Интегралы движения в квантовой механике

В классической механике , где , тогда A – интеграл движения.

В квантовой механике, чтобы величина , которой ставится в соответствие оператор , была интегралом движения нужно, чтобы .

Для того чтобы физическая величина сохранялась, необходимо и достаточно, чтобы .

1. т. к. , то -значение момента импульса сохраняется, т. е. является интегралом движения.

2. . - интеграл движения.

3. . Отсюда следует. Что различные компоненты момента импульса одновременно не измеримы. А измерима только одна проекция .

4. . Квадрат импульса одновременно измерим с любой компонентой момента импульса.

5. , тогда импульс не является интегралом движения.

§22. Флуктуации физических величин (1/2*)

 

Пусть есть - физическая величина, которая при измерении с вероятностью W_i дает величину , тогда мы можем говорить о среднем и о дисперсии , где

.

Мы вводили флуктуацию

,

отклонение величины от ее среднего значения.

Перенесем все это на язык квантовой механики, т. к. физической величине мы ставим в соответствие .

Можно показать, что .

Неравенство Коши-Шварца: Оно справедливо и для функциональных пространств, в том числе и для гильбертова пространства, которое рассматривается в квантовой механике.

Для двух векторов оно имеет вид

имеет смысл тот, что .

, .

Теперь если обозначить , , тогда будем также рассматривать статистическое усреднение . Отсюда получим из неравенства Коши-Шварца:

Теперь если определить . К тому же по определению из имеем , тогда . Из этого следует, что

.

В случае квантовой механики заменяем на , тогда

.

Задача. Для стационарного состояния частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме найти

Решение. Будем считать, что в.ф. для данной системы уже получены (см. §27).

Согласно определению: (22.1)

Поэтому остается рассчитать

а) В случае числа находится вычислениями

Подставляя полученные значения в (22.1), получаем

б)Для оператора

Среднее значение будет равно

 

Подставим в (22.1) и получим

 

§ 23. Неравенства Гайзенберга. (1/2*)

Канонически сопряженные величины одновременно неизмеримы – это принцип неопределенности.

Под канонически сопряженными понимаем величины и .

В квантовой механике для операторов и , которые поставлены в соответствие канонически сопряженным величинам имеем

.

Более того , а сам коммутатор имеет вид оператора .

Это можно записать в виде .

Если , то , тогда , где .

(*) Вывод:

, т.к. и есть числа.

Обозначим . Здесь - единичный оператор.

Тогда из получим (*)

Введем обозначение

Подставим это в неравенство Коши-Шварца, тогда

Используем эрмитовость операторов

,

,

тогда

.

Поделим левую и правую части на , тогда

Используем определение среднего

,

тогда

.

Или

Операторы и не коммутируют, тогда

.

Первое слагаемое обозначим , .

Второе слагаемое .

Оператор дает чисто вещественное число, а дает чисто мнимое число.

Тогда

,

где .

.

Окончательно

.

В полученном неравенстве математически заложен принцип неопределенности Гайзенберга.

Если величина измерена точно, то ,т.е. .

Если , то величина A измерена точно и , но тогда для , т. к. . Из этого следует, что канонически сопряженная величина B не измерима.

Когда измеряем величину , то получаем спектр значений , которые выходят с вероятностью . Для того чтобы необходимо чтобы система находилась в состоянии .

[§ 24.] Оператор Гамильтона различных систем

Этот вопрос идентичен вопросу рассмотренному в классической механике - будут те же соотношения, но для операторов

.

Поставим в соответствие конкретной системе операторы и :

В декартовой системе координат , .

Здесь n – число точек в системе.

.

- функция от оператора координаты.

Мы рассматриваем - представление, здесь

Мы рассматриваем декартову систему координат. Гамильтониан мы поставили в соответствие системе материальных точек. Эта система незамкнутая, т. к. потенциальная энергия зависит от времени. (т. е. здесь нет однородности времени).

Перейдем к более простой задаче. Рассмотрим систему N материальных точек во внешнем стационарном поле

 

Здесь отвечает за внутреннее взаимодействие между частицами.

отвечает за внешнее воздействие на систему частиц.

.

Выражение, описывающее внешнее воздействие обладает аддитивностью, т. е.

.

Индекс a означает, что разные частицы могут взаимодействовать с внешним полем по разному закону. Если все частицы одинаковые и одинаково взаимодействуют с внешним полем, то индекс a убирается.

Внутреннее взаимодействие не аддитивно.

Рассмотрим случай свободной материальной точки. Соответственно она ни с чем не взаимодействует:

Тогда , или в -представлении, то

,

тогда .

Если материальная точка во внешнем поле:

, ,

Нестационарное поле .

Стационарное поле .

Центральное поле .

Рассмотрим систему двух материальных точек. Мы рассматриваем частный случай – замкнутая система двух материальных точек.

В случае классической механики: .

Отсутствие t в энергии взаимодействия – это однородность времени и закон сохранения энергии.

Зависимость энергии от модуля есть изотропность пространства.

В квантовой механике в -представлении:

,

,

где