Полная механическая энергия. Связь силы.

Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и вза­имодействия:

т. е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий. Полная механическая энергия: - характеризует движение и взаимодействие тел; и - является функцией скоростей и взаимного расположения тел. Изменение полной механической энергии равно суммарной работе всех внешних сил и внутренних непотенциальных сил. Очевидно, что полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только потенциальные силы, не изменяется при любых перемещениях тел. Это утверждение называется законом сохранения механической энергии.

Связь силы действует на тело и его потенциальную энергию. Пусть тело переместилось вдоль оси Х на dX под действием консервативной силы F, тогда работа этой силы записывается так: dA=Fxdx, Fxdx=-dEпàFx==∂Еп/∂x, Fx=∂Еп/∂Z. F=gradEп.

13. Момент силы и момент импульса.

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точ­ки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25): Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы (18.1) где a— угол между r и F; r sina = l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О — плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M_z, равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 26). Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью: Найдем выражение для работы при вращении тела (рис. 27). Пусть сила F приложе­на в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r, a — угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dj точка приложения В проходит путь d s=r dj и работа равна произведе­нию проекции силы на направление смещения на величину смещения: Учитывая (18.1), можем записать где Fr sin a = Fl =M_z — момент силы относительно оси z.

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произ­ведением: где r — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A, p =m v — импульс мате­риальной точки (рис. 28); L — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к р. Модуль вектора момента импульса где a — угол между векторами r и р, l — плечо вектора р относительно точки О.

 

14. Пара сил и ее вращательный момент.

ПАРА СИЛ - две равные по величине и противоположные по направлению параллельные силы, приложенные к одному телу. Пара сил не имеет равнодействующей. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару сил, называют плечом пары. Действие пары сил на тело характеризуется моментом пары сил - произведением одной из сил на плечо. Вычислим вращательный момент пары: M=M1+M2=│r1F1│-│r2F2│=│r1-r2▪F1│=│r21F1│.Модуль вращательного момента пар. Для любых 2 взаимодействующих точек момент пары сил с которыми точки взаимодействуют всегда=0, так как h=0.

Теорема об изменении момента импульса механической системы. Моментом импульса механической системы называется векторная сумма L моментов импульса всех частиц входящих в систему. L=∑Li=∑[ri;miὺi]. Продифференцируем dL/dt=d/dt ∑[ri;miὺi] и получаем в итоге dL/dt=Мвнешн. В замкнутой системе момент внешних сил откуда (19.4)

Выражение (19.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства — его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы от­счета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

 

15. Момент инерции материальной точки, системы и твердого тела.

Моментом инерциисистемы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс л материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси: В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис. 23). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины d r с внутренним радиусом r и внешним r +d r. Момент инерции каждого полого цилиндра d J=r ²d m (так как d r<<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем 2p rh d r. Если r— плотность материала, то dm= 2p rhr d r и d J=2phrr^з d r. Тогда момент инерции сплошного цилиндра но так как pR ² h — объем цилиндра, то его масса m=pR ² hr, а момент инерции

16. Теорема Штерна.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

 

17. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

Iε = M. Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими. Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.

Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины, определяются как векторы, направленные по оси вращения. При изучении поступательного движения тел вводится понятие импульса тела. Аналогично, при изучении вращательного движения вводится понятие момента импульса. Моментом импульса вращающегося тела называют физическую величину, равную произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения. Момент импульса обозначается буквой L: Момент импульса всего тела определяется как векторная сумма Li. L = Iω. Это уравнение, полученное здесь для случая, когда I = const, справедливо и в общем случае, когда момент инерции тела изменяется в процессе движения.

 

18. Кинетическая энергия вращательного тела.

Рассмотрим абсолютно твердое тело (см. § 1), вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 24). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами т ₁, т ₂ ,..., т_n, находящиеся на расстоянии r ₁, r ₂,..., r_n от оси.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементар­ные объемы массами m_i опишут окружности различных радиусов r_i, и имеют различные линейные скорости v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова: (17.1) Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энер­гий его элементарных объемов:

или Используя выражение (17.1), получаем

где J_z — момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела (17.2)

Из сравнения формулы (17.2) с выражением (12.1) для кинетической энергии тела движущегося поступательно (T=mv ²/2 ), следует, что момент инерции — мера инертности тела при вращательном движении. Формула (17.2) справедлива для тела вращающегося вокруг неподвижной оси. В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения: где m — масса катящегося тела; v_c — скорость центра масс тела; Jc — момент инер­ции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; w — угловая скорость тела. Работа внешней силы по вращению тела F=Fi+Fr+Fk. Работа силы вращающегося тела A=M* ∆φ

 

19. Гравитационное поле.

Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля. Это поле порождается телами и является формой существования материи. Основное свойство поля тяготения заключается в том, что на всякое тело массой т, внесенное в это поле, действует сила тяготения, т. е. (24.1)

Вектор g не зависит от m и называется напряженностью поля тяготения. Напряженность поля тяготения определяется силой, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой. Напряжен­ность есть силовая характеристика поля тяготения. Поле тяготения называется однородным, если его напряженность во всех точках одинакова, и центральным, если во всех точках поля векторы напряженности направ­лены вдоль прямых, которые пересекаются в одной точке (А), неподвижной по отноше­нию к какой-либо инерциальной системе отсчета (рис. 38). Для графического изображения силового поля используются силовые линии (линии напряженности). Силовые линии выбираются так, что вектор напряженности поля направлен по касательной к силовой линии.

Величина является энергетической характеристикой поля тяготения и называется потенциалом. Потенциал поля тяготения j — скалярная величина, определяемая потенциальной энер­гией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность. Таким образом, потенциал поля тяготения, создаваемого телом массой М, равен (25.4) где R — расстояние от этого тела до рассматриваемой точки. Из формулы (25.4) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потен­циалом образует сферическую поверхность (R =const). Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, называются эквипотенциальными. Рассмотрим взаимосвязь между потенциалом (j) поля тяготения и его напряжен­ностью (g). Из выражений (25.1) и (25.4) следует, что элементарная работа d A, совершаемая силами поля при малом перемещении тела массой т, равна

20. Давление в жидкостях и газах. Законы Паскаля и Архимеда.

Единица давления — паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1м²(1 Па=1 Н/м²).

Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняетсязакону Паскаля: давле­ние в любом месте покоящейся жидкости одинаково по воем направлениям, при­чем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкос­тью. Рассмотрим, как влияет вес жидкости на распределение давления внутри покоящей­ся несжимаемой жидкости. При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свободная поверхность покоящейся жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления. Тогда при поперечном сечении S столба жид­кости, его высоте h и плотности r вес P=rgSh, а давление на нижнее основание

(28.1) т. е. давление изменяется линейно с высотой. Давление rgh называетсягидростатичес­ким давлением. Согласно формуле (28.1), сила давления на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, действует сила, определя­емая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа): F _А =PgV, где р — плотность жидкости, V— объем погруженного в жидкость тела.

 

21. Линия и трубка тока. Теорема о неразрывности струи.

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жид­кости — потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 45). Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S ₁ и S ₂, перпен­дикулярные направлению скорости (рис. 46). За время D t через сечение S проходит объем жидкости Sv D t; следовательно, за 1 с через S ₁ пройдет объем жидкости S ₁ v ₁, где v ₁ — скорость течения жидкости в месте сечения S ₁. Через сечение S ₂ за 1 с пройдет объем жидкости S ₂ v ₂, где v ₂ — скорость течения жидкости в месте сечения S ₂. Здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема (r=const), то через сечение S ₂ пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S ₁, т. е. (29.1) Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на попереч­ное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотноше­ние (29.1) называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.

 

Уравнение Бернулли

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости , объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е. Разделив выражение (30.5) на D V, получим где р — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать (30.6)

Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли и называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к устано­вившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико. Величина р в формуле (30.6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина rv²/ 2 — динамическим давлением. Как уже указывалось выше, величина rgh представляет собой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h ₁ =h ₂ ) выражение (30.6) принимает вид (30.7)

где p+rv ² / 2 называется полным давлением. Из уравнения Бернулли (30.7) для горизонтальной трубки тока и уравнения нераз­рывности (29.1) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давле­ние больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис. 48).

 

23. Формула Торричелли.

Рассмотрим цилиндрический сосуд с жид­костью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис. 51). Рассмотрим два сечения (на уровне h ₁ свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h ₂ выхода ее из отверстия) и напишем уравнение Бернулли:

Так как давления р ₁ и р ₂ в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. р ₁ =р ₂, то уравнение будет иметь вид

Из уравнения неразрывности (29.1) следует, что v ₂ /v ₁ =S ₁ /S ₂, где S ₁ и S ₂ — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S ₁ >>S ₂, то членом v /2 можно пренебречь и

Это выражение получило название формулы Торричелли. Формула для скорости истечения жидкости из отверстия в открытом сосуде

24. Вязкость, закон Ньютона. Режимы течения.

Вязкость (внутреннее трение) — это свойство реальных жидкостей оказывать сопротив­ление перемещению одной части жидкости относительно другой. При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев. Действие этих сил проявля­ется в том, что со стороны слоя, движущегося быстрее, на слой, движущийся медлен­нее, действует ускоряющая сила. Со стороны же слоя, движущегося медленнее, на слой, движущийся быстрее, действует тормозящая сила.

Сила внутреннего трения F тем больше, чем больше рассматриваемая площадь поверхности слоя S (рис. 52), и зависит от того, насколько быстро меняется скорость течения жидкости при переходе от слоя к слою. Направление, в котором отсчитывается расстояние между слоями, перпендикулярно скорости течения слоев. Величина показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении х, перпендикулярном направле­нию движения слоев, и называется градиентом скорости. Таким образом, модуль силы внутреннего трения (31.1), где коэффициент пропорциональности m, зависящий от природы жидкости, называется динамической вязкостью (или просто вязкостью). Единица вязкости — паскаль-секунда (Па×с). Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной, тем большие силы внутреннего трения в ней возникают. Существует два режима течения жидкостей. Течение называется ламинарным (слоис­тым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними, и турбулентным (вихревым), если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости (газа). Ламинарное течение жидкости наблюдается при небольших скоростях ее движения. Внешний слой жидкости, примыкающий к поверхности трубы, в которой она течет, из-за сил молекулярного сцепления прилипает к ней и остается неподвижным. Профиль усредненной скорости при турбулентном течении в трубах (рис. 53) отличается от параболического профиля при ламинарном течении более быстрым возрастанием скорости у стенок трубы и меньшей кривизной в центральной части течения. Характер течения зависит от безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса: где n = h/p— кинематическая вязкость; р— плотность жидкости; < v >—средняя по сечению трубы скорость жидкости; d — характерный линейный размер, например диаметр трубы. При малых значениях числа Рейнольдса наблюдается ламинарное тече­ние, переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в области а при (для гладких труб) течение—турбулентное.

 

26. Формула Пуазейля. Методы определения вязкости.

Метод Стокса. Этот метод определения вязкости основан на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы. На шарик, падающий в жидкости вертикально вниз, действуют три силы: сила тяжести Р= ⁴/₃ pr ³ rg (r — плотность шарика), сила Архимеда Р= ⁴/₃ pr ³ r'g (r' — пло­тность жидкости) и сила сопротивления, эмпирически установленная Дж. Стоксом: F= 6 phrv, где r — радиус шарика, v — его скорость. При равномерном движении шарика откуда

Измерив скорость равномерного движения шарика, можно определить вязкость жид­кости (газа). Метод Пуазейля. Этот метод основан на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной l. В жидкости мысленно выделим цилиндрический слой радиусом r и толщиной d r (рис. 54). Сила внутреннего трения (см. (31.1)), действующая на боковую поверхность этого слоя, где d S — боковая поверхность цилиндрического сло я; знак минус означает, что при возрастании радиуса скорость уменьшается. После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипание жидкости, т. е. скорость на расстоянии R от оси равна нулю, получаем За время t из трубы вытечет жидкость, объем которой откуда вязкость

27. Уравнение свободных гармонических колебаний для маятников.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воз­действий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых колеб­лющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса ). Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника

Из выражений следует, что пружинный маятник совершает гармоничес­кие колебания по закону х=А соs (w₀ t + j) с циклической частотой (142.2) и периодом (142.3) Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняет­ся закон Гука, т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника равна Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 201). Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соот­ветствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (18.3) момент M возвращающей силы можно записать в виде (142.4) где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подве­са О, l – расстояние между ней и центром масс маятника, F_t= –mg sina» –mga. — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F_t и a всегда противоположны; sin a» a соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия). При малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w₀ и периодом

где L=J/ (ml) — приведенная длина физического маятника.

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеб­лющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

(142.8) где l — длина маятника. Так как математический маятник можно представить как частный случай физичес­кого маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (1417), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника (142.9) Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длина L физичес­кого маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с пери­одом колебаний данного физического маятника.

 

28. Кинематика свободных гармонических колебаний.

Механическое гармоническое колебание - это прямолинейное неравномерное движение, при котором координаты колеблющегося тела (материальной точки) изменяются по закону косинуса или синуса в зависимости от времени. Согласно этому определению, закон изменения координаты в зависимости от времени имеет вид: , где wt - величина под знаком косинуса или синуса; w- коэффициент, физический смысл которого раскроем ниже; А - амплитуда механических гармонических колебаний. Уравнения (4.1) являются основными кинематическими уравнениями механических гармонических колебаний.

для материальной точки, совершающей гармонические механические колебания, величину w можно интерпретировать как количество колебаний за определенный цикл времени, равный 2л. Поэтому величину w назвали циклической (или круговой) частотой. Если точка М начинает свое движение не из точки 1 а из точки 2, то уравнение (4,1) примет вид: Величину ф0 называют начальной фазой.

 

29. Затухающие колебания.

Рассмотрим свободные затухающие колебания – колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы задается в виде

(146.1), где s – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, d=const — коэффициент затухания, w ₀ — циклическая частота свободных незатуха­ющих колебаний той же колебательной системы, т. е. при d = 0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.

— амплитуда затухающих колебаний, а А ₀ — начальная амплитуда. Если A(t) и А (t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответст­вующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение называется декрементом затухания, а его логарифм (146.7) — логарифмическим декрементом затухания; N _e — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — по­стоянная для данной колебательной системы величина. Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна (146.8). Из формулы (146.8) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний N _e, совершаемых системой за время релаксации.

30. Вынужденные колебания, резонанс.

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями. Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты w. Меха­нические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.

Из формулы (147.8) следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту w _рез, — частоту, при которой амплитуда А сме­щения (заряда) достигает максимума, — нужно найти максимум функции (147.8), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкорен­ное выражение по w и приравняв его нулю, получим условие, определяющее w _рез: Это равенство выполняется при w =0, ± , у которых только лишь положи­тельное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота (148.1) Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к ча­стоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом (соответственно механическим или электрическим). При значение w _рез практически совпадает с собственной частотой w ₀ колебательной системы. Подста­вляя (148.1) в формулу (147.8), получим (148.2)

На рис. 210 приведены зависимости амплитуды вынужденных колебаний от часто­ты при различных значениях d. Из (148.1) и (148.2) вытекает, что чем меньше d, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если w ® 0, то все кривые (см. также (147.8)) достигают одного в того же, отличного от нуля, предельного значения , которое называют статическим отклонением. В случае механических колебаний , в случае электромагнитных – U _m / (L ). Если w ®¥, то вое кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.