Динамика вращательного движения

МЕХАНИКА

Кинематика

1. Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид и , где В₁ = В₂, С₁ = -2 м/с², С₂ = 1 м/с². Определите: 1) момент времени, для которого скорости этих точек будут равны; 2) ускорения а1 и а2 для этого момента.

t = 0; 2) а ₁ = -4 м/с²; 3) а ₂= 2 м/с²)

2. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону , где и - орты осей x и y. Определите для момента времени t = 1 c: 1) модуль скорости; 2) модуль ускорения.

(1) u = 6,7 м/с; а = 8,48 м/с²)

 

3. Зависимость пройденного пути S от времени t дается уравнением S = A – Bt + Ct², где А = 6 м, В = 3 м/с и С = 2 м/с². Найти среднюю скорость и среднее ускорение тела в интервале времени от 1 до 4 с.

(7м/с, 4 м/с²)

4. Закон движения материальной точки имеет вид x = b₁ + c₁t, y = c₂t + d₂t², z = 0, где b₁ = -9 м; с₁ = 3 м/с; с₂ = 4 м/с; d₂ = -1 м/с². Построить графики зависимости x(t) и y(t) и траекторию точки за первые 5 с движения. Найти векторы скорости, ускорения и угол между ними в момент времени t₁ = 2 c и t₂ = 4 c. На плоскости XOY построить траекторию движения материальной точки и векторы скорости и ускорения для t₁ и t₂.

5. Закон движения материальной точки имеет вид x = b₁t +d₁t³, y = b₂t + c₂t², z = 0, где b₁ = 27 м/с; d₁ = -1 м/с³; b₂ = 32 м/с; с₂ = -8 м/с². На плоскости XOY построить траекторию движения точки в первые 6 с. Определить касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны траектории в момент времени t₁=2c.

6. Материальная точка движется прямолинейно. Модуль её скорости изменяется со временем по закону v = l,0t², где v - скорость, м/с; t - -время, с. Вычислить путь, пройденный точкой за первые 10 с движения и среднее значение скорости в интервале от 5 до 10 с.

(0,33 км; 58 м/с)

7. Два автомобиля, выехали одновременно из одного пункта, движутся прямолинейно в одном направлении. Зависимость пройденного пути задается уравнениями s₁ = At + Bt² и s₂ = Ct + Dt² + Ft³. Определите относительную скорость автомобилей.

8. Велосипедист проехал первую половину времени своего движения со скоростью v₁ = 16 км/ч, вторую половину времени – со скоростью v₂ = 12 км/ч. Определите среднюю скорость движения велосипедиста.

9. В течение времени τ скорость тела задается уравнением вида v = A+Bt+Ct² (0≤ t ≤ τ). Определите среднюю скорость за промежуток времени τ.

10. Трамвай движется на прямолинейном участке между остановками с ускорением, изменяющимся по закону а = a₀ - bs, где a₀ и b - положительные постоянные; s - пройденный путь. Найти расстояние между этими остановками.

(2 a₀/b.)

11. Частица движется в плоскости хОу из точки с координатами х = у = 0 со скоростью v = a i + bx j, где а и b - некоторые постоянные; i и j - орты осей х и у. Найти уравнение её траектории.

(у = (b/2а)х²)

12. Скорость автомобиля при экстренном торможении изменялась по закону v = 49 – 1,0 t², где v - скорость, м/с; t - время, с. Определить время торможения и тормозной путь.

(7,0 с и 0,23 км.)

13. С башни брошено тело в горизонтальном направлении со скоростью 15 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить радиус кривизны траектории тела через 2 с после начала движения.

(0,1 км.)

14. Материальная точка движется по закону r = 4t² i + 3t j + 2 k, где i, j, k -орты осей x, y_t z; r - радиус-вектор, м; t - время, с, Определить: 1)скорость как функцию времени; 2) модуль скорости в момент времени t = 2,0 с; 3) ускорение точки.

(16 м/с; в м/с²)

15. Частица движется в плоскости хОу из точки с координатами х = у = 0 со скоростью v = a i + bx j, где а и b - некоторые постоянные; i и j - орты осей х и у. Найти уравнение её траектории.

(у = b/2а)х²)

16. Камень, брошенный с высоты h = 2,1 м под углом a = 45^о к горизонту. Падает на землю на расстоянии s = 42 м (по горизонтали) от места бросания (см. рис. 1). Найти начальную скорость камня, время полета и максимальную высоту подъема над уровнем земли. Определить также радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня на землю.

17. При падении камня в колодец его удар о поверхность воды доносится через t = 5 с. Принимая скорость звука u = 330 м/с, определите глубину колодца

18. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением e = 3 рад/с². Определите радиус колеса, если через t = 1 c после начала движения полное ускорение колеса а = 7,5 м/с².

(R = 79 м)

19. Колесо автомашины вращается равнозамедленно. За время t = 2 мин оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин -1. Определите: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.

(1) e = 0,157 рад/с2; 2) N = 300)

20. Скорость тела изменяется по закону , где v - скорость, мм/с; t ~ время, с. Определить зависимость смещения от времени, а также максимальные значения скорости и ускорения тела.

(6,0 см/с; 6,0 м/с²)

 

21. Движение тела задано уравнениями: и , где x и у - смещения, см; t - время, с. Найти уравнение траектории и скорость тела в момент времени 0,50 с.

(; 1,4 см/с)

22. Точка двигалась в течение времени t₁ = 15 с со скоростью u₁= 5 м/с, в течение t₂ — 10 с со скоростью u₂ = 8 м/с и в течение t₃ = 6 с со скоростью u₃ = 20 м/с. Какова средняя путевая скорость u точки?

(u_ср = 8,9м/с)

23. Движение точки по прямой задано уравнением х = 2t — 0,5t². Определить среднюю путевую скорость u_ср точки в интервале времени от t_l = 1 с до t₂ ⁼ 3 с.

(u = 0,5 м/с)

24. Точка движется по прямой согласно уравнению х = 6t — 0.125t³. Определить среднюю путевую скорость u_cp точки в интервале времени от t_l = 2 с до t₂ = 6 с.

(u_cp = 3 м/с)

25. Самолет пролетает расстояние s₁ = 500 км на восток от города А в город В за t₁ = 45 мин, затем поворачивает на юг и преодолевает расстояние s₂ = 1000 км от города В до города С за 1,5 ч,

Определить: 1) величину и направление вектора перемещения самолета из А в С; 2) величину и направление вектора средней скорости; 3) среднюю путевую скорость. Направление задается азимутом а, т. е. углом между направлением на север и данным вектором, отсчитывается по часовой стрелке, т, е. от севера к востоку

(1) = 1118,0 км; a = 153,4°; 2) = 496,9 км; a = 153,4°; 3) u_cp – 666_.7 км/ч)

26. За 3,5 ч воздушный шар снесло на s₁ = 21,5 км к северу, затем на s₂ = 9_.,7 км к востоку, причем высота его подъема увеличилась на h = 2_,88 км. Найти: 1) величину вектора его средней скорости; 2) угол b вектора средней скорости с горизонтальной плоскостью.

(1) = 6,79 км/ч; 2) b = 6,96°)

27. Предполагается, что самолет, имеющий скорость u = 550 км/ч, должен лететь по прямой под углом j = 33,0° к северу от направления на восток. Однако с севера дует постоянный ветер со скоростью u_l = 120 км/ч. В каком направлении должен лететь самолет?

(Под углом a = 43,5° к северу от направления на восток)

28. Определить время полета самолета между двумя пунктами, находящимися на расстоянии s = 500 км, если скорость самолета относительно воздуха u₀ = 100 м/с, а скорость встречного ветра, направленного под углом a = 30° к прямой, соединяющей эти пункты, равна u₁ = 30 м/с. Во сколько раз уменьшится время полета, если ветер будет попутным, а его скорость направлена под углом a = 30° к направлению движения? Под каким углом к направлению движения должна быть направлена скорость самолета в обоих случаях?

(1,9 ч; 1,7 раз; 9°; 9°)

29. Велосипедист начал движение и в течение времени t₁ = 5 с ехал с ускорением а = 1 м/с², затем в течение следующих t₂ = 6 с двигался равномерно и последние 25 м - равнозамедленно до остановки. Найти среднюю скорость на всем пути.

( = 3,2 м/с)

30. По прямолинейному шоссе ACD едет машина, которой необходимо за кратчайшее время добраться из пункта А в пункт В, расположенный в поле на расстоянии l = 500 м от дороги (смотри первый рисунок). Известно, что скорость машины по полю в n = 2 раза меньше скорости машины по шоссе. На каком расстоянии s от точки D следует свернуть с шоссе? Проанализировать роль расстояния l между пунктами А и D, лежащими на шоссе.

(s = 288,7 м; при L < s машина из А сразу должна съехать с шоссе и зять курс на пункт В)

31. Из пункта A, находящегося на шоссе, необходимо попасть за кратчайшее время в пункт B, находящееся в поле на расстоянии D от шоссе. Известно, что скорость машины по полю в n раз меньше скорости по шоссе. На каком расстоянии от точки В следует свернуть с шоссе.

32. Скорость света в вакууме равна c, а в среде v = c/n₁, где n₁ – абсолютный показатель преломления света. Обосновать закон преломления света.

33. Зависимость пройденного точкой пути от времени задана уравнением s = 0,14t² + 0,01t³ (здесь и далее в подобных задачах время измеряется в секундах, расстояние — в метрах). Определить: 1) через какое время t₁ ускорение точки будет равно а = 1 м/с²; 2) мгновенную скорость u_l в этот момент времени; 3) среднюю путевую скорость u_cp за промежуток времени от t = 0 до t₁.

(t_l = 12 с; 2) u₁, = 7,68 м/с; 3) u _ср = 3,12 м/с)

34. Положение объекта на прямой линии в зависимости от времени дается уравнением х = at + bt² + ct³, где а = -8 м/с; b = 6 м/с², с = - 1 м/с³. Найти среднюю скорость объекта на временном интервале от t₀ = 0 с до t₂= 2 с. Сравнить ее со средними скоростями на интервале от t₀ = 0 с до t₁ = 1 с и на интервале от t₁ = 1 с до t₂ = 2 с.

( = 0 м/с; = -3 м/с; = 3 м/с)

35. Две материальные точки движутся согласно уравнениям x₁ = 4t + 8t² -16t³; х₂ = 2t – 4t² + t³. В какой момент времени t₁ ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости u₁, и u₂ точек в этот момент.

(t₁ = 0,235 с; u₂ = 5,11 м/с; u₂ = 0,284 м/с)

36. Движение двух материальных точек выражается уравнениями х, = 20 + 4t - 4t²; x₂ = 2 + t•

37. + 0,5t². В какой момент времени t₁ скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости u₁ и u₂ и ускорения а ₁, и а ₂ точек в этот момент.

(t₁ = 0,333 с; u₁ = u₂ = 1,33 м/с; а ₁ = -8 м/с², а₂ = 1 м/с²)

38. Зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением s = 1t - 3t² + 4t³.Найти расстояние, пройденное телом, скорость и ускорение тела через 2 с после начала движения.

(s = 24 м; u = 38 м/с; а = 42 м/с²)

39. Замаскированный полицейский автомобиль, движущийся с постоянной скоростью u₁ = 80 км/ч, обогнал лихач. Если полицейский автомобиль, ускоряясь равномерно с ускорением а = 3 м/с², догнал его через время t = 6 с, то какой была скорость лихача?

(u = 108 км/ч)

40. Замаскированный полицейский автомобиль, движущийся с постоянной скоростью u₁ = 80 км/ч, обогнал лихач, несущийся со скоростью 100 км/ч. Ровно через D t = 1 с после обгона полисмен нажал на акселератор. Если ускорение полицейского автомобиля а = 3 м/с², то сколько времени понадобится полицейским, чтобы догнать лихача (будем полагать, что он движется с постоянной скоростью)?

41. Автомобиль, движущийся со скоростью u₀ = 50 км/ч, врезается в дерево; передняя часть автомобиля деформируется, а тело водителя перемещается на l = 0,7 м и останавливается. Определить среднее ускорение водителя во время этого столкновения. Выразить ответ в единицах, кратных ускорению свободного падения. g = 9.8 м/с².

(a = u²₀ /(2l); a = 14g)

42. Поезд длины l = 350 м начинает двигаться по прямому пути с постоянным ускорением а = 3,0´10^-2 м/с². Через t = 30 с после начала движения был включен прожектор локомотива (событие 1), а через τ = 60 с после этого — сигнальная лампа в хвосте поезда (событие 2). Найти расстояние между этими событиями в системах отсчета, связанных с поездом и Землей. Как и с какой постоянной скоростью u относительно Земли должна перемещаться некоторая K-система отсчета, чтобы оба события произошли в ней в одной точке?

(u= (l /t) – a (t /2 + t))

43. Машина едет по шоссе за грузовиком с той же скоростью. Между двойными шинами заднего колеса грузовика застрял камень. На каком расстоянии от грузовика должен ехать легковой автомобиль, чтобы камень, вырвавшийся из-под колеса грузовика, не попал в нее?

(, где u₀ – скорость автомобилей, h £ 1 м – высота камня в момент отрыва: s ³ 11 м (u₀ = 36 км/ч); s ³ 40 м (u₀ = 72 км/ч); s ³ 90 м (u₀ = 108 км/ч)

44. Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением a _t= 0,5 м/с². Определить полное ускорение а точки на участке кривой с радиусом кривизны R = 3м_; если точка движется на этом участке со скоростью u = 2м/с.

(а =1,42м/с²)

45. Уравнение вращения колеса радиусом R = 0,5 м имеет вид j = At + Bt⁵, где А = 2 рад/с; В = 0,5 рад/с⁵. Определить полное ускорение в момент t =1 с точки, находящейся на ободе колеса.

(a =11,3 м/с²)

46. Точка начинает движение по окружности радиусом R = 10 м. Пройденный ею путь зависит от времени по закону s = At + Bt³, где А = 8 м/с, В = 1м/с³. Определить скорость и полное ускорение точки b момент t= 2 с,

(u = 20 м/с; а = 41,8 рад/с²)

47. По истечении времени t =2 с после начала равноускоренного вращения вектор ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол a = 60° с направлением линейной скорости этой точки. Найти угловое ускорение колеса.

(s = 0,43 рад/с²)

48. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиуса r = 0,1 м с постоянным касательным ускорением a_t = 0,004 м/с². Через какой промежуток времени вектор ускорения образует с вектором скорости угол a, равный: а) 60; б) 80^о (см. рис. 2)? Какой путь пройдет за это время движущаяся точка? На какой угол повернется радиус-вектор, проведенный из центра окружности к движущейся точке, если в начальный момент времени он направлен вертикально вверх? Движение происходит по часовой стрелке.

49. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиусом r =12,5 см с постоянным тангенциальным ускорением a_τ = 0,5 см/с². Определите: 1)момент времени, при котором вектор ускорения a образует с вектором скорости v угол α = 45 ⁰; 2) путь, пройденный за это время движущейся точкой.

50. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением φ = At² (A =0,1рад/с²). Определите полное ускорение a точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если линейная скорость этой точки в этот момент равна 0,4 м/с.

51. За время tколесо поворачивается на угол j, зависящий от времени по закону j = 5,0t + 3,0t² - 4,5t⁴, причем j измеряется в радианах, a t - в секундах. Определить: 1) среднюю скорость колеса; 2) среднее угловое ускорение за промежутки времени от t = 2,0 с до t = 3,0 с; 3) выражение для мгновенной угловой скорости w; 4) выражение для мгновенного углового ускорения e; 5) вычислить значения мгновенной угловой скорости и мгновенного углового ускорения в момент времени t - 3,0 с.

(1) -280 рад/с; 2) -340 рад/с²; 3) 5,0 + 6,0t- 18t³; 4) 6 – 54t²; 5) -463 рад/с, -480 рад/с²)

52. Колесо диаметром 40см вращается с постоянным ускорением так, что за 3,6 с частота вращения возрастает от 80 до 300 об/мин. Вычислить: 1) угловое ускорение колеса; 2) радиальную и тангенциальную составляющие вектора линейного ускорения точки на ободе колеса через 2,0 с после начала ускоренного движения колеса.

(1) 6,4 рад/с²; 2) 66 м/с²; 2,6 м/с²)

53. Два резиновых диска расположены рядом друг с другом так, что их края соприкасаются. Первый диск радиусом R₁ = 3,0 см начинает вращаться с угловым ускорением e = 0,88 рад/с² и заставляет вращаться второй диск радиусом R₂ =5,0 см, причем второй диск вращается относительно первого диска без проскальзывания. Определить: 1) за какой промежуток времени второй диск достигает угловой скорости 33 об/мин, если в начальный момент он находился в покое; 2) угловое ускорение второго диска.

(1)6,5 с; 2) 0,53 рад/с²)

54. Колеса автомобиля совершают 55 оборотов за промежуток времени, в течение которого скорость равномерно уменьшилась от 80 км/ч до 55 км/ч. Диаметр колеса равен 1,0 м. Определить: 1) чему было равно угловое ускорение колеса; 2) если автомобиль продолжает замедляться с тем же ускорением, то сколько времени ему понадобится до полной остановки.

(1)-1,5 рад/с²; 2) 20 с)

55. Тело брошено со скоростью u₀ = 10 м/с под углом a = 30° к горизонту. Найти радиус кривизны через t = 1 с.

(R = 6,3м)

56. На большой горизонтальной поверхности закреплена маленькая пушка, которая выбрасывает снаряд со скоростью u₀ = 50 м/с. На расстоянии l = 50 м от пушки находится вертикальная стена высотой h = 25 м. Поставлена задача — забросить снаряд как можно дальше за стену. Под каким углом а к горизонту следует стрелять и как далеко улетит снаряд за стену? (g = 10 м/с², сопротивление воздуха не учитывать.)

(a = 33°; s = 227 м)

Динамика

 

57. Тело массой m движется в плоскости xy по закону x = A cos wt, y = B sin wt, где A, B, и – некоторые постоянные. Определите модуль силы, действующей на это тело.

58. Тело массой m = 2 кг движется прямолинейно по закону (С = 2 м/с², D = 0,4 м/с²). Определите силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.

(F = 3,2 H.)

59. Тело массой m = 2 кг падает вертикально с ускорением a = 5 м/с². Определите силу сопротивления при движении этого тела.

(F_сопр = 9,62 Н.)

60. Снаряд массой m = 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость u = 300 м/с². В этой точке он разорвался на два осколка, причем больший осколок массой m₁ = 3 кг полетел в обратном направлении со скоростью u₁ =100 м/с. Определите скорость u₂ второго, меньшего, осколка.

(u₂ = 900 м/с)

61. Под действием какой силы при прямолинейном движении тела изменение его координаты со временем происходит по закону ? Масса тела 2 кг.

 

62. Тело массой m = 70 кг движется под действием постоянной силы F = 63 Н. Определите, на каком пути s скорость этого тела возрастает в n = 3 раза по сравнению с моментом времени, когда скорость тела была равна u₀ = 1,5 м/с.

(s = 10 м)

63. Два тела m₁= 0,1 кг и m₂ = 0,5 кг связаны нерастяжимой нитью длиной l, перекинутой через блок радиуса R = 0,1 м. Определить координаты x₁ и x₂ этих тел через 5 секунд после начала движения, если x₀ = 3,314 м (см. рис.)? Ускорение свободного падения g = 10 м/с².

64. Простейшая машина Атвуда, применяемая для изучения законов равноускоренного движения, представляет собой два груза с не равными массами m₁ и m₂ (например m₁ > m₂), которые подвешены на легкой нити, перекинутой через неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение грузов; 2) силу натяжения нити T; 3) силу, F действующую на ось блока

65. Пуля массой m = 15 г, летящая с горизонтальной скоростью u = 0,5 км/с, попадает в баллистический маятник М = 6 кг и застревает в нем. Определите высоту h, на которую поднимется маятник, откачнувшись после удара.

(h = 7.9 см)

66. На спокойной воде пруда перпендикулярно берегу и носом к нему стоит лодка массой М и длиной L. На корме стоит человек массой m. На какое расстояние s удалится лодка от берега, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Силами трения и сопротивления пренебречь.

67. Частица массой 10 г совершает гармонические колебания с периодом 2,0 с. Полная энергия колеблющейся частицы 0,10 мДж. Определить амплитуду колебаний и наибольшее значение возвращающей силы.

(45 мм; 4,4 мН)

68. Определить угловую частоту колебаний груза массой 0,80 кг, закрепленного на двух пружинах между горизонтальными опорами. С одной стороны груза жёсткость пружины равна 1500 Н/м, с другой - 500 Н/м.

(50 с-¹)

69. Вычислить ускорение падающего груза а = 2h/t², где h - высота, с которой падает тело, измерена линейкой (1 мм/дел.); t - время падения, измерено секундомером (0,2 с/дел.): h, см 87,4 87,5 87,3; t, с 7,8 8,0 7,8 7,6 7,8.

70. Определить максимальную кинетическую энергию материальной точки массой 2,0 г, совершающую гармонические колебания с амплитудой 4,0 см и частотой 5,0 Гц.

(1,6 мДж)

71. Груз массой т подвешен на двух параллельных пружинах, жёсткости которых k1 и k2. Определить период колебаний груза. Массами пружин пренебречь.

72. Точка движется замедленно по окружности радиусом R так, что её тангенциальное и нормальное ускорения равны по модулю в каждый момент времени. В начальный момент скорость точки равна yo. Определить зависимость скорости точки и модуля полного ускорения от пройденного пути.

(u = u₀ exp(-s /К); а = (u₀² /R)exp(-2s/R) )

73. Тело массой 100 г совершает гармонические колебания с амплитудой 50,0 мм, периодом 10,0 мс и Нулевой начальной фазой. Определить частоту колебаний, угловую частоту, максимальные значения скорости и ускорения, энергию колебательной системы.

(100 Гц; 628 с^-1; 31,4 м/с;19,7 км/с²; 49,3 Дж)

74. Диск радиусом 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно к плоскости диска. Определить период колебаний.

(1,2 с)

75. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению х = 5 sin 2t, где х - смещение, см; t - время, с. Найти момент времени (ближайший к началу отсчета), в который потенциальная энергия точки равна 0,1 мДж, а возвращающая сила равна 5 мН. Определить фазу колебаний в этот момент времени.

(0,5 с; 0,9 рад)

76. Колебательная система успевает совершить 100 колебаний за 100 с. За это же время амплитуда уменьшается в 2,72 раза. Найти коэффициент затухания колебаний и логарифмический декремент затухания.

(0,0100 с^-1; 0,0100)

77. Скорость автомобиля при экстренном торможении изменялась по закону u = 49 – 1,0 t², где u- скорость, м/с; t - время, с. Определить время торможения и тормозной путь.

(7,0 с и 0,23 км)

78. Точка участвует одновременно в двух колебаниях с одинаковым периодом и одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний равны 3 и 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если 1) колебания совершаются в одном направлении; 2) колебания взаимно перпендикулярны.

(7 см; 5 см)

79. Математический маятник длиной 50 см совершает свободные колебания в среде с коэффициентом затухания 0,90 с^-1. Определить время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в пять раз.

(1,8 с)

80. Частица движется с постоянной по модулю скоростью v по параболической траектории у = k x², где k – положительная постоянная. Определить ускорение частицы в точке х = 0,

(а = 2kv²)

81. Брусок массой т находится на доске массой М, которая лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между бруском и доской равен k. К доске приложили горизонтальную силу F, зависящую от времени по закону F = At, где А - постоянная. Найти момент времени t₀, когда начнется движение бруска относительно доски.

82. Небольшое тело соскальзывает с вершины гладкой сферы радиусом R. Найти скорость тела в момент отрыва от поверхности сферы, если его начальная скорость пренебрежимо мала.

83. Водитель начинает тормозить на расстоянии 10 м от препятствия. Сила трения в тормозных колодках колес равна 17 кН. Какой может быть скорость машины массой 1500 кг, чтобы она остановилась перед препятствием? Потери энергии на трение колес о дорогу не учитывать.

(u < 54 км/ч)

84. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром 0,8 м и массой 6,0 кг стоит человек массой 60 кг. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой 0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии 0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча 5 м/с.

(0,1 рад/с)

85. По рельсам фуникулера, проложенным с уклоном a к горизонту, опускается вагон массой т. Скорость вагона на всём пути равна v, время торможения перед остановкой - t. Найти натяжение каната при торможении. Коэффициент трения между вагоном и рельсами равен k,

86. Автомобиль начинает движение с постоянным тангенциальным ускорением а_t по горизонтальной дороге, описывая окружность радиусом R. Коэффициент трения между колесами машины и дорогой равен k. Какой путь s пройдет автомобиль без скольжения, если начальная скорость его была равна нулю?

87. Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр, совершая 10 об/мин. Человек массой 60 кг стоит на краю платформы. С какой частотой начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края: платформы к центру? Считать платформу однородным диском.

(0,37 об/с)

Работа и энергия

88. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой 20 г поднялась на высоту 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на 10 см. Массой пружины пренебречь.

 

89. Комета массой т = 8,38 • 10¹¹ кг сталкивается с Землей, имея относительно нее скорость u = 30 км/ с. 1) Найти энергию E взрыва и выразить ее в единицах тротилового эквивалента (т. е. указать количество тротила, выделяющего при взрыве ту же энергию). Энергия взрыва 1 кг тротила равна W == 4,2 МДж. 2) Оценить диаметр d образующегося при таком взрыве кратера. Обычно диаметр кратера пропорционален кубическому корню из энергии взрыва. Известно также, что взрыв водородной бомбы с тротиловым эквивалентом 1 Мт приводит к образованию кратера диаметром в 1 км.

(1) E = 90 000 Мт; 2) d = 45 км)

90. Рассчитать полную работу А, совершаемую вертолетом массой М, который поднимается на высоту h с ускорением, направленным вверх, и равным 0,10g.

(A = 1,1Mgh)

91. Вычислить работу, совершаемую на пути s = 12 м силой, равномерно возрастающей с пройденным расстоянием, если в начале пути сила F(0) = 10 Н, в конце пути F(s) = 46 H.

(А = 336 Дж)

92. Камень брошен вверх под углом a = 60° к плоскости горизонта. Кинетическая энергия камня в начальный момент Т₀ = 20 Дж. Определить кинетическую Т и потенциальную U энергии камня в высшей точке его траектории.

(Т = 5Дж; U=15Дж)

93. Материальная точка массой m = 2 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению s = А + Bt + Ct² + Dt³, где А= 10 м; В =- 2 м/с; С = 1 м/с²; D = -0,2 м/с³. Найти мощность, развиваемую при движении, в моменты времени t₁ =2c и t₂ = 5c.

(N₁ = 0,32 Вт; N₂ = 56 Вт)

94. Ящик массой m₁ = 20 кг соскальзывает по идеально гладкому лотку длиной l = 2 м на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой m₂ = 80 кг может свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном направлении. Определить скорость v тележки с ящиком, если лоток наклонен под углом α = 30 ⁰ к рельсам.

95. Конькобежец массой m₁ = 60 кг, стоя на льду, бросил ядро массой m₂ = 5 кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростью u₁ = 1 м/с. Определить работу A, совершаемую при бросании ядра.

(A = 390Дж)

96. Тело массой m₁ = 5 кг ударяется о неподвижное тело массой m₂ = 2,5 кг. Кинетическая энергия этих тел после удара Т = 5 Дж. Считая удар центральным и неупругим, найти кинетическую энергию первого тела до удара.

(T₁ = 7,5Дж)

97. Масса одного автомобиля в 2 раза больше массы другого, а его кинетическая энергия равна половине кинетической энергии второго автомобиля. Когда оба автомобиля увеличили свою скорость на 3 м/с, их кинетическая энергия стала одинаковой. Каковы были начальные скорости каждого из автомобилей?

(u₁ = 2,12 м/с; u₂ = 4,24 м/с)

98. Шар массой m испытывает лобовое соударение со вторым шаром (покоившимся до удара) и отлетает от него в противоположную первоначальному движению сторону со скоростью, равной одной трети начальной. Чему равна масса второго шара?

(m₁ = m₂)

99. Покажите, что в общем случае при любом лобовом одномерном упругом столкновении двух тел скорости после него имеют следующие значения:

где u₁, u₂ - скорости тел до столкновения.

 

100. Два бильярдных шара с одинаковыми массами движутся под прямым углом друг к другу и сталкиваются в начале системы координат хОу. Первый шар двигался до этого со скоростью 3 м/с вверх вдоль оси Оу, а второй - вправо вдоль оси Ох со скоростью 4,5 м/с. После столкновения второй шар движется вдоль положительного направления оси Оу. В каком направлении движется после соударения первый шар и чему равны при этом скорости обоих шаров?

()

101. Метеор массой около 10⁸ кг сталкивается с Землей (М = 6×10²⁴ кг) при скорости около 15 м/с и застревает в толще Земли. 1) Какова скорость «отдачи», полученная Землей? 2) Какая доля кине­тической энергии метеора перешла в кинетическую энергию Земли? 3) На какую величину изменилась кинетическая энергия Земли в результате этого столкновения?

(1)2,5×10^-16 м/с; 2) 1,7×10^-17; 3)1,9×10^-7 Дж)

102. В результате взрыва тело распадается на две части, масса одной из которых в полтора раза больше другой. Какую кинетическую энергию приобретает каждая часть, если в процессе взрыва выделилась энергия 4500 Дж?

(1,8кДж;2,7кДж)

103. В результате полностью неупругого столкновения между двумя телами с одинаковыми массами и одинаковыми скоростями u до столкновения оба тела начинают двигаться со скоростью u/3. Чему был равен угол между направлениями их скоростей до столкно­вения?

(141°)

104. Из орудия массой m_l = 5•10³кг вылетает снаряд массой т₂ = 100кг. Кинетическая энергия снаряда при вылете Т₂ = 7,5 МДж. Какую кинетическую энергию получает орудие?

(Т = 150кДж)

105. Два неупругих шара массами m_l = 2 кг и т₂ = 3 кг движутся со скоростями u₁ = 8 м/с и u₂ = 4 м/с соответственно. Найти работу А деформации шаров в двух случаях: 1) меньший шар нагоняет больший; 2) шары движутся навстречу друг другу.

(1) А = 9,6 Дж; 2) А = 86,4 Дж)

106. Под действием постоянной силы F вагонетка прошла путь s = 5 м и приобрела скорость u = 2 м/с. Определить работу А силы, если масса вагонетки т = 400 кг и коэффициент трения m = 0,01.

(A = 996Дж)

107. Лыжник скатывается с холма с нулевой начальной скоростью и проезжает 30 м вниз по склону, составляющему 18° с горизонтом. 1) Чему равна скорость лыжника у подножия холма, если коэффициент трения равен m = 0,08? 2) Если у подножия холма имеется горизонтальная площадка, покрытая снегом с тем же коэффициентом трения, то на какое расстояние по ней укатится лыжник? Используйте энергетические соображения.

108. Тело массой т = 1 кг, брошенное с вышки в горизонтальном направлении со скоростью u = 20 м/с, через t = 3 с упало на землю. Определить кинетическую энергию Т, которую имело тело в момент удара о Землю.

(Г=632Дж)

109. На ракете, находящейся на высоте 6400 км от Земли и удаляющейся от нее со скоростью 1850 м/с, запускаются двигатели, которые выбрасывают газы со скоростью 1200м/с (относительно ракеты). Каков должен быть расход газов (в килограммах в секунду), если масса ракеты к этому моменту достигла значения 25 т, чтобы получить ускорение 1,7 м/с²?

110. Сани, наполненные песком, скользят без трения под уклон 30°. Песок высыпается из отверстия со скоростью 2 кг/с. Если движение начинается из состояния покоя с полной массой 40 кг, то какое время понадобится на то, чтобы сани прошли расстояние 120 м по наклонной плоскости?

(t =7 с)

111. Два груза массами т₁ = 10 кг и m ₂ = 15кг подвешены на нитях длиной l = 2 м так, что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на угол a = 60° и выпущен. На какую высоту h поднимутся оба груза после удара? Удар грузов считать неупругим.

(h = 16 см)

112. Пуля массой т = 10 г, летевшая со скоростью u = 600 м/с, попала в баллистический маятник массой М = 5 кг и застряла в нем. На какую высоту h, откачнувшись после удара, поднялся маятник?

(h = 7,35 см)

113. Пуля массой 44 г попадает в деревянный брусок массой 15,4 кг на горизонтальной поверхности прямо напротив ствола оружия. Коэффициент трения между бруском и поверхностью m = 0,28. После застревания пули брусок, прежде чем остановиться, проходит расстояние 18м. Найти начальную скорость пули при вылете из ствола.

(3,5 км/с)

114. Частица массой т, движущаяся со скоростью вдоль оси <