Квантовая теория и статистическая физика

Квантовая теория и статистическая физика

(Часть I)

Квантовая механика

Конспект лекций для студентов ЭКТ-2

Г.

Оглавление

§1. Экспериментальные основы квантовой механики.. 3

§2. Классическое и квантовое описание системы.. 4

§3. Принцип неопределенности.. 5

§4.Полный набор динамических переменных. 5

§5. Постулаты квантовой механики.. 5

§6. Роль классической механики в квантовой механике. 6

§7.Волновая функция и ее свойства. 6

§8. Принцип суперпозиции состояний.. 6

§9. Понятие о теории представлений.. 7

§10.Операторы в квантовой механике. 7

§11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного)* спектра. 8

§12. Среднее значение измеряемой величины.. 11

§13. Вероятность результатов измерения. 11

§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин (1/2*) 12

§15. Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии . 13

§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора ... 13

§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора . 15

§18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы (и *). 16

§19 Волновое уравнение. 18

§ 20 Производная оператора по времени.. 19

§ 21 Интегралы движения в квантовой механике. 20

§22. Флуктуации физических величин (1/2*) 20

§ 23. Неравенства Гайзенберга. (1/2*) 22

§ 24.Оператор Гамильтона различных систем.. 23

§ 25. Стационарное состояние различных систем.. 25

§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки.. 25

§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы.. 27

§ 28. Собственный механический момент (спин) 28

§ 29*. Операторы и и их свойства. 29

§ 30. Спиновая переменная волновой функции.. 29

§ 31. Матрицы Паули (и их свойства)*. 30

§ 32. Принцип тождественности.. 32

§33. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения. 32

A.1. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближение. 36

A.2. Критерий применимости теории возмущений.. 37

A.3. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней. 38

Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория". 41

Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория". 42

Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".(минимум) 43

Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".(минимум) 43

Решения задач по курсу "Квантовая теория". 44

 

Экспериментальные основы квантовой механики

1900г. Планк ввел понятие о квантах и ввел квантовую постоянную. Работа Планка объясняла теорию излучения твердых тел.

1905г. Классификация спектров Ритцем и Ридбергом. Все спектральные линии могут быть посчитаны через термы , где - постоянная Ридберга, n – натуральное число.

1913г. Н. Бор теоретически объяснил спектр атома водорода (постулаты Бора).

Эксперименты Франка и Герца. Они рассматривали неупругое рассеяние электронов на атомах. Пропускали пучки электронов через пары ртути. При определенных энергиях, электроны при соударении с атомами ртути теряли часть своей энергии.

 

 

 

Установка:

Была показана энергетическая дискретность атома ртути, определены энергетические уровни:

1922г. Опыты Штерна и Герлаха по расщеплению атомного пучка в неоднородном магнитном поле.

По оси z поле в обкладках магнита неоднородно. Так как есть градиент поля , то если пропускать вдоль оси x частицы, имеющие магнитный момент , то возникает сила:

Наблюдалось расщепление атомного пучка. С точки зрения классической теории все равновероятны и поэтому должна получиться одна широкая полоса. Наблюдались две четкие линии.

Подтвердили, что магнитный момент атома квантуется, т. е. принимает дискретные значения.

,

где для серебра.

 

1923 – 1924 гг. Теория Де Бройля корпускулярно-волнового дуализма частиц. Соотношения теории:

Здесь слева параметры частицы: энергия и импульс. Справа параметры волны: частота, волновой вектор.

Волна Де Бройля:

, - длина волны Де Бройля.

 

1927г. Дэвиссон и Джермер. Рассеяние электронов на кристаллической решетке. Подтверждение волновых свойств частиц.

Транспонированный оператор

Отметим следующие свойства:

1)

(10.1)

Из выражения (10.1) получаем:

2)

3)

Сумма операторов: . Это операторное равенство предполагает

Произведение операторов: , тогда . Это операторное равенство предполагает

В общем случае не коммутативны

Коммутатор

Если , то операторы и называются коммутативными (операторы и коммутируют).

Если , то операторы и называются не коммутативными (операторы и не коммутируют).

Так как физические величины вещественны, то число операторов в квантовой механике ограничено. Собственные значения эрмитовых операторов вещественны, значит только их можно ставить в соответствие физическим величинам.

Запишем определение среднего:

Так как результаты измерений вещественны, то тоже должно быть вещественным, т.е.

(10.2)

тогда

,

т.е.

Обозначим , тогда

 

Тогда из (10.2) получаем

(10.3)

Из (10.3) имеем для любых :

,

,

где (сопряженный и транспонированный).

[§11.] Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного)* спектра

Начнем с дискретного спектра, т.к. ему соответствует квадратично-интегрируемые функции. Задача на собственные функции и собственные значения для дискретного спектра:

(11.1)

-собственные функции

- собственные значения

Так как эрмитов, то его собственные значения вещественны. Рассчитаем среднее . Если речь идет о физической величине, то это волновые функции, описывающие состояние системы. Если речь идет о математическом аппарате, то - это любые функции. Как частный случай рассмотрим , где - собственные функции оператора .

Так как - число, то его можно вынести за знак скалярного произведения, тогда:

- это среднее значение величины в i -ом квантовом состоянии. Так как среднее – вещественно, то и собственные значения вещественны. У эрмитового оператора собственные значения вещественны (все эрмитовы операторы имеют вещественные спектры).

(11.2)

Умножая (11.1) скалярно на слева, получим

(11.3)

Теперь (11.2) умножаем справа на , тогда

(11.4)

Почленно из (11.3) вычтем (11.4):

(11.5)

т.к. - эрмитов (), то . Из (11.5) имеем

(11.6)

Рассмотрим случай невырожденного спектра. Спектр вырожденный, если одному собственному значению соответствует несколько собственных функций. Например:

Невырожденный спектр – все собственные значения различные.

1) Рассмотрим (11.6) при , тогда , .

2) Теперь пусть . В этом случае скалярное произведение . Обычно вводят нормировку .

Тогда случаи 1 и 2 дают условие ортонормированности:

Утверждается, что собственные функции эрмитового оператора с дискретным спектром образуют полную систему функций, т.е. обладают свойством полноты. Это верно для функций квантовой механики. Утверждение означает, что произвольную функцию можно разложить по собственным функциям эрмитового оператора как по базису.

Запишем это разложение:

, (11.7)

где индекс i пробегает по всем значениям, удовлетворяющим задаче (11.1).

Формулу (11.7) следует отличать от принципа суперпозиции

,

где - вес состояния и суммирование ведется по произвольным a=1,…,k. Заметим, что если (модель Юнга с ширмой и электроном), то .

Найдем коэффициенты из (11.7). Умножим скалярно (11.7) на , тогда имеем

Применяя условие ортонормированности, получим:

Тогда из (11.7) получаем

, (11.7^/)

Далее

Из (11.7^/) также можно получить еще одно соотношение:

- равенство Парсеваля (условие замкнутости).

(*) Теперь рассмотрим случай непрерывного спектра.

У собственной функции индексом является собственное значение. Собственные значения непрерывны, они сплошь заполняют соответствующую числовую ось. В этом случае собственные функции не нормируемы (квадратично не интегрируемы). Используем искусственную операцию – введем понятие собственных дифференциалов, по формуле:

(11.8)

т. е. на числовой оси рассмотрим функции с равным весом на интервале . Собственные дифференциалы (11.8) квадратично-интегрируемы. Через рассмотренные собственные дифференциалы приходим к рассмотрению собственных функций.

Условие ортонормируемости: .

Здесь дает расходящийся интеграл, т. е. равен . Но для собственных дифференциалов имеем:

Собственные функции обладают свойством полноты, т. е. они образуют базис, по которому может быть разложена любая функция:

,

По аналогии с дискретным спектром:

- равенство Парсеваля

Принцип тождественности

Этот принцип в квантовой механике определенным образом связан с принципом Гайзенберга.

Если рассмотрим ансамбль одинаковых частиц, то идентификация этих частиц невозможна.

Одинаковые частицы обладают всеми одинаковыми внутренними свойствами (m, e, s, …). Так как в квантовой механике не существует понятия «траектория», то невозможно различить одинаковые частицы.

Например, в электронном газе существуют не отдельные частицы, а их ансамбль. В такой системе имеет место тождественность частиц.

Итак: в ансамбле одинаковых частиц реализуются состояния, инвариантные относительно их перестановок.

Т. к. такие частицы идентифицировать невозможно, то не различимы и состояния, полученные перестановкой частиц.

 

Квантовая теория и статистическая физика

(Часть I)

Квантовая механика

Конспект лекций для студентов ЭКТ-2

Г.

Оглавление

§1. Экспериментальные основы квантовой механики.. 3

§2. Классическое и квантовое описание системы.. 4

§3. Принцип неопределенности.. 5

§4.Полный набор динамических переменных. 5

§5. Постулаты квантовой механики.. 5

§6. Роль классической механики в квантовой механике. 6

§7.Волновая функция и ее свойства. 6

§8. Принцип суперпозиции состояний.. 6

§9. Понятие о теории представлений.. 7

§10.Операторы в квантовой механике. 7

§11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного)* спектра. 8

§12. Среднее значение измеряемой величины.. 11

§13. Вероятность результатов измерения. 11

§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин (1/2*) 12

§15. Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии . 13

§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора ... 13

§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора . 15

§18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы (и *). 16

§19 Волновое уравнение. 18

§ 20 Производная оператора по времени.. 19

§ 21 Интегралы движения в квантовой механике. 20

§22. Флуктуации физических величин (1/2*) 20

§ 23. Неравенства Гайзенберга. (1/2*) 22

§ 24.Оператор Гамильтона различных систем.. 23

§ 25. Стационарное состояние различных систем.. 25

§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки.. 25

§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы.. 27

§ 28. Собственный механический момент (спин) 28

§ 29*. Операторы и и их свойства. 29

§ 30. Спиновая переменная волновой функции.. 29

§ 31. Матрицы Паули (и их свойства)*. 30

§ 32. Принцип тождественности.. 32

§33. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения. 32

A.1. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближение. 36

A.2. Критерий применимости теории возмущений.. 37

A.3. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней. 38

Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория". 41

Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория". 42

Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".(минимум) 43

Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".(минимум) 43

Решения задач по курсу "Квантовая теория". 44