Одновременность событий в разных системах отсчета

Пусть в системе в точках с координатами и одновременно (в этой системе!) в момент времени происходят два независимых события. Согласно преобразованиям Лоренца (6.3), в системе этим событиям будут соответствовать моменты времени:

; (6.4)

Как видно из (6.4), если , то в системе отсчета рассматриваемые события не будут одновременными. Знак разности определяется знаком выражения ( /с) (). Для различных систем рассматриваемые события будут происходить в различной последовательности. Подчеркнем, что это справедливо только для независимых событий, таких, между которыми не существует причинно-следственных связей. Т.е. ни в какой системе отсчета пуля не попадет в мишень, до того, как произошел выстрел, которым она была направлена в цель.

ДЛИНА ТЕЛ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ.

Рассмотрим стержень, покоящиеся в , расположенный вдоль оси , и имеющий длину , где_. и – координаты начала и конца стержня. Длина стержня в может быть найдена, если в некоторый момент времени в этой системе отсчета зафиксировать координаты начала и конца стержня. Воспользовавшись формулами (6.3), получим:

. (6.5)

Таким образом приходим к выводу о том, что длина стержня, движущегося со скоростью , в неподвижной системе отсчета оказывается меньше, чем длина в системе, относительно которой стержень покоится - . В направлении осей и размеры стержня одинаковы во всех отсчетах.

Следовательно, размеры движущихся тел сокращаются в направлении их движения и тем больше, чем с большей скоростью движутся тела. Это сокращение называется лоренцевым.

ПРОМЕЖУТОК ВРЕМЕНИ МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ.

Пусть в в точке с координатой в моменты времени и происходят два события. В соответствии с (6.2) в системе эти события произойдут в моменты времени:

; (6.6)

Обозначив и , получим формулу, связывающую промежутки времени между двумя событиями в системе отсчета и в системе отсчета :

(6.7)

Допустим, что рассматриваемые события происходят с одной и той же частицей, которая покоится в и движется относительно со скоростью . Тогда можно считать промежутком времени, измеренным по часам, движущимся вместе с частицей. Время, отсчитанное по таким часам, называют собственным временем данного тела и обозначают τ. Соответственно для промежутка собственного времени частицы справедливо соотношение:

. (6.8)

есть промежуток времени измеренный по часам системы отсчета, относительно которой тело покоится. - по часам в покоящейся системе, относительно которой частица движется со скоростью . Поэтому можно утверждать, что движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся.

Соотношение (6.8) получило экспериментальное подтверждение при изучении космических лучей. При взаимодействии частиц, приходящих на землю из космоса, с атмосферой на высоте 20-30 км образуются нестабильные частицы мюоны. Время их жизни, измеренное при движении с малыми скоростями, составляет около 2٠10^-6 с. За это время, двигаясь даже со скоростью света, мюоны могли бы проходить путь порядка 600 м. Но мюоны в значительных количествах наблюдаются на поверхности Земли, а значит, преодолевают значительно большие расстояния. Это объясняется тем, что 2٠10^-6 с есть собственное время жизни мюонов. Двигаясь со скоростью близкой к с, мюоны в неподвижной системе, связанной с Землей живут намного дольше, и значительная их часть достигает поверхности Земли.

Соотношение (6.8) лежит в основе парадокса близнецов: если один из двух близнецов отправляется в длительное космическое путешествие со скоростью, близкой к скорости света, то вернувшись, он встретится со своим близнецом, который будет намного старше космонавта… Это утверждение следует с необходимостью из формулы (6.8). А в чем же парадокс? Парадокс в том, что космонавт может рассуждать так: «Я сижу себе в корабле, а Земля вместе с Солнцем удалилась от меня, а потом вернулась. Тогда я должен быть намного старше моего брата…». Кто прав?

ИНТРЕВАЛ.

Итак, как мы установили, пространство, и время в теории относительности не являются абсолютными и безотносительными к чему-либо, как это предполагалось в ньютоновской механике. Наоборот, пространство и время оказываются взаимосвязанными образуя единое пространство-время.

В связи с этим в теории относительности рассматривают воображаемое четырехмерное пространство, по трем осям которого откладываются пространственные координаты, а по четвертой пропорциональная времени временная координата , имеющая ту же размеренность, что и пространственные координаты. В этом пространстве всякое событие, характеризуемое временем, когда оно произошло, и местом, где оно произошло, изображается точкой с координатами . Эту точку называют мировой точкой.

Всякой частице соответствует линия, называемая мировой линией, которая для покоящейся частицы будет параллельна оси .

В обычном трехмерном пространстве величина расстояния между двумя точками

(6.9)

является инвариантом, т.е. не изменяется при переходе от одной инерциальной системы координат к другой.

В четырехмерном пространстве величина

(6.10)

не является инвариантом. Следовательно, эта величина не обладает свойствами расстояния между двумя мировыми точками.

В четырехмерном пространстве инвариантом является другая величина, а именно

(6.11)

Эту величину по определению называют интервалом между событиями. Учитывая (6.9), для интервала можно записать:

(6.12)

Покажем, что интервал действительно является инвариантом по отношению к преобразованиям Лоренца. В соответствии с формулами преобразований Лоренца (6.3)

; ; ; (6.13)

Подставив (6.13) в определяющее интервал соотношение (6.10), получим:

		Уничт.

 

.

Таким образом, интервал действительно является инвариантом, хотя величины, из которых он составлен, как мы установили, таковыми не являются.

Выражение (6.8) для промежутка собственного времени можно преобразовать следующим образом:

(6.14)

Таким образом, промежуток собственного времени пропорционален интервалу между двумя рассматриваемыми событиями, и (как и интервал!) является инвариантом.

В соответствии с определением , в зависимости от соотношения между расстоянием , разделяющим точки в которых произошли два события и расстоянием , которое может пройти световой сигнал за время между событиями, интервал может быть вещественным, мнимым или равным нулю.

Если интервал равен нулю, то он разделяет события типа испускания светового сигнала в одной точке и его прием в другой. Только в этом случае Δ = .

Вещественный интервал, в силу его инвариантности, будет вещественным в любой системе отсчета, а значит в любой системе отсчета

(6.15)

События, разделенные вещественными интервалами, ни в какой системе отсчета не могут быть одновременными. Действительно, если бы такая система нашлась, то в ней разность должна была бы отрицательной, а интервал - мнимым. А этого не может быть в силу инвариантности интервала.

В то же время можно доказать, что для событий, разделенных вещественными интервалами существует система отсчета, в которой они будут пространственно совмещены. Такие свойства вещественных интервалов позволили назвать их времениподобными. События происходящие с одной частицей обязательно разделены времениподобными интервалами, т.к. частица не может двигаться со скоростью , а значит путь, пройденный ею за будет меньше, чем . Можно доказать, что события, происходящие с одной частицей во всех системах отсчета происходят в одной последовательности.

Мнимые интервалы обладают обратными свойствами: события разделенные ими ни в одной системе отсчета не могут быть пространственно совмещены. Поэтому мнимые интервалы называют пространственноподобными. В то же время всегда можно найти такую систему отсчета, в которой события, разделенные мнимыми интервалами будут происходить одновременно.

Расстояние Δ ℓ между точками, в которых произошли события, разделенные пространственноподобными интервалами, обязательно больше, чем . Поэтому такие события не могут оказать влияния друг на друга и не могут быть причинно связанными.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ

Рассмотрим движение некоторой частицы. Её скорость в системе отсчета определяется выражениями:

. (6.16)

Аналогичные выражения справедливы, естественно, и в системе .

Из преобразований Лоренца вытекают соотношения:

; = ; ; (6.17)

Тогда для составляющих скорости в имеем:

. (6.18)

. (6.19)

. (6.20)

В соотношениях (6.18) - (6.20) составляющая скорости вдоль оси на первый взгляд имеет привилегированное положение. Однако это в действительности есть только следствие специального выбора ориентации осей рассматриваемых систем отсчета.

Если тело движется вдоль оси , то его скорость совпадает с проекцией на эту ось, и закон сложения скоростей имеет вид:

. (6.21)

Допустим что в системе движется частица с . Тогда в системе отсчета , неподвижной, ее скорость будет равна:

. (6.22)

в соответствии с постулатом о постоянстве с.