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол θ=90°. Энергия рассеянного фотона равна 0,4 МэВ. Определить энергию фотона до рассеяния.

9 Фотон с энергией 0,75 МэВ рассеялся на свободном электроне под углом θ=60°. Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить: а) энергию рассеянного фотона; б) кинетическую энергию электрона отдачи; в) направление его движения.

10 При комптоновском рассеянии энергия падающего фотона распределяется поровну между рассеянным фотоном и электроном отдачи. Угол рассеяния . Найти энергию и импульс рассеянного фотона.

 

 

Ответы

 

1. 10. 2. . 3. ; . 4. ; . 5. ; . 6. . 7. . 8. 9. ; ; . 10. ; .

 

Задачи

 

1 Найти длину волны де Бройля для: а) электрона, движущегося со скоростью м/с; б) атома водорода, движущегося со средней квадратичной скоростью при температуре 300 К; в) шарика массой 1 г, движущегося со скоростью V = 1 см/с.

2 α-частица движется по окружности радиусом r = 8,3 мм в однородном магнитном поле, напряженность которого Н = 18,9 кА/м. Найти длину волны де Бройля для α-частицы.

3 Частица движется слева направо в одномерном потенциальном поле, показанном на рисунке 1. Левее барьера, высота которого U = 15 эВ, кинетическая энергия частицы Т = 20 эВ. Во сколько раз и как изменится дебройлевская длина волны частицы при переходе через барьер.

4 Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 100 пм до 50 пм.

5 Параллельный пучок моноэнергетических электронов падает на диафрагму с узкой прямоугольной щелью ширины 1,0 мкм. Определить скорость этих электронов, если на экране, отстающем от щели на расстояние 50 см, ширина центрального дифракционного максимума 0,36 мм.

6 Пучок электронов с кинетической энергией 10 кэВ проходит через тонкую поликристаллическую фольгу и образует систему дифракционных колец на экране, отстоящем от фольги на 10 см. Найти межплоскостное расстояние, для которого максимум отражения третьего порядка соответствует кольцу с радиусом 1,6 см.

7 Частица массы находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы . Найти возможные значения энергии частицы, имея в виду, что реализуются лишь такие состояния ее движения, для которых в пределах данной ямы укладывается целое число дебройлевских полуволн.

8 Оценить наименьшие ошибки, с которыми можно определить скорость электрона, протона и шарика массы 1 мг, если координаты частиц и центра шарика установлены с неопределенностью 1 мкм.

9 Показать, что для частицы, неопределенность местоположения которой , где − ее дебройлевская длина волны, неопределенность скорости равна по порядку величины самой скорости частицы.

10 Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы . Оценить с помощью соотношения неопределенностей силу давления электрона на стенки этой ямы при минимально возможной eго энергии.

11 Частица массы движется в одномерном потенциальном поле U = (гармонический осциллятор). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле.

 

Ответы

 

1. 730 10^-12 м; 145 10^-12 м; 6,6 10^-29 м. 2. 10,5 пм. 3. увеличится в 2 раза. 4. 0,45 кэВ. 5. 2 Мм/с. 6. 2,3 . 7. . 8. 100 м/с; 0,1 м/с; 10^-22 м/с. 9. . 10. . 11. .

Задачи

 

1 Проверить следующее операторное равенство: .

2 Найти результат действия операторов и на функции: a) и б) .

3 Найти собственное значение оператора , принадлежащее собственной функции , если:
а)
б)
в)

4 Найти собственные функции и собственные значения следующих операторов:
а) , если (x)= (x+a), а – постоянная;
б) , если =0 при x=0 и x= .

5 Проверить следующие правила коммутации:
а)
б)
в)
если известно: и

6 С помощью правил коммутации, приведенных в предыдущей задаче, показать, что:
а) оператор коммутирует с операторами
б) .

Ответы

 

2. ; ; ; . 3. 4; 1; . 4. , где , ; , где ,

Уравнение Шредингера

 

Вопросы:

1 Временное уравнение Шредингера.

2 Стационарное уравнение Шредингера

3 Уравнение Шредингера в операторной форме

4 Стандартные условия, накладываемые на волновую функцию.

 

Принятые обозначения:

· – мнимая единица, =

· − волновая функция, описывающая состояние частицы.

· − масса частицы.

· – полная энергия частицы.

· – потенциальная функция координат и времени.

· − постоянная Планка.

· − оператор Лапласа.

· – вероятность.

· – коэффициент прозрачности.

 

Основные формулы:

· Временное уравнение Шредингера:

.

· Стационарное уравнение Шредингера:

,

если потенциал не зависит от времени.

· Вероятность обнаружить частицу в интервале от x₁ до x₂:

· Оператор Лапласа в сферических координатах для функции

· Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера конечной ширины:

,

где – высота потенциального барьера, − ширина барьера.

 

Задачи

 

1 Написать уравнение Шредингера для: а) электрона, находящегося в водородоподобном атоме; б) линейного гармонического осциллятора.

2 Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины с абсолютно непроницаемыми стенками . Найти вероятность пребывания частицы в области .

3 Электрон наводится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы такова, что энергетические уровни расположены весьма густо. Найти плотность уровней , т.е. их число на единичный интервал энергии, в зависимости от . Вычислить для , если ширина ямы равна 1 см.

4 Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной . Определить среднее значение координаты электрона, если

5 Частица массы находится в одномерном потенциальном поле , вид которого показан на рисунке 2, где . Найти:
а) уравнение, определяющее возможные значения энергии частицы в области , привести это уравнение к виду: , где . Показать с помощью графического решения этого уравнения, что возможные значения энергии частицы образуют дискретный спектр;
б) минимальное значение энергии , при котором появляется первый энергетический ypoвeнь в области . При каком минимальном значении появляется n -ый уровень?

6 Волновая функция частицы массы для основного состояния в одномерном потенциальном поле имеет вид , где − нормировочный коэффициент, − положительная постоянная. Найти с помощью уравнения Шредингера постоянную и энергию частицы в этом состоянии.

7 Определить энергию электрона атома водорода в стационарном состоянии, для которого волновая функция , где , и − некоторые постоянные.

8 Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид , где − некоторая постоянная, а − первый боровский радиус. Найти:
а) наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром; 6) среднее значение модуля кулоновской силы; в) среднее значение потенциальной энергии электрона в поле ядра.

9 Электрон с энергией движется в положительном направлении оси (смотри рисунок 3). Высота U потенциального барьера равна 5 эВ. При какой ширине d барьера вероятность прохождения электрона через него будет равна 0,2?

 

Ответы

 

2. . 3. 0,8 10⁷ уров/эВ. 4. . 5. б) . 6. ; 7. . 8. r_вф=r₁; 9.» 0,5 нм.

 

Задачи

 

1 Сколько спектральных линий будет испускать атомарный водород, который возбуждают на -ый энергетический уровень?

2 Найти наименьшую и наибольшую длины волн спектральных линий водорода в видимой области спектра.

3 Какие линии содержит спектр поглощения атомарного водорода в диапазоне длин волн от 94,5 до 130 нм?

4 Какую наименьшую энергию (в электронвольтах) должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов появились все линии всех серии спектра водорода? Какую наименьшую скорость должны иметь эти электроны?

5 В каких пределах должны лежать длины волн l монохроматического света, чтобы при возбуждении атома водорода квантами этого света наблюдались три спектральные линии?

6 На дифракционную решетку нормально падает пучок света от разрядной трубки, наполненной атомарным водородом. Постоянная решетки = 5 мкм. Какому переходу электрона соответствует спектральная линия, наблюдаемая при помощи этой решетки в спектре пятого порядка под углом j = 41°?

7 Вычислить постоянную Ридберга, если известно, что для ионов , разность длин волн между головными линиями серии Бальмера и Лаймана составляет 133,7 нм.

8 Найти длину волны головной линии той спектральной серии ионов , у которой интервал между крайними линиями

9 Энергия связи электрона в основном состоянии атома гелия равна . Найти энергию, необходимую для удаления обоих электронов из этого атома.

10 Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Какую скорость приобрел атом?

11 Покоящийся ион испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Этот фотон вырвал фотоэлектрон из покоящегося атома водорода, который находился в основном состоянии. Найти скорость фотоэлектрона.

 

Ответы

1. где n = 1, 2, 3,… 2. 365 нм; 656 нм. 3. 121,6 нм; 102,6 нм; 97,3 нм. 4. 13,6 эВ; 2,2 Мм/с. 5. (102,3¸121,5) нм. 6. n₁=2, n₂=3. 7. 2,07 10¹⁶ 1/ c. 8. 0,47 мкм. 9. 7,9 эВ. 10. 6 км/с. 11. 3,1 10⁶ м/с.

 

Свойства атомов

 

Вопросы:

1 Принцип Паули.

2 Связь периодичности структуры электронных оболочек атомов с периодической таблицей элементов Менделеева.

3 Электронные слои атомов и их обозначения.

4 Термы атомов и их обозначения.

5 Квантовые числа: главное, орбитальное, магнитное, спиновое и полного момента.

6 Механические моменты атома.

7 Правила отбора при излучении атомов.

8 Правила Хунда.

 

Принятые обозначения:

· – главное квантовое число.

· – орбитальное квантовое число.

· – спиновое квантовое число.

· – внутреннее квантовое число.

· − мультиплетность.

· – орбитальный, спиновой и полный механический моменты.

 

Основные формулы:

· Спектральные обозначения термов:

,

где – буквенный символ орбитального квантового числа L=0,1,2,3,4,5,6,…(n-1), а соответствующий буквенный символ: .

· Орбитальный механический момент атома:

.

· Спиновой механический момент атома:

.

· Полный механический момент атома:

.

· Мультиплетность: .

· Правила отбора для квантовых чисел :

· .

· Правила Хунда:

а) наименьшей энергией обладает терм с максимальным значением спинового квантового числа при данной электронной конфигурации;

б) орбитальное квантовое число при этом значении должно быть наибольшим;

в) внутреннее квантовое число для основного состояния вычисляется по формуле , если подоболочка заполнена не более, чем наполовину, и по формуле , если подоболочка заполнена более, чем наполовину.

 

Задачи

 

1 Выписать спектральные о6означения термов атома водорода, электрон которого наводится в состоянии с главным квантовым числом n =3.

2 Найти возможные значения полных механических моментов атомов, находящихся в состояниях: а) и б) .