Теория автоматического управления

В.И. Гаркушенко

 

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Практическое руководство к выполнению курсовой работы

 

 

Казань 2010

 

УДК 681.51

 

Гаркушенко В.И. Теория автоматического управления: Практическое руководство к выполнению курсовой работы: Казань, 2010. 95с.

 

 

Пособие предназначено для выполнения курсовой работы по дисциплине «Теория автоматического управления» с использованием современного вычислительного пакета MATLAB 7.5.

Представленные в пособии программные файлы системы MATLAB 7.5. позволяют автоматизировать наиболее трудоемкие вычислительные операции, освобождая тем самым время для более полного теоретического исследования с использованием различных методов и расширения задачи синтеза, включающей синтез непрерывного и дискретного регуляторов.

Предназначено для студентов очного и заочного отделений специальностей 210100 – «Управление и информатика в технических системах», 181200 — «Приборы и системы ориентации, стабилизации и навигации», а также может быть использовано для других инженерных специальностей технических вузов.

 

 

Табл. 5. Ил. 47. Библиогр.: 31 назв.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ. 4

1. ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ.. 5

1.1 Cиловые системы автоматического управления. 5

1.1.1 Исходные данные. 8

1.1.2 Техническое задание. 10

1.2 Содержание пояснительной записки. 11

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.. 12

2.1 Расчет САУ в линейном приближении. 13

2.2 Расчет САУ с учетом нелинейности. 15

3. ПРАКТИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ.. 16

3.1 Введение. 16

3.2 Математическое описание функциональных элементов. 21

3.2.1 Генератор постоянного тока. 22

3.2.2 Тахогенератор. 24

3.2.3 Электромашинный усилитель. 25

3.2.4 Двигатель постоянного тока. 30

3.3 Определение передаточных функций замкнутых систем. 31

3.4 Определения коэффициента усиления электронного усилителя. 34

3.5 Построение области устойчивости по коэффициенту усиления. 35

3.5.1 Алгебраический метод построения области устойчивости. 35

3.5.2 Частотный метод построения области устойчивости. 37

3.6 Построение ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы и определение запасов устойчивости замкнутой системы.. 41

3.7 Построение переходной характеристики замкнутой системы.. 49

3.8 Синтез последовательной коррекции с помощью ЛАХ и ЛФХ.. 50

3.9 Электрическая схема корректирующего устройства. 63

3.10 Синтез дискретного корректирующего устройства. 66

3.10.1 Приближенный синтез дискретного корректирующего устройства. 67

3.10.2 Синтез дискретного корректирующего устройства частотным методом. 71

3.11 Определение параметров автоколебаний. 78

3.12 Исследование системы на абсолютную устойчивость. 84

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.. 88

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Корректирующие цепи. 90

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Коэффициенты гармонической линеаризации нелинейных характеристик. 93

ПРИЛОЖЕНИЕ В. Справочные данные. 95

ВВЕДЕНИЕ

 

В связи с повышением требований к уровню подготовки специалиста и широким использованием современных вычислительных средств, в практическом руководстве переработаны и дополнены методические указания по статическому и динамическому расчету одномерных типовых САУ, используемых в учебном процессе на кафедре «Автоматика и управление» [28, 29].

Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов очного и заочного отделений специальностей 210100 – «Управление и информатика в технических системах», 181200 — «Приборы и системы ориентации, стабилизации и навигации», а также может быть использовано для других инженерных специальностей технических вузов.. Целью практического руководства является закрепление теоретических знаний по дисциплине «Теория автоматического управления» и приобретение практических навыков по проектированию САУ с использованием современного вычислительного пакета MATLAB 7.5.

Для облегчения самостоятельной работы по каждому пункту задания приводятся постраничные ссылки на литературу, при этом для выполнения расчетов в курсовой работе не требуется дополнительных сведений. Представленные в пособии программные файлы системы MATLAB 7.5. позволяют автоматизировать наиболее трудоемкие вычислительные операции, освобождая тем самым время для более полного теоретического исследования с использованием различных методов и расширения задачи синтеза, включающей синтез непрерывного и дискретного регуляторов.

Учитывая, что программные средства системы MATLAB являются вспомогательными для выполнения курсовой работы, необходимые программные файлы могут быть скопированы из электронной версии пособия, а также взяты из его приложения.

 

 

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

 

Шифр задания на курсовую работу состоит из первой буквы и трех групп цифр, при этом буква означает тип принципиальной схемы одномерной САУ (рис.1-5). Первая группа из четырех цифр означает: первая цифра - № двигателя; вторая цифра – № генератора; третья цифра – № электромашинного усилителя; четвертая цифра – № тахогенератора (таблица 1). Цифра "0" указывает на отсутствие элемента в данной схеме. Вторая группа из трех цифр означает: первая цифра – число, на которое надо поделить значение в первом столбце таблицы 2; вторая цифра – число, которое надо отнять от значения во втором столбце таблицы 2; третья цифра – число, на которое надо поделить значение в третьем столбце таблицы 2. Третья группа из двух цифр, предназначенная для выполнения второй части задания, означает: первая цифра – № нелинейности (рис.6); вторая цифра – число, на которое надо умножить заданное значение параметра .

Например, для выполнения задания А-1323-202-12 необходимо рассчитать схему А с двигателем № I, с генератором № 3, с электромашинным усилителем №2, с тахогенератором № 3; в соответствии с обозначениями таблицы 2 с, %, В; в задании на нелинейную часть использовать нелинейность № 1 с параметром В.

Исходные данные

 

Номинальные данные электрических машин постоянного тока представлены в таблице 1.

Таблица 1. Номинальные данные электрических машин постоянного тока

Элемент системы	№ элемента	кВт	В	А	А	рад/с	кг×м^2	Ом	Ом	Гн
Двигатель					- - -	83,8 78,5 104,7		0,025 0,025 0,035	- - -	- - -
Генератор						- - -	- - -	0,030 0,025 0,035
ЭМУ					0,04 0,06 0,08	- - -	- - -	0,2 0,2 0,2	35,0 42,0 50,0	2,0 2,5 3,0
Тахогенератор		0,01 0,012 0,014		0,084 0,1 0,14	- - -	157,1 146,6 125,6	- - -	- - -	- - -	- - -

 

При рассмотрении схем необходимо учесть следующее:

1) Кривые намагничивания всех электрических машин предполагаются линейными в пределах рабочего режима заданных систем, гистерезис отсутствует, реакции электрических машин скомпенсированы.

2) Пренебрежимо малы индуктивности обмоток якорей всех машин.

3) Параметры короткозамкнутой цепи ЭМУ равны Ом; Гн.

4) Момент инерции ротора двигателя приведен с учетом инерции нагрузки.

5) Электронный усилитель с коэффициентом усиления считается идеальным с бесконечным входным сопротивлением и выходным сопротивлением R _вых=10 Ом.

6) Параметры корректирующей - цепи (в схемах А, В): =4000 Ом, Ом, мкФ.

7) В схеме В сопротивления делителя напряжения кОм; сопро­тивление нагрузки Ом.

8) В схеме Б параметры управляющей обмотки возбуждения ЭМУ и обмотки обратной связи считать одинаковыми (, , );

для стабилизирующего трансформатора со стальным сердечником приняты следующие параметры:

первичная обмотка – Ом, Гн;

вторичная обмотка – Ом, Гн; Ом (дополнительное сопротивление);

взаимная индукция обмоток .

9) В схемах Г и Д коэффициенты передачи дифференциала и потенциометра соответственно равны =1, =114,6 В/рад.

10) В схеме Д параметры делителя напряжения кОм, кОм.

11) В схемах Г и Д передаточные отношения редуктора и платформы соответственно равны , .

12) При исследовании влияния нелинейностей на динамику замкнутой системы с найденным законом управления рассматриваются нелинейные элементы с нечетно-симметричными характеристиками № 1,2,3 (рис. 6), включаемые в структурную схему системы перед электронным усилителем и нелинейный элемент № 4 только для схем Г, Д, включаемый перед редуктором двигателя. Здесь нелинейный элемент № 1 типа "зона нечувствительности" характеризует момент трогания двигателя для схем А, Б, Г, Д с параметром В; нелинейный элемент № 2 типа "насыщение" определяет ограничение управляющего напряжения на выходе электронного усилителя, связанного с величиной напряжения питания, с параметром 0 В; нелинейный элемент № 3 типа "зона нечувствительности - насыщение" сочетает свойства двух первых нелинейных элементов с параметром 0 В; нелинейный элемент № 4 типа "люфт" характеризует люфт зубчатой передачи редуктора двигателя для схем Г, Д с параметром рад.

 

Рис. 6.

 

1.1.2 Техническое задание

 

1. По заданным в соответствии с таблицей 2 показателям точности и качества переходных процессов в замкнутой САУ провести синтез непрерывной последовательной коррекции, составить ее электрическую схему, определить параметры корректирующего устройства и место его включения.

Таблица 2. Требуемые показатели точности и качества

Вариант схемы	Время регулирования , с	Перерегулирование , %	Статическая ошибка	Скоростная ошибка
А, Б			0,2 В (отдельно по команде и возмущению )	-
В			0,2 В (по команде )	-
Г, Д			0,008 рад (по возмущению )	0,0004 рад (по команде )

 

Здесь показатели качества , соответствуют переходной характеристике регулируемой координаты замкнутой системы при отработке командного сигнала в виде ступенчатого воздействия.

Для схем А, Б, В значение командного сигнала В; для схем Г, Д командный сигнал , рад/с.

Для схем А, Б, Г, Д момент нагрузки = 2000 Н·м (в схемах А, Б момент нагрузки приложен к валу двигателя; в схемах Г и Д – действует на платформу).

2. Рассмотреть возможность замены непрерывной коррекции на дискретное корректирующее устройство при малых периодах дискретности.

3. Провести анализ влияния нелинейного элемента на динамику замкнутой системы при отсутствии входного сигнала и нагрузки с использованием метода гармонической линеаризации или метода абсолютной устойчивости.

 

Содержание пояснительной записки

 

Пояснительная записка (объемом не более 40 страниц) оформляется в соответствии с ГОСТ 7.32-2001 [31]. Рекомендуется оформление работы в Microsoft Word с использованием электронной версии данного пособия, с набором математических формул в редакторе Math Type 5.2, который прилагается к электронной версии данного пособия наряду с другими литературными источниками.

Пояснительная записка содержит:

· титульный лист (с названием задания и его шифром);

· содержание;

· введение;

· основная часть;

· заключение;

· список использованных источников;

· приложения.

В пояснительной записке приводятся результаты расчетов в соответствии с порядком выполнения работы, описанного в разделе 2. При этом названия пунктов выполнения работы, выделенных курсором, входят в содержание пояснительной записки.

В заключении приводятся основные результаты, полученные в работе.

В приложение рекомендуется выносить программы расчета на выбранном алгоритмическом языке, схемы моделирования (например, в системах MATLAB, SIMULINK), графики логарифмических характеристик и т.п. Переходные процессы, иллюстрирующие результаты вычислений, следует приводить в тексте основной части пояснительной записки.

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Введение. Во введении необходимо привести:

· схему системы управления, исходные данные в соответствии с шифром задания и принятыми допущениями в п.п.1.2;

· краткое описание работы схемы;

· функциональную схему системы;

· классификацию по принципу регулирования [2, с.21-34; 3, с.9-14; 4, с.30];

· определение статизма (астатизма) системы по отношению к возмущению нагрузки и команде вида , (и для схем Г, Д) методом от противного. Расчет САУ состоит из двух этапов:

I. Расчет САУ в линейном приближении

II. Расчет САУ с учетом нелинейности

На первом этапе проводится расчет САУ в линейном приближении без учета имеющихся нелинейностей; на втором этапе – расчет системы при наличии одного нелинейного элемента. Расчеты проводятся с использование ПЭВМ.

ПРАКТИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Введение

 

Во введении при доказательстве статизма или астатизма системы можно воспользоваться методом доказательства от противного.

Например, для схемы А по отношению к входному сигналу и при отсутствии нагрузки предположим, что система является астатической, т.е. в установившемся режиме рассогласование равно нулю. Тогда на выходе усилителя напряжение отсутствует и на двигатель напряжение не поступает, и ротор неподвижен. В этом случае рассогласование между входным сигналом и нулевым напряжением на выходе тахогенератора равно , т.е. не равно нулю, что противоречит исходному предположению. Тем самым рассогласование в установившемся режиме не равно нулю и система является статической по отношению к входному сигналу .

При доказательстве статизма системы по отношению к возмущению рассматривается изменение установившейся ошибки при наличии входного сигнала . В качестве критерия противоречия может использоваться закон сохранения энергии и др.

Для пояснения работы системы и обоснования преимущества отрицательной обратной связи необходимо учитывать следующее.

1. Для систем стабилизации (схемы А, Б, В) обобщенная структурная схема системы для установившегося режима системы, т.е. без учета инерционности функциональных элементов (постоянные времени типовых звеньев равны нулю) представлена на рис. 7.

 

Выражение для управляемой выходной координаты системы в установившемся режиме при постоянных значениях входного сигнала и возмущающего воздействия для разомкнутой и замкнутой системы имеют вид

 

,

,

 

где и – коэффициенты передачи системы, – коэффициент обратной связи.

Преимущество замкнутой системы, заключается в том, что выход в меньшей степени зависит от изменения и внешнего воздействия , чем в разомкнутой системе. Более того при в замкнутой системе .

Желаемое значение выхода для разомкнутой и замкнутой системы может быть достигнуто заданием входного сигнала с учетом выражений

 

;

.

 

Тогда ошибка стабилизации заданного значения имеет вид

 

;

,

 

т.е. зависит от заранее неизвестного возмущения .

С другой стороны ошибка рассогласования для замкнутой системы определяется по формуле

 

,

 

которая при должна быть равна , т.е. не равной нулю. Кроме того для простоты реализации коэффициент не должен быть слишком большим, поскольку при малых значениях на динамику системы может оказывать влияние нелинейность типа "зона нечувствительности".

Здесь также при некотором значении с увеличением коэффициента увеличивается значение , хотя при этом уменьшается .

Таким образом, при возможности измерения и формирования входного сигнала (схемы А, Б, В) первое слагаемое установившейся ошибки рассогласования характеризует свойство системы, а второе связано с точностью системы и равно .

В тех случаях, когда постоянный сигнал заранее неизвестен, измеряемая ошибка рассогласования характеризует точность стабилизации системы.

2. Для следящих систем (схемы Г, Д) обобщенная структурная схема системы без учета инерционности функциональных элементов (постоянные времени типовых звеньев равны нулю) представлена на рис. 8.

 

Здесь переменный входной сигнал заранее неизвестен и измеряемая ошибка рассогласования характеризует точность слежения системы.

Если для функции удается провести кусочно-линейную аппроксимацию с заданной точностью (рис. 9), то на интервалах времени задающий сигнал , где постоянные коэффициенты , заранее неизвестны.

При этом время регулирования следящей системы должно удовлетворять условию , а заданная точность слежения должна достигаться для , где , поскольку на постоянное воздействие ошибка равна нулю. Это следует из выражения изображение по Лапласу для ошибки :

 

,

 

или после упрощения

 

.

 

Для устойчивой замкнутой системы установившаяся ошибка определяется по формуле

 

,

 

где – скоростная ошибка; – статическая ошибка. При этом скорость командного сигнала равна установившейся скорости регулируемой координаты , т.е. . Отсюда следует, что .

В системах слежения за подвижными объектами должно выполняться условие , ; в системах воспроизведения командного сигнала возможны случаи , или , . При этом установившаяся ошибка слежения с учетом выражения

 

 

определяется по формуле

 

.

 

Генератор постоянного тока

 

1. Уравнения статики для номинального режима генератора имеют вид

 

,

,

,

 

где и – номинальные напряжение и ток в обмотке возбуждения генератора, – номинальное значение э.д.с.; и – номинальные напряжение и ток в якорной обмотке генератора, – сопротивление управляющей обмотки возбуждения генератора; – сопротивление якорной обмотки генератора; – коэффициент усиления по току, зависящий от угловой скорости вращения якоря вспомогательного двигателя. В генераторах, предназначенных для усиления напряжения по мощности, .

Отсюда следует, что

,

 

и с учетом паспортных значений найдем коэффициент усиления генератора

 

.

 

Например, для генератора №1 получим

.

2. Уравнения динамики генератора в схеме соединения имеют вид

 

,

,

 

где , , – сопротивление якоря ЭМУ – для схем А, Б, В; , , – выходное сопротивление электронного усилителя – для схем Г, Д.

Отсюда с учетом преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях получим с передаточной функцией

 

,

где , .

Например, коэффициент усиления генератора для схем Г, Д имеет значение

 

,

 

т.е. меньше паспортного значения.

3. Для генератора с нагрузкой в схеме В напряжение на нагрузке определяется по формуле

 

,

 

где ; – проводимость нагрузки. Отсюда следует, что напряжение является нелинейной функцией от величин , . Учитывая, что при наличии нагрузки Ом величина , с помощью разложения в ряд Тейлора можно записать

 

.

 

В установившемся номинальном режиме при отсутствии нагрузки () справедливо уравнение

 

.

Учитывая малость величины , отклонения , вызванные подключением нагрузки , также будут малыми. Тогда при отбрасывании слагаемого второго порядка малости будет справедливо уравнение

.

 

Фрагмент структурной схемы генератора с нагрузкой представлен на рис. 10.

Тахогенератор

 

1. Тахогенератор постоянного тока предназначен для измерения угловой скорости вращения якоря. Уравнения статики для номинального режима следуют из уравнений статики генератора без учета малого сопротивления :

 

,

,

 

где – номинальные обороты якоря; .

Отсюда следует, что

,

где

.

 

Например, для тахогенератора №1 получим

 

Вс/рад.

 

2. Уравнения динамики тахогенератора имеют вид

 

.

 

Тогда передаточная функция тахогенератора для схем А,Б имеет вид

 

.

 

Для схем Г, Д выходом тахогенератора является угловое перемещение . В этом случае с учетом равенства получим

 

.

 

Электромашинный усилитель

 

1. С учетом принятых допущений о полной компенсации реакции якоря в цепи нагрузки ЭМУ, уравнения статики для номинального режима имеют вид

 

,

,

,

,

,

 

где и – номинальные напряжение и ток в обмотке возбуждения; и – номинальные э.д.с. и ток в короткозамкнутой цепи; , , и – номинальные э.д.с., напряжение, ток и сопротивление якорной цепи нагрузки ЭМУ соответственно; – постоянная угловая скорость вращения якоря вспомогательного двигателя.

Исключая переменные и получим

 

.

Отсюда найдем

.

 

Например, для ЭМУ №1 получим

 

.

 

2. Уравнения динамики ЭМУ в схеме соединения имеют вид

 

,

– для схем А, В;

– для схемы Б (объяснить почему),

,

,

 

где , – ток во вторичной обмотке трансформатора схемы Б.

Отсюда с учетом преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях найдем:

1) для схем А, В:

 

с передаточной функцией

,

где , , .

2) в схемах Б, В предусмотрена гибкая дифференцирующая обратная связь, предназначенная для гашения возможных колебательных процессов в электромашинной системе при больших коэффициентах усиления ЭМУ. Сигнал отрицательной обратной связи снимается с зажимов выхода ЭМУ в соответствии со схемой рис.11, где – операционное сопротивление обмотки возбуждения генератора. При этом

 

,

 

где , . Учитывая, что , можно принять

 

.

 

Например, для генератора и ЭМУ №1 получим

 

.

 

а) В схеме Б обратная связь осуществляется с помощью стабилизирующего трансформатора, уравнения которого имеют вид [8, стр.68; 9, стр. 17]

 

,

,

 

где и – ток в первичной и вторичной обмотке соответственно; – взаимная индукция обмоток; – общее сопротивление вторичной обмотки, – общее индуктивное сопротивление вторичной обмотки.

Исключая ток из уравнений, после преобразований с учетом для трансформатора со стальным сердечником получим выражение для тока :

 

,

где , , .

После подстановки исходных данных полученное выражение можно представить в виде

 

,

 

где наименьшей постоянной времени можно пренебречь. Тогда упрощенная передаточная функция трансформатора будет иметь вид:

 

.

С учетом обратной связи по току , в соответствии со структурной схемой рис. 12 найдем зависимость , где эквивалентная передаточная фун