Вероятность результатов измерения

Пусть - вероятность того, что при измерении величины для системы, находящейся в состоянии мы получим результат . Если система находится в состоянии , то величина при измерении выходит с вероятностью равной 1:

В общем случае;

Если полная производная оператора удовлетворяет равенству

,

то собственная функция оператора описывает состояние системы.

Для непрерывного спектра, вероятность того, что результаты измерения величины A для системы, находящейся в состоянии , лежит в интервале от до , определяется следующим выражением:

, (13.1)

или плотность вероятности

 

 

§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин (1/2*)

Введем понятие коммутатора

Если мы имеем , то предполагается, что на некоторую функцию сначала действует , а потом на все действует . Если , то операторы и коммутативны. Причем физические величины, соответствующие этим операторам одновременно измеримы. Или говорят, что эти операторы имеют общий базис. То есть, все собственные функции этих операторов можно выбрать общими. Разложим по базису.

Подействуем на коммутатором:

Используем то, что образуют общий базис :

Числа с оператором коммутируют (т. к. операторы эрмитовы), тогда:

В результате получаем:

То есть, если физические величины одновременно измеримы, то коммутатор соответствующих им операторов равен нулю. Также справедливо обратное утверждение - если коммутатор операторов обращается в нуль, то физические величины соответствующие этим операторам одновременно измеримы. Докажем это утверждение:

Пусть собственная функция оператора , т.е. . Подставляем ее в коммутатор:

Тогда получим . Мы рассматриваем невырожденный спектр. Это значит, что одному собственному значению соответствует единственная собственная функция. Разница между функциями и только до константы. Пусть эта константа - , тогда . Но , тогда . Мы получили, что функция удовлетворяет задаче на собственные функции и собственные значения для оператора . Это можно показать для любой собственной функции оператора . Тогда из коммутативности операторов и следует общность базисов.

Величины и , которым соответствуют коммутирующие операторы, могут быть одновременно измеримы и, следовательно, могут образовывать полный набор динамических переменных. Полный набор динамических переменных полностью задает состояние системы. Но операторы и должны быть независимы.

 

 

[§15.] Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .

 

Будем использовать координатное представление ( -представление). Будем рассматривать систему из одной материальной точки. Действие сводитсяк умножению на вектор , т. е. (это определение действия оператора ).

Здесь строго соблюдается последовательность операторов при раскрытии векторного произведения, например, первая компонента:

,

однако для частного случая декартовых координат порядок операторов не существенен.

Оператор энергии или гамильтониан :

,

здесь - оператор кинетической энергии, - оператор потенциальной энергии. Для одной материальной точки гамильтониан имеет вид:

Переменная t – признак внешнего нестационарного поля.

Тут присутствует и , но и одновременно неизмеримы, тогда потенциальная и кинетическая энергия в квантовой механике не могут быть одновременно измеримыми. В квантовой механике существует понятие “энергия частицы”, но порознь вводить энергию нельзя, иначе либо , либо оказываются неизвестными.

 

§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора

Оператор импульса – оператор с непрерывным спектром собственных значений.

(16.1)

Мы рассматриваем координатное представление, тогда - функция координат.

Оператор векторный, он имеет три компоненты:

Например:

(16.2)

Тогда уравнение (16.1) разбивается на три независимых члена, т.к. операторы коммутируют. Существует утверждение, что если можно представить в виде суммы коммутирующих операторов:

, ,

то задача на собственные функции и собственные значения распадается на подзадачи этих коммутаторов:

Для задачи (16.1) имеем:

,

где i принимает значения 1,2,3

Решим случай i=1, тогда

(16.3)

Подставляем (16.2) в (16.3) и временно опустим индекс p_x у , тогда имеем

т.к. - функция одной переменной, то:

здесь - число, собственное значение.

При решении задачи получили, что p имеет непрерывный спектр на всей числовой оси. Т. е. - не квантуется. Найдем . Используем условие ортонормированности:

В нашем случае:

,

Тогда:

 

(16.4)

.

.

Обозначим .

.

Тогда

Интеграл дает с точностью до множителя - функцию, поскольку:

Используем следующее свойство -функции:

.

В нашем случае получим

,

тогда

(16.5)

Сравнивая (16.5) и (16.4) получим:

В связи с тем, что волновые функции в квантовой механике определены с точностью до фазового множителя, то

.

Фаза точно не определена, и ее можно отнести к самой волновой функции. Такая неоднозначность принципиальна и не может быть устранена, однако она несущественна, так как не отражается ни на каких физических величинах. Таким образом: . Мы получили

Теперь запишем - для трёх мерного случая:

(16.6)

Функция (16.6) удовлетворяет условию нормировки (16.4).

В импульсном представлении:

 

§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .

 

Если в классической механике рассматривать , то

.

Если полученному выражению поставить в соответствие оператор в квантовой механике, то он может быть записан в виде:

,

где - угол поворота вокруг оси .

Рассмотрим задачу на собственные функции и собственные значения для оператора :

,

Мы накладываем на функцию условие периодичности, т. к. угол меняется от до , т. е.:

Используя данное ограничение можно записать:

,

где N и M целые числа, значит тоже должно быть целым:

,

где - целое безразмерное число. Из условия периодичности получили квантованность проекции орбитального момента на ось z. Спектр собственных значений оператора дискретный. Так как целое число, то функция приобретает индекс:

Найдем константу . Запишем условие нормировки :

При интеграл дает . В результате получаем выражение для :

Тогда имеем для уравнения собственную волновую функцию

Таким образом, спектр собственных значений оператора дискретный, а собственные функции нормируемые.

 

§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы (и *).

Для оператора :

Найдем , где - есть функция и , т.е. - координатное представление.

Подействуем этим коммутатором на некоторую произвольную функцию :

(18.1)

Аналогичный результат для оператора в импульсном представлении:

, (18.2)

Здесь .

Рассмотрим частные случаи формул (18.1) и (18.2):

1. , здесь играет роль функции .

2.

3. , здесь потенциальная энергия - функция координат и времени.

3a.

4.

5. , здесь импульсное представление, таким образом .

5a. .Для одной материальной точки , тогда:

6. - координатное представление.

7. - импульсное представление.

Рассмотрим соотношение для оператора

Используем дополнительное соотношение:

{используем (18.1) и (18.2): , } { , тогда второе слагаемое } {в классической математике измерение компонента вектора при бесконечно малом повороте:

,

это отношение справедливо и в квантовой теории поля:

}={ }={ ,

. В общем случае импульс и координата не коммутируют, тогда функция координат и импульсов и импульс, координата и функция координат и импульсов не коммутируют. Если f – функция скалярная, тогда она не меняется при вращении. В этом случае, чтобы , то f – векторная функция.} (где f есть компонента некоторой векторной величины, т. е.

Тогда перепишем в виде :

{меняем местами индексы}

Тогда для любой векторной функции имеем:

Здесь вместо можно подставить, например,

- коммутатор с любым скаляром равен нулю.

Получим:

 

[§ 19.] Волновое уравнение

Надо сформулировать уравнение функции, которая описывала бы квантово-механическую систему.

Это уравнение было получено Шредингером интуитивным путем. Оно ниоткуда не выводится.

Приведем некоторые соотношения в пользу уравнения Шредингера:

Норма волновой функции:

- вероятность обнаружить динамические переменные в интервале .

Наложим на - условие ее сохранения во времени. - это физическое требование, поскольку , то также функция времени.

На базе ограничения получим некоторые ограничения на .

Обозначим . Мы знаем, что , таким образом . Тогда само скалярное произведение - чисто мнимое число.

Но - число вещественное. Отсюда можно представить

(19.1)

Здесь мнимая единица из соотношения . Т. к. в (*) стоит линейный оператор , то это соотношение удовлетворяет принципу суперпозиции.

Подставим (19.1) в равенство , тогда

- эта величина должна быть чисто вещественной, тогда оператор - эрмитов: .

 

Свойства оператора :

В пределе перехода к классической механике: , то , где S – действие из классической механики. Причем , тогда рассматривая

, (19.2)

где - функция Гамильтона.

В нашем случае , тогда учитывая предельный переход и (19.2), то: .

Получили волновое уравнение:

- нестационарное уравнение Шредингера (волновое уравнение).

 

Каждой системе ставится в соответствие Гамильтониан, решаем с гамильтонианом уравнение Шредингера и получаем волновую функцию которая определяет эволюцию системы.