Операторы в квантовой механике

 

Гипотеза де Бройля утверждает существования волновых свойств у частиц. Опыты по дифракции подтверждают, если есть волновые свойства у объекта, то должна быть волновая функция отражающие эти свойства. Это функция, которой Борн дал статистическое толкование. Из формулы длины волны де Бройля следует, что импульс и координата не могут быть одновременно характеристиками состоянии частицы, но импульс и координата, это те характеристики, которые позволяют в классической механике определить траекторию движение частицы, то есть определить положение частицы в любое заданное момент времени. Если импульс и координата, не являются одновременно характеристиками состояния, то траекторию частицы построить нельзя, к такой частице понятие траектория вообще не применима. В квантовой механике не имеют смысла говорить о траектории, как о линии по которой движется частица, поэтому уравнение классической механики не применима в квантовой механике, говорят только о вероятности обнаружения частицы в том или в ином месте заданном момент времени , кроме того во многих случаях физической величины не могут принимать любые значения совокупность их возможных значениях (спектр) часто дискретный, а это означает не применимость операции интегрирования и дифференцирования. Из всего этого следует, что математический аппарат квантовой механики отличается от математического аппарата классической физики, ее математический аппарат операторы исчисление. В квантовой механике действия выполняются с операторами физических величин, а не самими физическими величинами.

Оператор-это любое математическое действие преобразующую некоторую функцию в другую функцию относящиеся к тому же классу. Простейшими операторами является сложения, умножение, дифференцирование, интегрирование. Операторы обозначаются -титло. -оператор , -оператор координаты , -оператор составляющих импульса.

 

(2.4.1.1)

 

У оператора может быть такая функция которую он действуя на него не изменяет или в результате действия оператора получается та же функция, может быть умноженное на какое-то число, такая функция которая не изменяется при действия оператора называется собственной этого оператора, а число на которое она может быть умножено (она может быть=1) называется собственным значением данного оператора.

 

(2.4.1.2)

 

(2.4.1.3)

 

У одного оператора может быть несколько собственных функции со своими собственными значениями. Кроме того возможно, что одному собственному значению соответствует только одна собственная функция (состояние не вырожденное), а может быть одному собственному значению соответствует несколько функции (состояние вырожденное).

Операторы можно складывать:

Операторы можно умножать:

Применение оператора начинается справа. Произведение операторов в общем случае не обладают свойством коммутитативности.

 

(2.4.1.4)

 

То есть результат последующих действий некоторых операторов из произведений зависит от очередности их применения.Но могут быть такие пары операторов, которые свойству коммуникативности удовлетворяют то есть результат их действия не зависит от очередности их применения. Такие операторы называются коммутирующими , коммутаторы Важно, что коммутация или не коммутация операторов физических величин связано с возможностью одновременного определения соответствующих величин, то есть связано соотношением неопределенности. [20,21]

Среди операторов выделяют линейные операторы, такие операторы удовлетворяющие условия . Линейные операторы имеют особые значение в квантовой физике, механике то есть соответствующие им собственные функции удовлетворяют принципу суперпозиции, то есть принципу которому удовлетворяет волновая функция . Среди операторов выделяют самосопряженные или эрмитовые операторы. две функции удовлетворяющие естественным условиям, то есть тем которым удовлетворяет волновая функция однозначность, дифференцированность, равенство нулю на бесконечности, квадратичные интегрированность и другие, то оператор называется самосопряженным, если интегрирование по всему пространству.

сопряжение, то есть замена эрмитовые операторы имеют. В квантовой механике применяются только эрмитовые операторы, потому что у них собственное значение действие не мнимое.