Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы

В случае бесконечно глубокой ямы по определению имеем

Интересующее нас решение ищем на отрезке

.

Поскольку в точках x=0 и x=a потенциальная энергия частица обращается в бесконечность, вероятность преодоления бесконечного барьера и попадания за пределы области равна нулю. Оказавшись в этой области частица все время будет находиться в ней. Из определения волновой функции следует

где в.ф. удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера

совпадающему с определением оператора , т.е. функция есть собственная функция этого оператора, соответствующая собственному значению Е. Из сказанного вытекают граничные условия , накладываемые на решение уравнения.

Таким образом, приходим к задаче

От сюда следует:

(*)

Положительность собственного значения Е оператора вытекает из положительности . Решение уравнения (*) представимо в виде супепозиции двух элементарных сосотояний, которые на языке интерпритируются как волны де Бройля, распространяющиеся в противоположных направлениях оси x:

Подстановка решения в граничные условия приводит к системе однородных уравнений

(**)

Для неизвестных коэффициентов С_{+/_.} Критерий существования нетривиального решения данной системы

дает условие квантования

собственного значения Е. Это означает, что обладает дискретным спектром. Вводя согласно (**) обозначения

где С - неизвестная пока вещественная (в силу наличия у в.ф. произвольного фазового множителя) константа, для искомой в.ф. будем иметь

Поскольку собственные функции оператора с дискретным спектром квадратично интегрируемы, условие нормировки имеет вид

От сюда, интегрируя, получаем

Подставляя найденное значение константы, запишем решение задачи в окончательной форме

 

 

[§ 28.] Собственный механический момент (спин)

Рассмотрим Na. У него есть желтая линия. Возникает при переходе с уровня 3p на 3s.

Первоначально ее длина была 5892

Было обнаружено, что эта линия расщепляется на две: дублет.

Возникла идея расщепления уровня 3p на два, тогда можно объяснить возникновение двух линий.

Их длины: 5896 и 5890 .

В 1925 г. Была предложена гипотеза спина, т. е. собственного механического момента.

У электрона спиновое число s= .

Впоследствии Паули ввел спин в теорию.

Если имеем одну частицу, то она характеризуется орбитальным квантовым числом .

Составная частица (атом) состоит из многих микрочастиц. Можно рассматривать эту составную частицу вцелом и приписать ей момент , который описывает орбитальное движение частицы как целого.

Энергетический уровень этой составной частицы в некоторых полях будет зависеть от орбитальных моментов микрочастиц .

Эти моменты являются внутренним свойством этой составной частицы.

Можно рассматривать 2 момента:

1) . Этот момент описывает внутреннее движение частицы (относительно центра инерции)

2) Частица сама движется по некоторой траектории.

У частицы есть еще квантовое число , характеризующее собственный механический момент.

Вводят оператор собственного механического момента:

По аналогии

Спин – внутреннее свойство частицы. Его смысл – у частицы есть внутренний параметр, который реагирует на вращение координат независимо от места положения частицы.

 

§ 29*. Операторы и и их свойства

Все проводится по аналогии с и .

обладает коммутационными свойствами:

Так как и не коммутируют, то они одновременно не измеримы.

Но .

Собственные значения оператора:

, .

Тогда здесь всего 2s+1 значение оператора.

Перейдем к классическому пределу:

Ввиду связи имеем , .

Ясно, что так как - параметр частицы, то он не меняется ни при каких условиях, тогда в классическом пределе:

, .

В классической механике этим величинам аналога нет и они обращаются в нуль.

В случае спина мы не можем наложить условие , т. к. спин – внутреннее свойство частицы. Тогда не всегда целое число.

Если - четное, то -полуцелое.

Если - нечетное, то -целое.

Отсюда деление на 2 типа частиц:

1) Фермионы – спин полуцелый

2) Бозоны – спин целый.