Теорема О движении центра масс смт

Введем важное понятие центра масс СМТ введем понятие естественным путем.Рассмотрим выражение для импульса СМТ

(1)

Вектор (2) называется ( -масса частицы. -ее радиус-вектор)

Радиусом вектором центра масс. Иногда называют центром инерции.

Очевидно (3)-вектор скорости центра масс СМТ.

Центр масс-это фиктивная точка которая сосредотачивает в себе всю массу СМТ.положение точки задается ф (2).С учетом опр. Последняя ф. преобразуется следующим образом (4).Импульс всей СМТ=импульсу центра масс. С учетом выведенного закона движения для (см.13 вопрос) Эквивалентный вид (5)

Ур-е движения для импульса СМТ эквивалентно ур-ю движения МТ вся масса которой сосредоточена в центре. А все внешние силы дейст. На СМТ приложены к ее центру масс. Это утверждение называется теоремой о движении центра масс. Отметим что у СМТ есть еще одно ур-е о движении момента импульса в этом отличие СМТ от МТ.

Закон сохранения импульса.

Фактически з.с. в механике представляет собой интегралы ур-я движения.

СМТ называется изолированной если на нее не действуют внешние силы.Рассмотр.

Ур-е движения выведенное на прошлой лекции (1) Очевидно для изолированной СМТ внешние силы =0 (2) интегрируя Ур-е (2) (3) (4)

Ф.(3) и (4) выражают закон сохранения импульса.

Для изолир. СМТ импульс системы не изменяется во времени(const)

(5) -масса всей СМТ. -скорость движения центра масс.

С учетом этой формулы закон сохр.импульса можно сформулировать:центр масс изолир. СМТ движется равномерно и прямолинейно.

Закон сохр. момента импульса.

Ранее мы вывели закон импульса всей СМТ (6) М-для изолированных СМТ =0.

(7) Проинтегрируем Ур-е (7) получим ф(8) (8) (9)

Распишем формулу подробнее: (10)

 

Формулы (8),(9) и (10) выражают закон сохр.момента импульса для изолир.СМТ:момент импульса не изменяется во времени.

Замечание: возможны в механике ситуации, когда , но спроецируем (6) на оси координат ; ; (11) (12) (13)

(14) В таком случае говорят, что система материальных точек описываем. Ур-ем (11) обладает первым интегралом движения (12) или (14).

Закон сохранения энергии.

1.изменение: рассмотрим одну матер. Точку. она движется вдоль оси х(см. л №8 и 1) (15)

Проведем ряд преобразований в которых лежит второй закон Ньютона.

(16); (17); (18); ; ; ;

;

Следовательно ф(18) перепишется: ; (19)

(20) называется кинетической энергией

 

Джоуль (Дж).

; ; ; (21)

если умножить обе части на dt: (22)

(23)

(см. л. №8 и. 2)

Проинтегрируем (23) от точки 1 до точки 2.

; (24); (25)

Введем следующую физ.величину А,которая называется работой, сила перемещения м.т. из х1 в х2.

(26) Размерность совпадает. Ф (25) с учетом (26) приобретает окончательный вид.

(27) выражает закон изменения энергии м.т. для одномерного движения. Изменение кинетической энергии м.т. по перемещ. из 1 в 2 равно работе силы ,действующей на м.т..

(26) работает когда может зависеть от х, но если ,тогда: если , получаем ; (28)

Формула (28) (которая работает при ) всегда для одномерного движения называется законом сохранения кинетического движения.

!!! Рассматривалось только одномерное движение!!!

Закон сохранения энергии в общем случае криволинейного движения м.т.

Общий случай движ.м.т. по криволинейной траектории:

(см. Л.№8 и.3) В этом случае ур-е имеет вид: (1) на основании закона природы (1) выведем важное отношение для кинетической энергии для общего случая криволинейного движения. Умножим скалярно на ; (2)

вспомним

длина вектора ; ; ;

(3)

кинетическая энергия (3) м.т. для общего случая криволинейного движения. Размерность .

(4)

После сделанных преобразований ур-е (2) (5) как и для одномерного движения из (5) (6).Проинтегрируем (6) вдоль траектории движения (см.Л.№9 и.1) (7) (8) имеющий направление из 1 в 2.

-по контуру от F как предел следующей суммы: (9) где Fi действующая на м.т. на том участке.

(см. Л.№9 и.1.2.)

(10) является следствием интеграла (9).

Физ величина (11) называется работой силы F по перемещению м.т. из 1 в 2 вдоль траектории L.

С учетом определений (7) превращается (12) называется законом изменения кин.энергии для общего случая криволинейного движения м.т.

Потенциальные силы.

Среди множества видов сил особое место занимают потенциальные силы. (см. Л.№9 и.2) Сила,работа которой по перемещению из1 в 2 не зависит от формы кривой соединяющ.эти 2 точки,а лишь от положения этих точек в пространстве называется потенциальными силами. Следствие: (13) (14) учтем св-во (10) и получим

(15)

Работа потенц.силы по перемещению м.т. по любому замкнутому контуру=0

№21. Потенциальная энергия. Закон сохран. мех. Энергии.

По определению потенциал. энерг. мт находящейся под действием потенциал. силы назыв. функция координат такая что элементар. работа по перемещению мт на d равна .

Тогда A=

Работа этой силы зависит только от полож. точек в пространстве.

Согласно закону измен. кинетич. энергии находящейся под действием потенц. силы:

В силу производности мы можем написать =const

При движ. мт под действ. Только потенц. сил выполняется закон сохранения энергии. Т.е. энергия сохраняется во время движения.

 

№22. Силы инерции при поступательном ускоренном движении системы отсчета.

НСО- система отсчета, движущаяся с ускорением.

Пример про поезд.

Мы знаем что обычная сила изменяет скорость мт (сила как колич.векторная мера взаимодействий между телами), НО к этому приводит и резкое торможение поезда если человек находится внутри.

Возникает парадоксальная ситуация, оказывается есть такие системы отсчета, в которых скорость мт может изменяться если на них не действуют силы как мера взаимодействия.

Пусть имеется некоторая инерциальная система отсчета которую будем считать не подвижной(ИСО)

Пусть XOYZ которая движется ускоренно относительно (ИСО) но поступательно так что оси параллельны

Согласно данному выше опред., сист. отсчета XOYZ – будет НСО, мы хотим понять каковы уравнения которые описывают движ. В НСО.

Обозначим ее радиус вектор в НСО, а в ИСО.

Для 3 векторов изображ. на (И2) мы видим ---это равенство работает для .

Системы поралельны и не меняются во времени.

Очевидно есть ускорение смт в НСО. является ускорением мт.

переносное ускорение- это ускорение начала координат точки О системы НСО относительно ИСО.

Отметим что в ИСО выполняется 2 з. Ньютона в его обычном виде.

представим теперь: ; ;

;

Введенная векторная величина называется силойинерции при поступ. движ. НСО. С точки зрения реальности это сила фиктивна в том смысле что она не относится к мере взаим. тел, и возникает только в НСО когда отлична от 0. Ускорение которое приобретает Мт будет настолько же реальным на сколько ускорение от реальной силы.

Это уравнение – есть основ. уравнением динамики мт в НСО, когда последнее движ. поступательно с точки зрения общей теор. относит. не какими экспериментами нельзя различить силы инерции и силы тяготения. На основание этого уравнения можно легко объяснить опыт с поездом.

 

№23. Общий случай движения НСО: скорость.

Равномерное движение точки по окружности

См. (И1),(И2) в лекции №11

Предадим векторный вид Введем радиус вектор мт… и учтем что направлена по касательной окружности. По построению видно, что перпендикулярна плоскости окружности.

Описываем изменение во времени при условии что его модуль const, а конец движ. со скоростью .

см(И3) в лекции№11

Мы переходим к случаю когда сист. отсчета НСО движется произвольно ИСО.

В общем случае это движение можно разложить на 2 состав. Первое это пост. и ускор. движ центра О-

этот случай мы рассмотрели ранее. Второе это вращательное движение сист. XOYZ с углов. скор. с

углов. ускор. ; -единые орты НСО.

Продеференцируем по времени, один раз

-это скорость мт в НСО. -это скорость в точке О в НСО.

Найдем с учетом разложения , а так же учитывая то что орты вращаются с

угловой скоростью .

;

 

; -скорость мт в НСО, - скорость нач. координат в НСО, -скорость Мт в НСО, - угловая скорость вращения.

 

 

№24. Общий случай движения НСО: ускорение.

Продеференцируем обе части (Общий случай движения НСО: скорость.) по времени

 

-ускорение Мт в НСО; -ускорение т. О в НСО;

 

 

; ; ;

Подставим преобразования:

Является окончательной формулой и дает связь между и для произвольного движения НСО.

Вектор - Кориолисово ускорение.

Введем вектор - это вектор назыв. переносным ускорением, именно такое ускор. в НСО имеет Мт, которое покоится.

 

№25.Уравнение динами Мт в НСО.

; ; ;

Применим 2 з. Ньютона для ИСО в S1: ; -настоящая сила.

;

; -Это уравнение представляет собой основной закон динамики в НСО, для общего случая поступательного и вращательного ускоренного движения относительно ИСО

-Кореолесова сила инерции.

Первое слагаемое в с ускорением поступательного движения системы S. Основные 2 слагаемых возникают из-за,вращательного движения НСО, с угловой скоростью и угловым ускорением .

Кореолесова сила определяется с одной стороны вращением НСО, а с другой скоростью Мт относительно S.

 

 

№26. Движение Мт относительно вращающейся Земли.

Рассмотрим S1 связанная с солнцем приблизительно инерциальна, система S связана с Землей, суточное вращение. Внешнюю реальную силу(результирующую).

; -сила притяжения Земли. -сила притяжения со стороны солнца.

- результирующая всех других сил.

Тогда закон механики

-ускорения центра Земли под действием гравитации солнца.

; ;

.

. (1)

По определению вектор определяемый из равенства называется вектором свободного падения.

(2)

Формулы (1) и (2) совместно являются уравнениями движения Мт.

 

№27. Вес тела. Маятник Фуко.

Весом тела называют силу приложенную к телу!!! Которая равна и противоположно направлена силе, с которой подставка действует на тело!

При этом мы считаем, что тело покоится относительно Земли (НСО).

Применим формулу ,

подставим

;

. (1)

С учетом того, что мы видим, что вес тела состоит из 2 частей:

(2)

согласно этой формуле вес тела есть векторная сумма силы гравитационного притяжения Земли и центробежной силы инерции.

Фор-лы (1) и (2) есть конечные формулы вопроса (вес тела).

Пусть пл-сть колеб. совпадает с пл-ю рисунка.

Маятник имеет скорость , -начальная к траектории

;

1) -это состав. действ. вдоль нити, растягивающая ее.

2) -сила мала и она оказывает малое влияние, т. к. .

3)

и находятся в пл-ти доски. Эта сила направлена перпендикулярно доске, является частью силы Кориолиса и вызывает смещение пл-ти колебаний, и в результате это смещение становится заметным.

№28.Углы Эйлера.

Углы Эйлера -3 угла, которые описывают вращение системы S с тт. относительно S1.

Рис.1: -прямая по которой пересекаются плоскости и .

Дадим ряд определений:

Пл-ть пересекает пл-ть OXY по линии (линия узлов), полож. направление совпадает с вектором . .

По определению углы Эйлера называются углы:

Угол является углом собственного вращения.

Угол называется углом процессии.

Угол называется углом нутации.

 

 

№29.Вращательное движение.

Вращательное движение, при котором 2 его точки остаются всегда неподвижными, прямая проходящая через эти точки - называется осью вращения.

Все остальные точки не лежащие на оси описывают окружности в плоскостях оси вращения, центры этих окружностей лежат на оси вращения.

Рассмотрим какую либо точку, которая движ. по окружности. R-радиус, .

; -угловая скорость вращения тт.

 

 

№30.Уровнение движения твердого тела.

Мы говорили о том, что тт. есть СМТ мы доказали, что эта система обладает 6 степенями свободы, поэтому для описания СМТ необходимо 6 скалярных уравнений; ; ;

Эти уравнения есть уравнения описывающие динамику тт. – это 6 скаляр. уравнений

Уравнения моментов можно брать относительно произвольного неподвижного начала или относительно центра масс тт.. Можно также брать произвольно движ. начало, если только скорость его в любой момент времени параллельна скорости центра масс. При ограничение свободы движ. число независимых уравнений, требующихся для описания движ. тт., уменьшается. Она всегда равна числу степеней свободы.

Внутренние силы не влияют на движ. тт.

№31.Моменты инерции.

(см. и5 лекции 14)

(1)

(2)

(3)

представим, что ,

(4)

( не такая экзотика для полупроводников )

вывод: если между проекциями физ. Величин сущ-ет связь типа (4), причем , то видим, что векторы, для которых эта связь справедлива, непараллельны

(5)

Формула (5) уже дает связь между и , но она достаточно неявна. Преобразуем (5), для этого рассмотрим проекции на оси координат. ,

1) (; ; )

(6)

(7)

(8)

Формула (8) дает связь проекции момента кол-ва движения ТТ и сразу с тремя проекциями вектора угловой скорости

 

Аналогично получим:

(9)

(10) Из формул (10) видно: (11)

Из 9-ти коэффициентов независимы только 6.

Величины , , называются

осевыми моментами инерции тв. тела.

Величины , ,

называются центробежными моментами инерции ТТ.

Величины , ,

называются центробежными моментами инерции ТТ.

Векторы и не параллельны. Такая связь, когда связываются 2 не параллельных вектора называется тензорной связью, и говорят, что эта связь определяется с помощью тензора 2-го ранга.

 

(12)

Тензор , введенный в формуле (12) с помощью (10) называется тензором инерции твердого тела.

Величины , и т.д., называются компонентами тензора.

Тензор называется симметричным тензором.

 

№32.Вычисление моментов инерции относительно оси.

Пусть ось Z есть ось вращения.

(1)

(2)

(3)

(4)

Момент инерции относительно оси.

(; ; )

(; ; )

 

Этот предел если существует, то равен объемному интегралу

(5)

Формула (5) дает выражение для момента инерции относительно оси в случае непрерывного

расположения массы вещества.

 

 

№33.Теорема Гюйгенса-Штейнера

(см. рис в лекции №17)

Расм. произвольное тв. тело. Пусть точка О –центр масс этого тела, а ось проходит через центр масс. Пусть АВ – ось // и нах-ся на расстоянии а. пусть Ri- радиус i-той точки, лежащей в пл-сти xoy.

Ri отсчитывается от центра масс. (1)

Задача: сравнить осевой момент инерции относительно оси и оси АВ

от Iо

от АВ I

(2)

(3)

(4)

(6) (5)

Ф-ла (2) и (5)

(7)

Формула (7) выражает теорему Гюйгенса-Штейнера.

№36. Движение тел с переменной массой.

, км/с

речь не идет о релятивистском изменении массы.

Мы называем тело телом с переменной массой если в процессе его движения масса тела меняется за счет потери или приобретения вещества.пример: 3-х ступенчатая ракета. Выгорает топливо, масса уменьшается.

Для получения уравнения движения тела с переменной массой нет необходимости привлечения новых физ. Принципов. Это ур-е следует из законов Ньютона .(см. и1 лекции 20)

Пусть имеется ракета (см и1) которая имеет массу М(t). Пусть в неподвижной ИСО S скорость ракеты равна .Пусть в течении малого времени dt происходит выброс массы dm, причем скорость выброса есть u. Мы считаем что система замкнутая, для таких систем выполняется закон сохранения импульса, выполняется закон сохр. массы. Обозначим dM- уменьшение массы ракеты за dt.

dM<0 (2) следовательно мы имеем: dM+dm=0 (3)- закон сохранения массы. Импульс системы в момент времени t: (4)

(5)

Для общего случая: (6)

Когда действует внешняя сила: (7)

Получаем:

Мы пренебрегаем произведением как величину 2-го порядка малости

(8)

Мы учтем силу для общего случая:

(9)

Уравнение (9) описывает движение тела с переменной массой в ИСО S при наличии внешних сил F.

- относительная скорость газов относительно ракеты, тогда относительно S

(10)

(11)

Расписываем левую часть (9):

(12)

Обозначим через ежесекундный расход топлива

(13) {кг/с}

с учетом (3) перепишем (13)

(14)

(15)

Формула (15) есть главная формула данного вопроса.

Вектор (16) назовем реактивной силой.

Уравнение (15) называется уравнением Мещерского или уравнением движения тела с переменной массой для общего случая(в присутствии F).

№37. Формула Циолковского.

(см. и2 в лекции 20)

(1)

Спроецируем с учетом (1) на ось Z

(2)

Обозначим , - значения массы и скорости перед включением двигателя ракеты

const

(3)

(4)

Формула (4) называется формулой Циолковского. Эта формула показывает насколько изменится масса ракеты при увеличении скорости от до . Из этой формулы можно узнать насколько изменится скорость ракеты. (5)

Из этой формулы видно, что для увеличения скорости при минимальном расходе топлива нуж