A.3. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней.

 

Пусть у нас два близких уровня, а остальные уровни хорошо удовлетворяют критерию (5).

Пусть близкие уровни - это уровни i=1,2. Близость уровней определяется из критерия (5).

Модификация теории возмущений состоит в том, чтобы в качестве нулевого приближения для 1 и 2 состояния подобрать такие функции и , которые обращали бы в ноль - числитель критерия (5).

По определению:

Мы рассмотрим набор

Очевидно, что

Распишем:

Рассмотрим свойства невозмущенной функции:

Они удовлетворяют ЗШЛ:

где - невозмущенный оператор.

(6)

Эта матрица имеет диагональный вид, т. к. мы рассматриваем матричные элементы на собственных функциях этого оператора.

Мы ввели и для того, чтобы ввести такой матричный элемент, чтобы он

тогда (5) будет для и давать 0 и теория возмущений будет работать.

Таким образом, мы ввели новый возмущенный базис и . В этом новом базисе мы должны диаганализовать

Искомое преобразование является унитарным, так как оно не нарушает условия нормировки. Надо подобрать коэффициенты

Используем

Но

или в матричном виде

Из свойства ортонормированности найдем свойства коэффициентов

т.е.

Это унитарное преобразование, оно сохраняет нормировку.

Запишем ЗШЛ для модифицированных функций.

тогда подставим явно и

Рассмотрим случай i=1, умножим левую и правую части этого уравнения скалярно на и , тогда имеем:

Введем обозначения:

Перепишем эти уравнения в виде

(7)

Система линейных однородных уравнений. Она имеет нетривиальное решение только при det=0.

Обозначим

Имеем решение

При i=2, то по аналогии

и обозначив

получаем

Во втором случае решение аналогично первому. Однако мы приписываем одному знак +, а другому -.

Имеем тогда уровни энергии:

Перейдем к системе (7). Из нее имеем

Кроме этого используем соотношение

т.е. имеем нормировку

Рассмотрим i=j=1 (и аналогично i=j=2)

Введем обозначение:

где α и β – вспомогательные углы, определяемые через матричные элементы H ₁₂, H ₁₁ и H ₂₂.

Тогда коэффициенты b имеем в виде

Таким образом, при теория возмущений срабатывает для двух близких уровней. Теперь в качестве нулевого приближения берут:

Модификация касалась только этих дух близких состояний. Остальные состояния не модифицировались, т.к. они сразу удовлетворяли критерию.

Теперь и – теория возмущения работает.

Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".

1. Экспериментальные основы квантовой механики.
2. Классическое и квантовое описание системы.
3. Принцип неопределенности.
4. Полный набор динамических переменных.
5. Постулаты квантовой механики.
6. Роль классической механики в квантовой механике.
7. Волновая функция и ее свойства.
8. Принцип суперпозиции состояний.
9. Понятие о теории представлений.
10. Операторы в квантовой механике.
11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного)* спектра.
12. Среднее значение измеряемой величины.
13. Вероятность результатов измерения.
14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин. (1/2*)
15. Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .
16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы (и *).
19. Волновое уравнение
20. Производная оператора по времени
21. Интегралы движения в кв. механике.
22. Флуктуации физических величин. (1/2*)
23. Неравенство Гайзенберга. (1/2*)
24. Оператор Гамильтона различных систем.
25. Стационарное состояние различных систем
26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы.
28. Собственный механический момент (спин).
29. * Операторы и и их свойства.
30. Спиновая переменная волновой функции
31. Матрицы Паули (и их свойства *).
32. Принцип тождественности.
33. Стационарная теория возмущений (нулевое и первое приближения).

 

Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".

[Задача 1.] Найти оператор , если

а) , ; , ;

б) , ; , .

Задача 2. Показать, что произвольный линейный оператор может быть представлен в виде

; , .

[Задача 3.] Найти , если - произведение эрмитовых операторов и

Задача 4. Решить уравнение для оператора

,

Задача 5. Для стационарного состояния вида

описывающего в одномерном случае частицу в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины , рассчитать средние значения величин, соответствующих операторам:

а)

б)

[Задача 6.] В - представлении (одномерная система) решить уравнение для оператора в случае частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, ширины .

[Задача 7.] Рассчитать коммутатор .

Задача 8. Найти коммутатор .

Задача 9. Для стационарного состояния

рассчитать и .

Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".(минимум)

 

1. Принцип неопределенности.
2. Полный набор динамических переменных.
3. Постулаты квантовой механики.
4. Волновая функция и ее свойства.
5. Принцип суперпозиции состояний.
6. Операторы в квантовой механике.
7. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного)* спектра.
8. Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .
9. Волновое уравнение
10. Оператор Гамильтона различных систем.
11. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
12. Собственный механический момент (спин).

 

 

Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".(минимум)

 

Задача 1. Найти оператор , если

а) , ; , ;

б) , ; , .

Задача 2. Найти , если - произведение эрмитовых операторов и

В сферических координатах - представления найти собственную функцию оператора .

Задача 3. В - представлении (одномерная система) решить уравнение для оператора в случае частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, ширины .

Задача 4. Рассчитать коммутатор .

Решения задач по курсу "Квантовая теория"

 

[Задача 1.] Найти оператор , если

а) , ; , ;

б) , ; , .

Решение. Подставляя явный вид в правую часть и проводя интегрирование по частям, получим

а) ,

б) ,

.

Здесь использовано обращение функций и в нуль на бесконечности в случае (а) и условие периодичности функции и в случае (б). В обоих случаях оператор не совпадает с оператором .

 

Задача 2. Показать, что произвольный линейный оператор может быть представлен в виде

; , .

Решение. Легко видеть, что справедливо разложение на сумму

двух операторов, первый из которых является эрмитовым:

, ,

а второй – антиэрмитовым:

.

С их помощью будем иметь

; , ;

, .

Всякая линейная комбинация эрмитовых операторов с вещественными коэффициентами есть Эрмитов оператор. Произведение двух эрмитовых операторов не обязательно эрмитово.

 

[Задача 3.] Найти , если - произведение эрмитовых операторов и

Решение. Из определения имеем

;

, /

Отсюда с учетом эрмитовости и найдем

.

Легко видеть, что в общем случае .

 

Задача 4. Решить уравнение (7.3) для оператора

,

Решение. Из решения задачи 3(б) и равенств

найдем

,

т.е. рассматриваемый оператор Эрмитов, а его собственные значения вещественны. Уравнение (7.3) примет вид

.

Решая его, найдем

.

Из условия периодичности (см. задачу 3(б))

вытекает равенство

,

из которого получаем ограничение

;

Из дискретности и невырожденности спектра следует, что после нормировки (8.4) функции будут обладать свойством (8.3).

Запишем условие нормировки (8.4) в виде

В общем случае постоянный множитель есть комплексное число, однако ввиду всегда допустимого введения произвольного фазового множителя

,

будем предполагать вещественность константы . Это дает

Окончательно запишем

;

 

Задача 9. Для стационарного состояния вида

описывающего в одномерном случае частицу в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины , рассчитать средние значения величин, соответствующих операторам:

а)

б)

Решение. а) По определению ,

запишем

Расчет числителя (12.3) дает

где использованы соотношения

Аналогичным образом для знаменателя (12.3) получим

Следовательно, для будем иметь

б) Учитывая свойство (7.2) и определение (12.2), запишем

.

Расчет числителя (12.4) дает

таким образом, для будем иметь

[Задача 6.] В - представлении (одномерная система) решить уравнение (7.3) для оператора в случае частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, ширины .

Решение. В случае бесконечно глубокой ямы по определению имеем

Интересующее нас решение ищем на отрезке

Поскольку в точках и потенциальная энергия частицы обращается в бесконечность, вероятность преодоления бесконечного барьера и попадания за пределы области (17.2) равна нулю. Оказавшись в области (17.2), частица все время будет находиться в ней. Из формул

и

следуют соотношения

где - волновая функция , удовлетворяющая стационарному уравнению Шредингера

совпадающему с уравнением (13.1) или (13.2) (в зависимости от характера спектра), т.е. функция , удовлетворяющая (17.5), есть собственная функция оператора , соответствующая собственному значению . Из сказанного вытекают граничные условия , накладываемые на решение уравнения (17.5).

Таким образом, приходим к задаче

Отсюда следует:

Положительность собственного значения оператора вытекает из положительности и . Решение уравнения (17.7) представимо в виде суперпозиции двух элементарных состояний, которые на языке (17.3) интерпретируются как волны де Броля, распространяющиеся в противоположных направлениях оси :

Подстановка (17.8) в граничные условия (17.6) приводит к системе однородных уравнений

для неизвестных коэффициентов . Критерий существования тривиального решения этой системы

дает условие квантования

собственного значения (17.5). Это означает, что обладает дискретным спектром, а уравнение (17.5) эквивалентно (7.3). Вводя согласно (17.9) обозначения

где - пока неизвестная вещественная (в силу наличия у произвольного фазового множителя (10.1) это всегда возможно) константа, для функции (17.8) будем иметь

Поскольку собственные функции оператора с дискретным спектром квадратично интегрируемы, условие нормировки имеет вид

Отсюда с учетом решения задачи 12 находим

Подставляя найденное значение константы в (17.10), запишем решение задачи в окончательной форме

 

[Задача 7.] Рассчитать коммутатор .

Решение. Для нахождения явного вида оператора необходимо рассмотреть результат его действия на произвольную функцию . Используя (13.6), (14.2) и определение , запишем

.

 

 

Задача 8. Найти коммутатор .

Решение. Используя (19.2) и вид в - представлении

,

запишем

.