Движение искусственных спутников земли. 1,2 и 3-ья космические скорости.

Искусственный спутник Земли (ИСЗ) — космический аппарат, вращающийся вокруг Земли по геоцентрической орбите.

Для движения по орбите вокруг Земли аппарат должен иметь начальную скорость, равную или большую первой космической скорости. Полёты ИСЗ выполняются на высотах до нескольких сотен тысяч километров. Нижнюю границу высоты полёта ИСЗ обуславливает необходимость избегания процесса быстрого торможения в атмосфере. Период обращения спутника по орбите в зависимости от средней высоты полёта может составлять от полутора часов до нескольких лет. Особое значение имеют спутники на геостационарной орбите, период обращения которых строго равен суткам и поэтому для наземного наблюдателя они неподвижно «висят» на небосклоне, что позволяет избавиться от поворотных устройств в антеннах.

Первая космическая скорость или Круговая скорость V1 — скорость, которую необходимо придать объекту без двигателя, пренебрегая сопротивлением атмосферы и вращением планеты, чтобы вывести его на круговую орбиту с радиусом, равным радиусу планеты. Иными словами, первая космическая скорость — это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите.

Вторая космическая скорость (параболическая скорость, скорость убегания) — наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала относительно массы небесного тела (например, планеты), для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела. Предполагается, что после приобретения телом этой скорости оно не получает негравитационного ускорения (двигатель выключен, атмосфера отсутствует).

Третья космическая скорость — минимально необходимая скорость тела без двигателя, позволяющая преодолеть притяжение Солнца и в результате уйти за пределы Солнечной системы в межзвёздное пространство.

Взлетая с поверхности Земли и наилучшим образом используя орбитальное движение планеты космический аппарат может достичь третей космической скорости уже при 16,6 км/с относительно Земли, а при старте с Земли в самом неблагоприятном направлении его необходимо разогнать до 72,8 км/с. Здесь для расчёта предполагается, что космический аппарат приобретает эту скорость сразу на поверхности Земли и после этого не получает негравитационного ускорения (двигатели выключены и сопротивление атмосферы отсутствует). При наиболее энергетически выгодном старте скорость объекта должна быть сонаправлена скорости орбитального движения Земли вокруг Солнца. Орбита такого аппарата в Солнечной системе представляет собой параболу (скорость убывает к нулю асимптотически).

де v3 — третья космическая скорость, а v1 и v2 — первая для Солнца и вторая для планеты космические скорости соответственно.

20.

Работа постоянной и переменной силы. Потенциальные силы. Мощность.

1. Если на тело действует постоянная сила F (Рисунок 13), и это приводит к перемещению ∆ r тела, то элементарной работой ∆А постоянной силы называется скалярное произведение вектора силы F и вектора перемещения ∆r:

∆А = (F∙∆r) = ½ F½½∆ r½ cos a,

где a - угол между направлениями векторов силы F и перемещения ∆r, (F∙ ∆r) – скалярное произведение двух векторов (см.[8]).

Работа ∆А - скаляр. Если угол a - острый, то ∆А положительная величина, и говорят, что сила совершает работу. Если угол a - тупой, то ∆А - отрицательная величина, и говорят, что работа совершается против действия силы. Если a = 900, т.е. направления силы и перемещения взаимно перпендикулярны, то такая сила работы не совершает ∆А = 0. Такая сила не может изменить величину скорости тела, но она меняет направление скорости.

2. Работа переменной силы. Если сила или равнодействующая сил изменяет свою величину или направление (движение по криволинейной траектории, причем угол α ≠ 900), то работа ∆А, совершаемая переменной силой F (или Fрез) на конечном участке траектории вычисляется следующим образом.

На рисунке 14 представлен график зависимости силы F от пути S. Разобьем весь путь на N участков. Перемещение и действующая сила на каждом участке соответственно равны F i и ∆ r i. Тогда работа А, совершаемая силой F, равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил F i на своем малом участке (Рисунок 14):

А = ∆А1 + ∆А2 +....+ ∆А N = (F1∙∆ r1) + (F 2∙∆ r2) +...+(F N∙∆ rN) = (Fi∙∆ ri),

где i = 1,2...... N - номер элементарного участка траектории.

На участке ∆r i силу Fi можно считать постоянной, тогда элементарная работа ∆Аi на участке ∆r i равна ∆Аi= Fi∙∆ r i и равна площади заштрихованной фигуры на рисунке 14.

А=∆Аi - это работа силы F на участке r, равна она численно площади S фигуры, ограниченной кривой зависимости F(х) и осью Х.

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ - силы, работа которых зависит только от начального и конечного положения точек их приложения и не зависит ни от вида траекторий, ни от закона движения этих точек

Мо́щность — физическая величина, равная отношению работы ко времени, за которое она была совершена. В более узком смысле мощность равна отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени[1].

Различают среднюю мощность за промежуток времени

мгновенную мощность в данный момент времени:

 

 

 

Потенциальная энергия — скалярная физическая величина, характеризующая способность материальной точки (тела) совершать работу за счет своего нахождения в поле действия консервативных сил. Другое определение: потенциальная энергия — это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы

Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии.

Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными.

Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля.

Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Потенциальная энергия упругой деформации характеризует взаимодействие между собой частей тела.

,

· В то время, как кинетическая энергия всегда характеризует тело относительно выбранной системы отсчёта, потенциальная энергия всегда характеризует тело относительно источника поля.

· Кинетическая энергия характеризуется скоростью относительно системы отсчёта; потенциальная — расположением тел в поле.

· Основной физический смысл имеет не само значение потенциальной энергии, а её изменение.

 

Потенциальная энергия зависит от положения тела. В зависимости от того, куда мы будем (чуть-чуть) смещаться от данной точки, потенциальная энергия будет либо уменьшаться, либо увеличиваться. Вот здесь и живет связь между потенциальной энергией и силой. Сила показывает направление, в котором потенциальная энергия уменьшается быстрее всего, а величина силы определяется скоростью изменения. Другими словами, сила - градиент потенциальной энергии.

В изолированной системе тел положительная работа внутренних сил увеличивает кинетическую энергию и уменьшает потенциальную. Отрицательная работа, напротив, увеличивает потенциальную энергию и уменьшает кинетическую. Именно благодаря этому выполняется закон сохранения энергии.
Снова обратимся к простой системе тел, состоящей из земного шара и поднятого над Землей тела, например камня.
Камень падает под действием силы тяжести. Силу сопротивления воздуха учитывать не будем. Работа, совершаемая силой тяжести при перемещении камня из одной точки в другую, равна изменению (увеличению) кинетической энергии камня:

В то же время эта работа равна уменьшению потенциальной энергии:

Работа силы всемирного тяготения, действующей со стороны камня на Землю, практически равна нулю. Из-за большой массы Земли ее перемещением и изменением скорости можно пренебречь. Так как в формулах (6.24) и (6.25) левые части одинаковы, то равны и правые части:

Равенство (6.26) означает, что увеличение кинетической энергии системы равно убыли ее потенциальной энергии (или наоборот). Отсюда вытекает, что

или

Изменение суммы кинетической и потенциальной энергий системы равно нулю.
Величину E, равную сумме кинетической и потенциальной энергий системы, называют механической энергией системы:

Так как изменение полной энергии системы в рассматриваемом случае согласно уравнению (6.27) равно нулю, то энергия остается постоянной:

Таким образом, в изолированной системе, в которой действуют консервативные силы, механическая энергия сохраняется. В этом состоит закон сохранения механической энергии. Энергия не создается и не уничтожается, а только превращается из одной формы в другую: из кинетической в потенциальную и наоборот.
Учитывая, что в рассматриваемом конкретном случае и , можно закон сохранения механической энергии записать так:

или

Это уравнение позволяет очень просто найти скорость камня v₂ на любой высоте h₂ над землей, если известна начальная скорость v₁ камня на исходной высоте h₁.
Закон сохранения механической энергии (6.29) легко обобщается на случай любого числа тел и любых консервативных сил взаимодействия между ними. Под E_к нужно понимать сумму кинетических энергий всех тел, а под Е_п - полную потенциальную энергию системы.
Для системы, состоящей из тела массой m и пружины, закон сохранения механической энергии имеет вид

Полная механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий. В изолированной системе, в которой действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется.

 

Пусть некоторая точка, относительно которой мы будем находить момент вектора силы или вектора импульса. Ее (точку) называют началом или полюсом. – вектор, проведенный из полюса к точке приложения силы. Момент силы относительно точки – произведение радиус-вектора на силу : .

Момент не изменится, если точку приложения силы перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы.

Момент нескольких сил относительно точки – сумма моментов сил относительно той же точки. Момент силы относительно точки – произведение радиус-вектора на импульс : . Производная по времени будет выглядеть так: . Т.к. мы считаем неподвижной, то , а и мы получим , т.е.

Последнее равенство – уравнение моментов.

Для системы материальных точек моменты всех внутренних сил равны нулю и мы можем записать уравнение моментов для множества материальных точек так: – производная момента импульса системы материальных точек по времени относительно неподвижного полюса равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же полюса.

Закон сохранения момента импульса так же вытекает из этого уравнения – если сумма моментов всех внешних сил равна нулю относительно какого-то полюса, то момент импульса системы материальных точек относительно того же полюса будет постоянным во времени.

– эквивалентно , , . и – моменты импульса и силы относительно оси (проекции и на эту ось).

Момент импульса материальной точки относительно точки O определяется векторным произведением
, где — радиус-вектор, проведенный из точки O, — импульс материальной точки.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси равен проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки O на оси z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что , получим
.

Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса):
.

Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело:
.

 

Моментом инерции твердого тела относительно оси называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до оси.

Чтобы найти момент инерции тела, надо просуммировать момент инерции всех материальных точек, составляющих данное тело

(5.4)

В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами , и моменты инерции тела определяется интегралом

(5.5)

о где - расстояние от элемента до оси вращения.

Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью
плотности

(5.5)

где m - масса однородного тела, V - его объем. Для тела с неравномерно распределенной массой это выражение дает среднюю плотность.

Плотность в данной точке в этом случае определяется следующим образом

и тогда

(5.6)

Момент инерции полого цилиндра с тонкими стенками, радиуса R.

Для полого цилиндра с тонкими стенками

Сплошной однородный диск. Ось вращения является осью диска радиуса . и массы m с плотностью Высота диска h. Внутри диска на расстоянии вырежем пустотелый цилиндр с толщиной стенки и массой . Для него

Весь диск можно разбить на бесконечное множество цилиндров, а затем просуммировать:

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Теорема Штейнера. Имеем тело, момент инерции которого относительно оси, проходящей через его центр масс известен. Необходимо определить момент инерции относительно произвольно оси параллельной оси . Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

 

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной самой себе.
^ При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.
При поступательном движении общую для всех точек тела скорость ^ V называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение a – ускорением поступательного движения.
Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором любые две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными.
Прямая, проходящая через две неподвижные точки, называется осью вращения.
Уравнение γ = f (t) выражает закон вращательного движения твердого тела, где γ – угол поворота тела.
Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε.
^ Угловая скорость тела в данный момент времени численно равна первой производной от угла поворота по времени:
ω =
^ Угловое ускорение тела в данный момент времени численно равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени:
ε =
Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает – замедленным.
Если угловая скорость тела остается во все время движения постоянной (ω = const), то вращение тела называется равномерным.
Если угловое ускорение тела во все время движения постоянно (ε = const), то вращение называется равнопеременным.
^ Линейная скорость точки v вращающегося твердого тела численно равна произведению угловой скорости тела ω на расстояние R от этой точки до оси вращения.
v = ω R.
Линейная скорость направлена по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно к плоскости, проходящей через ось вращения.
Так как для всех точек тела угловая скорость ω имеет в данный момент одно и то же значение, то следует, что линейные скорости точек вращающего тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения (рис. 15).

Рис. 15
^ Касательное ускорение a ^τ направлено по касательной к траектории (в сторону движения, если тело вращается ускоренно, или в обратную сторону, если тело вращается замедленно); нормальное ускорение aⁿ всегда направлено по радиусу R к оси вращения (рис. 16).

a ^τ = ε R aⁿ = ω² R

Рис. 16
Полное ускорение точки равно a = R .

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом μ, который вычисляется по формуле:

или .