Операторы физических величин

Каждой физической величине соответствует линейный эрмитовый оператор . Этот оператор принимает собственные значения на базисе собственных функций .

Собственные значения оператора соответствуют возможным значениям физической величины.

Собственные функции оператора соответствуют собственным состояниям, отвечающим выбранному собственному значению.

Оператор энергии (гамильтониан) - энергия

Векторный оператор импульса - импульс

Квадрат оператора момента импульса -квадрат момента импульса

Оператор -компоненты момента импульса

- -компонента момента импульса

Оператор вектора спина

Оператор -компоненты вектора спина

Состояние электрона в атоме полностью определяется четыремя квантовыми числами

Пример Электрон в кулоновском поле ядра (атом водорода)

Определить энергию электрона и волновые функции стационарных состояний.

Решение:

Пишем стационарное уравнение Шредингера . Задача обладает сферической симметрией. Поэтому используем сферические координаты , Потенциальная энергия электростатического поля . Оператор Лапласа разделяем на радиальную и угловую части . Заменяем и получаем для радиальной части волновой функции .

Уравнение

имеет решение

Вероятность нахождения электрона в основном состоянии в интервале :

.

В ядре электрона нет, наибольшая вероятность нахождения электрона на расстоянии первого боровского радиуса, далее она падает по экспоненте. См рис 5

Рис.5

В общем случае уровни энергии соответствуют формуле Бора:

Волновая функция зависит от трех квантовых чисел

где -сферические гармоники.

Принцип Паули: В каждом квантовом состоянии может находится только один электрон.

Пример. . На уровне энергии могут находится электрон в состоянии , и электрон в состоянии .Это атом гелия с двумя электронами. Атом лития имеет три электрона, поэтому два электрона находятся в состояниях : , один электрон находится в одном из двух состояний : , остальные шесть состояний : , пустые.

Заполнение квантовых состояний электронами происходит в соответствие с принципом минимума энергии и принципом Паули. При этом электроны заполняют низшие энергетические состояния группируясь в электронные оболочки () от ядра наружу. Число электронов в оболочках

равно . Оболочки состоят из подоболочек:

; …

Так объясняется периодическая система химических элементов Д.И.Менделеева.

Молекулы

Молекула –наименьшая частица вещества обладающая его свойствами и состоящая из атомов соединенных химическими связями.

Образование молекулы водорода. В первом приближении можно считать ядра атомов неподвижными и рассматривать только движение двух электронов. Если спины электронов антипараллельны то спин молекулы если параллельны то Энергия взаимодействия двух электронов

-электростатическая энергия взаимодействия

-обменная энергия (обмен электронами между состояниями)

Два атома водорода с антипараллельными спинами притягиваются образуют гомополярную молекулу водорода.

Два атома водорода с параллельными спинами отталкиваются. График потенциальной энергии взаимодействия атомов водорода в зависимости от расстояния между электронами приведен на рис.6

Рис6 Энергия взаимодействия двух атомов водорода для триплетного и синглетного состояний. В синглетном состоянии образуется устойчивая молекула водорода (нижняя кривая)

Молекулярные спектры

Полная энергия молекулы может быть представлена в виде суммы квантованных значений энергии соответствующим трем видам её внутренних движений: электронов, колебаний атомов в молекуле. Вращению молекулы как целого.

Молекулярные спектры возникают при квантовых переходах между уровнями энергии молекулы где -квант испускаемого фотона частоты .

Колебательные уровни энергии

где колебательное квантовое число

Вращательные уровни энергии

где вращательное квантовое число, -вращательная постоянная, -момент инерции молекулы.

Схема уровней энергии двухатомной молекулы показана на рис.7