Кинетическая энергия и работа при вращательном движении тела

Рассмотрим твердое тело, вращающееся с угловой скоростью вокруг некоторой оси. Считая тело состоящим из жестко связанных частиц, для кинетической энергия некоторой частицы массой , движущейся, вследствие вращения тела, с линейной скоростью можем утверждать:

(4.20)

Учитывая, что линейная скорость -той частицы , для кинетической энергии частицы находим:

(4.21)

Кинетическая энергия тела, обусловленная его вращением (!), складывается из кинетических энергий отдельных частиц:

(4.21)

где - момент инерции тела.

Работа, совершаемая всеми приложенными к телу силами, идет на увеличение его кинетической энергии. Поэтому

 

, (4.21)

где есть угловое ускорение тела.

Таким образом,

(4.22)

Если внимательно сравнить формулы для вращательного и поступательного движений, то легко установить аналогию величин и формул:

 

 

Аналогия величин и соотношений поступательного и вращательного движений
Поступательном движение	Вращательное движение
Путь	Угол поворота
Перемещение	Угол поворота
Скорость	Угловая скорость
Масса	Момент инерции
Импульс	Момент импульса (вокруг оси симметрии)
Сила	Момент силы
Второй закон Ньютона	Основное уравнение динамики вращательного движения
Кинетическая энергия	Кинетическая энергия
Продолжите самостоятельно	Продолжите самостоятельно

 

ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

 

Мы рассматривали два основных вида движения: поступательное и вращательное. При поступательном движении скорости и ускорения всех точек тела одинаковы, поэтому для описания движения всего тела достаточно определить движение одной точки тела. Для описания вращательного движения необходимо задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость в каждый момент времени.

Можно доказать, что произвольное движение тела можно представить в виде наложения двух основных видов движения. Наиболее просто это можно показывать для плоского движения, т.е. такого движения, при котором точки тела перемещаются в параллельных плоскостях.

Действительно, плоское перемещение тела из положения «I» в «II» (рисунок 4.8 - а _) можно представить в виде двух последовательных перемещений: сначала поступательного, до перемещения центра масс в заданное положение, а потом - поворота вокруг оси «О», проходящей через его центр масс, на необходимый угол φ (рисунок 4.6 - b).

Заданное плоское перемещение можно представить также как промежуточное поступательное перемещение (рисунок 4.6 - с) c последующим вращением относительно промежуточной оси «О'» на тот же угол φ.

Наконец требуемое перемещение можно представить как чисто вращательное движение относительно оси «О'' » -рисунок 4.6 - d. Примечательно, что для любой оси вращения поворот происходит на один и тот же угол φ.

Рассуждая аналогично, произвольное элементарное перемещение точки тела, заданной радиус-вектором за время , можно представить в виде суммы перемещения , обусловленного поступательным движением, и перемещения , обусловленного вращением:

. (4.23)

Разделив это соотношение на , получим для скорости точки выражение:

(4.24)

где - одинаковая для всех точек тела скорость, обусловленная поступательным перемещением в выбранной системе отсчета,

- скорость, обусловленная вращением, зависящая от положения точки, т.е. от ее радиус-вектора в выбранной системе отсчета: .

Обозначив скорость поступательного движения центра масс в выбранной системе отсчета , () можем утверждать, что скорость точки тела при сложном движении определяется соотношением:

(4.25)

Очевидно, что всегда можно указать совокупность радиус-векторов, задающих положение точек для которых выполняется условие , т.е. скорость поступательного движения центра масс относительно неподвижной системы отсчета оказывается равной нулю. Эти радиус векторы определяют положение прямой, относительно которой движение тела можно считать чисто вращательным. Такую прямую называют мгновенной осью вращения. Она может находиться как в пределах движущегося тела, так и вне него.

При качении цилиндра по плоскости (рисунок 4.7) без проскальзывания мгновенной осью вращения является линия касания цилиндра и плоскости. Относительно этой оси скорость центра масс .

При качении цилиндра с проскальзыванием так, что (ведущее колесо автомобиля проскальзывает при разгоне), мгновенная ось вращения оказывается в пределах тела (рисунок 4.8). Она, очевидно, совпадет с осью, проходящей через
центр масс, если будет наблюдаться полное проскальзывание, т.е скорость автомобиля будет равна нулю.

При качении цилиндра с проскальзыванием (рисунок 4.9) так, что (колесо автомобиля проскальзывает, но не заблокировано, при торможении), мгновенная ось вращения оказывается вне пределов тела. При полной блокировке колеса, т.е. при поступательном движении цилиндра без вращения, ось вращения оказывается на бесконечности. Соответственно поступательное движение можно рассматривать как вращательное относительно мгновенной оси, находящейся на бесконечности.