СТО. Интервал и собственное время.

Пусть в точке пространства с координатами x, y, z в момент времени t происходит некоторое физическое явление (событие). Пусть в другой точке x₁, y₁, z₁ в момент времени t, происходит другое событие, тогда по определению интервалом между двумя событиями называется величина равная: S= (9). Преобразуем (9), чтобы узнать чему оно равно в системе К’, пользуясь формулами (II). c²(t₁-t)²=1/(1-V²/c²){c²(t₁’-t’)²+2V(x₁’-x’)(t₁’-t’)+V²/c²(x₁’-x’)²}, (x₁-x)²=(x₁’-x’)²+V²(t₁’-t’)²+2V(x₁’-x’)(t₁’-t’), (y₁-y)²=(y₁’-y’)², (z₁-z)²=(z₁’-z’)², c²(t₁-t)²-(x₁-x)²=1/(1-V²/c²){ c²(t₁’-t’)²+2V(x₁’-x’)(t₁’-t’)+V²/c²(x₁’-x’)²-(x₁’-x’)²-V²(t₁’-t’)-2V(x₁’-x’)(t₁’-t’)}=1/(1-V²/c²){ (t₁’-t’)²(c²-V²)+ (x₁’-x’)²(1-V²/c²)}= 1/(1-V²/c²){c²(t₁’-t’)²(1-V²/c²)-(x₁’-x’)²(1-V²/c²)}=c²(t₁’-t’)²-(x₁’-x’)², S²=c²(t₁-t)²-(x₁-x)²-(y₁-y)²-(z₁-z)²=c²(t₁’-t’)²-(x₁’-x’)²-(y₁’-y’)²-(z₁’-z’)²=S’² (10). S=S’=invar (11).

▼ Мы показали, что интервал между двумя событиями является инвариантным. Мы рассматриваем бесконечно малые расстояния и интервалы между двумя событиями dx=(x₁-x), dt=(t₁-t), dS= (12). Пусть дана инерциальная система отсчета К’, в некоторой точке x’, y’, z’ происходит два события во время dt₀-измеряется часами, покоящимися в К’. Время dt₀ есть собственное время, прошедшее между двумя событиями. Найдем интервал между двумя событиями. dS= =cdt₀, dt₀= (13)-связь интервала и времени. Подставим в (13) dS из формулы (12): dt₀=

=() (14)

dt . dt₀=dt (15)-связывает собственное время dt₀ с временем dt в К’.

55.СТО. 4-х мерная формулировка-преобразование Лоренца и вращение в плоскости x, τ.

Математическое отступление. Формулы преобразования координат вектора при повороте в системе (здесь рисунок). Получим связь a_x=>f₁(a_x;a_y), a_y=> f₂(a_x;a_y), +a_{y y} (1), +a_{y’ y’} (2)

a_x= _x = _x(a_{x’ x’}+a_{y’ y’})=a_x’( _{x x’})+a_y’( _{x y}) a_x’cosj+a_y’cos( +j), a_x=a_x’cosj-a_y’sinj(3)

a_α=R_αβa_β’ (4), R_αβ= (5), a’_x a_x’ a_α= , a’_α= , a_x=R_xxa’_x+R_xya’_y. Конец матем. отступления.

Введем формально четвертую координату. τ=ict (6). Будем считать, что формулы преобразования типа (3) и (4) справедливы и для координатной плоскости τx(здесь рисунок).

tgj=i(V/c) (7). Формулы преобразования (3) и (4) в точности совпадают с преобразованиями Лоренца (II).

cosj=1/ =1/ (8), sinj=cosjtgj, sinj=(iV/c)/ (9), (8) и (9) подставим в (3): x=(x’-τ’iV/c)/ =(1/ )(x’-ict’iV/c)=(x’+Vt’)/ (I). Проверим вторую формулу τ=(x’iV/c+τ’)/ , ict=(x’iV/c+ict’)/ . t=(t’+x’V/c²)/ . Таким образом поварот системы координатной плоскости xτ на угол j, дает для x, y, z и t формулу Лоренца.

СТО. 4-х радиус вектор, 4-х векторы скорости и ускорения.

По определению четырехрадиусом-вектором называется величина r_α=(x, y, z, τ) (10). Мы показали что формула преобразования является следующими формулами: r_α=γ_αβr’_β (11). γ_αβ=(Здесь формула из тетради) (12). Применим (11) к α=1→r₁=x, r₁=γ₁₁r₁’+γ₁₂r₂’+γ₁₃r₃’+γ₁₄r₄’=x’/ +0+0+(-iV/c)(ict’)/

Обобщим определение четырехрадиуса-вектора на произвольный трех-вектор.

▼ По определению четырехрадиусом-вектором называется совокупность величин a_α=(a_x, a_y, a_z, a_τ), которые при преобразовании Лоренца (вращение в плоскости xτ на угол j) преобразуется как четырехрадиус-вектор по формуле (11). a_α=γ_αβa_β’ (13) суммирование по индексу β от одного до четырех.

Кинематика СТО. dt₀ лоренц-скаляр (инвариант), мы это показали. dt₀-как масса в обычном мире.

▼ Четырехвектором-скорости называется следующим четырехвектором: u_α= (14), dt₀=dt (15), β=V/c (16), dt₀=dt (17).

u_x=dx/(dt )=dx/dt/ = / (18), u_y= _y/ , u_z= _z/ } (19). u_τ=ic/ (20).

=u_αu_α=-c², u_αu_α=1/ ( + + -c²)=

Тривиальная формула преобразования скорости при вращении u_α=γ_αβu_β’ (21)

▼ Четырех-вектор ускорения по определению равен: (22), он четырех-вектор по построению. Формула преобразования Лоренца для ускорения: γ_αβv_β’ (23). Компоненты ускорения. v_x= = =

= ; a=v_x, b= ; b’=

=-

v_x= + (24); =u_αu_α=-c²=const; 2u_x =0

u_αv_α=0 (25) четырех-векторы скорости и ускорения арктагенальны (сколярное произведение=0)

57-58.СТО. Ковариантная формулировка основного закона динамики материальной точки. Сила Минковского.

Инерционные свойства частиц описываются массой покоя этой частицы (m₀).четырех-вектор импульса.

▼ По определению p_α=m₀u_α (26). Естественным релетивистским обобщением II закона Ньютона является следующее уравнение: =F_α (27), F_α-некоторый четырех-вектор.

▼ F_α-называется силой Минковского. Запишем в координатах = = =F_x.

=F_x (28); v<<c. Мы потребуем, чтобы в правой части (28) стояла обычная сила F, тогда: ▼ Компоненты четырех-вектора силы: =F_x (29), = (30)-обыкновенные силы Ньютона.

=F_τ u_αv_α=0, u_α (m₀ u_α), воспользуемся (27): u_αF_α=0 (31).

+ + + =0; =- ; =(i/c) (32); = (33)

Тогда уравнение (27) четырех-вектора компоненты приобретают следующий вид: = = ; = (34)

▼ Справа в (34) стоит мощность, следовательно, слева изменение энергии.

▼ Таким образом мы определяем полную энергию частицы. E= (35); = (36)

Проанализируем. Формула для трех-координат системы четырех-вектора (трехмерная формула для четырех-вектора): = ; m(v) (37); m(v)= (38); = ; p_α=(p_x, p_y, p_z, i, E/c) (39).

E= = +…; E= (40) для покоящегося тела. T=E-E₀ [m(0)-m₀]c²

E= ; = => = (41).

▼ (41) дает связь импульса частицы с энергией покоящейся частицы.