Закон Стефана-Больцмана (1884)

Шкала электромагнитных волн

0.75-0.4 мкм

 

 

Радиоволны, УКВ

Инфракрасные волны

Ультрафиолетовые волны

Рентгеновские лучи

-лучи

 

 

Видимый свет:

м или 0.75 – 0.4 мкм.

Оптическое излучение: видимое излучение, ультрафиолетовое и инфракрасное излучение.

 

Излучение тел происходит:

a) под действием освещения тепла от внешнего источника – фотолюминесценция;

b) свечение газов или паров под действием электрического разряда – электролюминесценция;

c) Тепловое излучение – происходит путем нагревания тел, но оно имеет место и при низких температурах (комнатных). Последнее излучение соответствует низким длинам – инфракрасным волнам;

d) Химилюминесценция – сопровождается химическими превращениями внутри тела(свечение гниющего дерева, свечение фосфора, медленно окисляющегося на воздухе).

 

Тепловое излучение.

Это испускание электромагнитных волн за счет внутренней энергии тел.

Остальные излучения (свечения) за счет любого вида энергии, кроме внутренней (тепловой), называется люминесценцией. Химилюминесценция, электролюминесценция, катодолюминесценция, фотолюминесценция.

Тепловое излучение происходит при любой температуре. При невысоких температурах излучаются лишь инфракрасные волны. На рис.1 излучающее тело окружили оболочкой с идеально отражающей поверхностью (r – коэффициент отражения равен 1). Происходит непрерывный обмен между телом и заполняющим оболочку излучением. Излучение равновесное – то есть распределение энергии между телом и излучением остается неизменным.

Единственное тепловое излучение может находиться в равновесии с излучающим телом, это обусловлено тем, что его интенсивность возрастает при повышении температуры.

 

Основные характеристики:

Интенсивность теплового излучения характеризуется потоком энергии, измеряемой в ваттах.

Энергетическая светимость

- поток энергии, испускаемой единицей поверхности в интервале частот .

где - испускательная способность тела, функция частоты температуры тела.

Как так зависят от температуры.

Энергетическая (или испускательная) светимость равна:

Излучение можно характеризовать вместо частоты длиной волны . Участку будет соответствовать интервал длин волн .

, так как

Продифференцируем это

Знак «-»показывает, что с возрастанием или , другая величина убывает.

Доля энергетической светимости, приходящая на интервал

Если и - один и тот же участок спектра,

,

то есть ;

С помощью этой формулы можно перейти от к и наоборот.

Пусть на элементарную площадку тела падает поток лучистой энергии

, где

- поглощательная способность тела, безразмерная величина.

- падающий поток лучистой энергии,

- поглощенная телом часть этого потока

 

- серое тело,

- абсолютно чёрное тело.

 

Закон Кирхгоффа (1859)

Отношение испускательной способности тела к поглощательной способности тела не зависит от природы тела, есть универсальная для всех тел функция частоты и температуры.

Для абсолютно черного тела

;

- универсальная функция Кирхгоффа есть не что иное, как испускательная способность абсолютно черного тела.

 

При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава равновесного теплового излучения, удобно пользоваться функцией частоты . В экспериментальных -

Обе функции связаны друг с другом

Абсолютно черных тел в природе не существует.

Малое отверстие в полости близко по своим характеристикам к а. ч. т. Практически все излучение частицы поглощается в полости по закону Кирхгоффа

где T – температура стенок.

Из отверстия выходит излучение, близкое по спектральному составу к излучению а. ч. т. при той же температуре. Разлагая это излучение в спектр при помощи дифракционной решетки и измеряя интенсивность различных участков спектра, можно построить график функции .

Кривые, относящиеся к различным значениям температуры T абсолютно черного тела.

Площадь под кривой дает энергетическую светимость а. ч. т. при соответствующей температуре, которая сильно возрастает при увеличении температуры.

В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена в объеме полости с определенной плотностью .

Спектральное распределение этой энергии характеризуется функцией , определенной условием

,

где - доля плотности энергии приходящаяся на интервал частот

 

Полная плотность энергии равна:

 

Экспериментально получили

 

Эта формула связывает испускательную способность а. ч. т. с равновесной плотностью энергии. Max испускательной способности а. ч. т. с увеличением температуры смещается в сторону более коротких волн . С классической точки зрения на излучение были получены законы в поисках универсальной функции Кирхгоффа.

 

Формула Планка (1900)

Для устранения этой катастрофы Планк выдвинул гипотезу:

Атомные осцилляторы излучают энергию только определенными порциями – квантами.

Он нашел вид функции , которая в точности совпадает с экспериментальными кривыми.

, где - энергия кванта излучения. Для света квант излучения Эйнштейном был назван фотоном.

- энергия фотона

- постоянная Планка

- число фотонов излучения

Закон определяет энергию, приходящую на фотоны с частотами от до , для излучения в объеме

- спектральная плотность энергии

g- число возможных проекций спина на направление внешнего поля

, где

Для электрона

Число возможных проекций спина на заданное направление , тогда для электрона .

Из формулы Планка выводится все другие законы теплового излучения.

 

Закон смещения Вина

 

;

При этих плотность получения максимальна.

 

Закон излучения Вина

В предельном случае

 

 

Закон Стефана-Больцмана

Интегрируя формулу Планка

По всем частотам, находим полную энергию излучения, содержащуюся в объеме V=1 м³

Мощность, излучаемая в единичный телесный угол в направлении нормали к 1 м² черной излучающей поверхности в полосе частот от до , называется спектральной плотностью потока энергии, . Спектральная плотность энергии и спектральная плотность потока энергии связаны отношением

; где n₀ – показатель преломления

Мощность излучения

Испускаемая с 1 м² излучающей поверхности в полупространство, для случая n₀ =1, определяется законом излучения Стефана-Больцмана;

 

Закон Релея-Джинса

В предельном случае

 

Аналогично

Второй постулат квантовой механики:

где .- обобщённые координаты.

Например: 1) линейного гармонического осциллятора в нормальном состоянии. Нормированная волновая функция этого состояния известна.

где

все интегралы вида вследствие нечётности подынтегральной

функции.

2) Определим P

Как и в классической механике, в этом случае равны нулю, что и следовало ожидать из соображений симметрии функции относительно х.

3) Вычислим средние значения кинетической и потенциальной энергии:

т. е. средняя потенциальная энергия равна средней кинетической, как и в классической механике.

И как и следовало ожидать, поскольку нулевое состояние есть состояние с определённой энергией.

 

Условия возможности одновременного измерения разных

механических величин.

Согласно одному из основных постулатов квантовой механики, механической величине можно приписывать определённое значение только в том случае, когда это значение является собственным значением - функции, описывающей состояние, в котором находится система.

При каких условиях две или несколько механических могут иметь одновременно определённые значения.

Две механические величины F и G имеют определённые значения, если состояние описывается функцией , являющейся собственной функцией того и другого оператора, т. е. общей собственной функцией.

Например:

Собственные функции этих операторов удовлетворяют уровням.

Где - собственные значения операторов.

Функция равная

удовлетворяет всем этим трем уравнениям, т.е. является общей собственной функцией операторов . Это показывает, что проекции количества движения на все три оси координат могут иметь одновременно определенные значения.

ТЕОРЕМА: Если операторы имеют общие собственные функции, то такие операторы коммутируют.

Пусть общей собственной функцией операторов .

Следовательно,

Обратная теорема: Если операторы коммутируют, то они имеют общие собственные функции.

Динамические переменные имеют общую собственную функцию, следовательно, их операторы коммутируют.

Откуда следует

Аналогично

Координатам соответствующая другой координате составляющая импульса также коммутируют.

Но координата и соответствующая ей составляющая импульса не коммутируют,

т.е.

или

Не могут иметь определенные значения координаты m соответствующие mm составляющие количества движения, либо одна из них имеет определенное значение m тогда другая будет неопределенна.

Составляющие момента импульса не коммутируют:

Соотношения неопределенностей.

В классической механике записаны так .

Т.е. на опыте, исходя на основе физических соображений, не можем одновременно получить абсолютно точные значения. Неопределенности обусловлены не совершенством наших измерений, а самой природой материи.

Квантовая механика приводить к неизбежности этих неопределенностей.

Неопределенности или неточности характеризуются квадратным корнем из среднего квадрата отклонения:

Они указывают верхний предел точности, который может быть достигнут при одновременном измерении координат m импульсов; произведение неточностей не может

быть меньше

Свободная частица.

Одна частица, движущаяся в отсутствие действия сил в направлении, которое мы примем за ось X. Т.к. силы отсутствуют, то U=const мы можем принять ее равной нулю. Функция Гамильтона в классической механике состоит из одной кинетической энергии

при выбранной оси координат x: , оператор импульса будет

Оператор Гамильтона:

Уравнение Шредингера

Частные решения этого уравнения, таковы

Эти условия удовлетворяют стандартным условиям конечности m непрерывности во всем пространстве при любых положительных значениях E: E>0.

Спектр собственных значений энергии в данном случае сплошной, в отличие от дискретного спектра.

 

Движение в центральном поле.

Оператор момента количества движения.

 

Движение в поле центральных сил. Важную роль играет в квантовой механике оператор момента количества движения.

В декартовых координатах:

Теперь мы должны перейти в этой главе к сферическим координатам:

Напишем полный дифференциал как функция x, у, z.

.

Переход к сферическим координатам, пологая, что r и V остаются постоянными, а изменяется то

Аналогично выводится

Операторы некоммутирующие операторы, поэтому определить можно одну компоненту, а две другие не определяются.

Оператор квадрата момента количества движения

- оператор Лежандра.

Каждый из операторов коммутирует с оператором .

Оператор квадрата момента импульса имеет общие собственные функции с операторами каждой из его проекций.

Законы сохранения в центрально симметричном поле.

Оператор энергии полярных координатах:

Вводится оператор радиального момента:

Если принять во внимание, что то .

Оператор любой составляющей момента количества движения коммутирует с .

.

Это означает, что численное значение момента количества движения сохраняется во времени. и коммутируют с , следовательно все три оператора имеют общие собственные функции.

А поэтому численное значение момента количества движения, одна из его проекций и энергия могут одновременно определенные значения.

, где У - шаровая функция. .

Шаровыми функциями называются шаровые полиномы (одновременные), удовлетворяющие уравнению Лапласа или в декартовых координатах

в раскрытом виде

В сферических координатах

Где l есть квантовое число момента количества движения.

- собственное значение квадрата момента количества движения.

т.е.

тогда момент количества движения принимает собственные значения - собственная функция оператора.

 

Уравнение Шредингера

 

следует решать по методу разделения переменных, полагая

Умножая исходное уравнение на получаем:

Так как слева стоит величина, зависящая только от r, справа – только от углов , это равенство может иметь место только в том случае, когда и левая, и правая части равны по отдельности некоторой величине , называемой постоянной разделения.

Для радиальной:

Для угловой:

Полагая

ее разделяют по сферическим углам:

Частные производные заменяются полными дифференциалами.

- постоянная разделения.

Каждая из функций зависит только от одной переменной.

Таким образом, для определения собственных значений энергии и соответствующих им собственных значений функций получим три уравнения:

нормировка производится для каждой из функций по отдельности.

Частное решение для азимутальной функции: ,

либо .

Волновая функция должна удовлетворять условию однозначности, необходимо наложить условие периодичности , из которого следует

,

где .

из условия нормировки

m – магнитное квантовое число, собственные значения его известны.

Решение второго уравнения:

 

 

l – орбитальное квантовое число, l = 0,1,2,3,…, n -1

квантовое число характеризует собственное значение оператора , входящего в квантовое операторное выражение функции Гамильтона

.

Сравнивая с классической функцией Гамильтона

,

где , видим, что оператору в классическом случае соответствует квадрат момента количества движения , а оператору - квадрат радиального импульса .

В классической механике момент количества движения , а момент внешних сил , и изменения

В случае центральных сил , тогда закон сохранения количества движения.

Чтобы обобщить классическое выражение на квантовый случай, надо заменить оператором импульса

,

тогда - не коммутируемые операторы.

;

действуя на шаровую функцию

;

m – характеризует проекцию момента количества движения на ось z.

- собственная функция операторов

При обращается в нуль, в то время по классической теории это величина не может вообще обращаться в нуль. Состояние не имеет классического аналога. Механический момент атома, находящегося в наинизшем состоянии, обращается в нуль. Экспериментальные данные из области спектроскопии подтверждают этот квантово-механический результат.

 

Литература.

 

Шпольский Э.В. «Атомные физика». т. I-II М. Наука, 1984 г.

Блохинцев Д.И. «Основы Квантовой механики» М. Наука, 1983 г.

Гольдин Л.Л., Новикова Г.И. «Введение в квантовую физику». М. Наука, 1988 г.

Матвеев А.Н. «Атомная физика» М.Высшая школа 1989 г.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Квантовая механика» М. Наука 1974 г.

Соколов А.А., Тернов Н.М., Жуковский В.Ч. «Квантовая механика» М. Наука 1979 г.

Фок В.А. «Начала квантовой механики» М Наука 1976 г.

Горяга Г.И. «Конспект лекций по атомной физике». М. Наука, 1985 г.

Киттель Ч. «Введение в физику твердого тела» (перевод с американского издания) М. Наука, 1978 г.

Бонч-Брусевич В.Л. «Физика полупроводников» М. Наука 1977 г.

Шиллинг Г. «Статистическая физика в примерах». М. МИР 1976 г.

Киреев П.С. «Физика полупроводников» М. Высшая школа,1975 г.

Шкала электромагнитных волн

0.75-0.4 мкм

 

 

Радиоволны, УКВ

Инфракрасные волны

Ультрафиолетовые волны

Рентгеновские лучи

-лучи

 

 

Видимый свет:

м или 0.75 – 0.4 мкм.

Оптическое излучение: видимое излучение, ультрафиолетовое и инфракрасное излучение.

 

Излучение тел происходит:

a) под действием освещения тепла от внешнего источника – фотолюминесценция;

b) свечение газов или паров под действием электрического разряда – электролюминесценция;

c) Тепловое излучение – происходит путем нагревания тел, но оно имеет место и при низких температурах (комнатных). Последнее излучение соответствует низким длинам – инфракрасным волнам;

d) Химилюминесценция – сопровождается химическими превращениями внутри тела(свечение гниющего дерева, свечение фосфора, медленно окисляющегося на воздухе).

 

Тепловое излучение.

Это испускание электромагнитных волн за счет внутренней энергии тел.

Остальные излучения (свечения) за счет любого вида энергии, кроме внутренней (тепловой), называется люминесценцией. Химилюминесценция, электролюминесценция, катодолюминесценция, фотолюминесценция.

Тепловое излучение происходит при любой температуре. При невысоких температурах излучаются лишь инфракрасные волны. На рис.1 излучающее тело окружили оболочкой с идеально отражающей поверхностью (r – коэффициент отражения равен 1). Происходит непрерывный обмен между телом и заполняющим оболочку излучением. Излучение равновесное – то есть распределение энергии между телом и излучением остается неизменным.

Единственное тепловое излучение может находиться в равновесии с излучающим телом, это обусловлено тем, что его интенсивность возрастает при повышении температуры.

 

Основные характеристики:

Интенсивность теплового излучения характеризуется потоком энергии, измеряемой в ваттах.

Энергетическая светимость

- поток энергии, испускаемой единицей поверхности в интервале частот .

где - испускательная способность тела, функция частоты температуры тела.

Как так зависят от температуры.

Энергетическая (или испускательная) светимость равна:

Излучение можно характеризовать вместо частоты длиной волны . Участку будет соответствовать интервал длин волн .

, так как

Продифференцируем это

Знак «-»показывает, что с возрастанием или , другая величина убывает.

Доля энергетической светимости, приходящая на интервал

Если и - один и тот же участок спектра,

,

то есть ;

С помощью этой формулы можно перейти от к и наоборот.

Пусть на элементарную площадку тела падает поток лучистой энергии

, где

- поглощательная способность тела, безразмерная величина.

- падающий поток лучистой энергии,

- поглощенная телом часть этого потока

 

- серое тело,

- абсолютно чёрное тело.

 

Закон Кирхгоффа (1859)

Отношение испускательной способности тела к поглощательной способности тела не зависит от природы тела, есть универсальная для всех тел функция частоты и температуры.

Для абсолютно черного тела

;

- универсальная функция Кирхгоффа есть не что иное, как испускательная способность абсолютно черного тела.

 

При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава равновесного теплового излучения, удобно пользоваться функцией частоты . В экспериментальных -

Обе функции связаны друг с другом

Абсолютно черных тел в природе не существует.