СТО. Интервал и собственное время. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

СТО. Интервал и собственное время.



Пусть в точке пространства с координатами x, y, z в момент времени t происходит некоторое физическое явление (событие). Пусть в другой точке x1, y1, z1 в момент времени t, происходит другое событие, тогда по определению интервалом между двумя событиями называется величина равная: S= (9). Преобразуем (9), чтобы узнать чему оно равно в системе К’, пользуясь формулами (II). c2(t1-t)2=1/(1-V2/c2){c2(t1’-t’)2+2V(x1’-x’)(t1’-t’)+V2/c2(x1’-x’)2}, (x1-x)2=(x1’-x’)2+V2(t1’-t’)2+2V(x1’-x’)(t1’-t’), (y1-y)2=(y1’-y’)2, (z1-z)2=(z1’-z’)2, c2(t1-t)2-(x1-x)2=1/(1-V2/c2){ c2(t1’-t’)2+2V(x1’-x’)(t1’-t’)+V2/c2(x1’-x’)2-(x1’-x’)2-V2(t1’-t’)-2V(x1’-x’)(t1’-t’)}=1/(1-V2/c2){ (t1’-t’)2(c2-V2)+ (x1’-x’)2(1-V2/c2)}= 1/(1-V2/c2){c2(t1’-t’)2(1-V2/c2)-(x1’-x’)2(1-V2/c2)}=c2(t1’-t’)2-(x1’-x’)2, S2=c2(t1-t)2-(x1-x)2-(y1-y)2-(z1-z)2=c2(t1’-t’)2-(x1’-x’)2-(y1’-y’)2-(z1’-z’)2=S’2 (10). S=S’=invar (11).

▼ Мы показали, что интервал между двумя событиями является инвариантным. Мы рассматриваем бесконечно малые расстояния и интервалы между двумя событиями dx=(x1-x), dt=(t1-t), dS= (12). Пусть дана инерциальная система отсчета К’, в некоторой точке x’, y’, z’ происходит два события во время dt0-измеряется часами, покоящимися в К’. Время dt0 есть собственное время, прошедшее между двумя событиями. Найдем интервал между двумя событиями. dS= =cdt0, dt0= (13)-связь интервала и времени. Подставим в (13) dS из формулы (12): dt0=

=() (14)

dt . dt0=dt (15)-связывает собственное время dt0 с временем dt в К’.

55.СТО. 4-х мерная формулировка-преобразование Лоренца и вращение в плоскости x, τ.

Математическое отступление. Формулы преобразования координат вектора при повороте в системе (здесь рисунок). Получим связь ax=>f1(ax;ay), ay=> f2(ax;ay), +ay y (1), +ay y (2)

ax= x = x(ax x+ay y)=ax( x x)+ay( x y) axcosj+aycos( +j), ax=axcosj-aysinj(3)

aα=Rαβaβ (4), Rαβ= (5), a’x ax aα= , a’α= , ax=Rxxa’x+Rxya’y. Конец матем. отступления.

Введем формально четвертую координату. τ=ict (6). Будем считать, что формулы преобразования типа (3) и (4) справедливы и для координатной плоскости τx(здесь рисунок).

tgj=i(V/c) (7). Формулы преобразования (3) и (4) в точности совпадают с преобразованиями Лоренца (II).

cosj=1/ =1/ (8), sinj=cosjtgj, sinj=(iV/c)/ (9), (8) и (9) подставим в (3): x=(x’-τ’iV/c)/ =(1/ )(x’-ict’iV/c)=(x’+Vt’)/ (I). Проверим вторую формулу τ=(x’iV/c+τ’)/ , ict=(x’iV/c+ict’)/ . t=(t’+x’V/c2)/ . Таким образом поварот системы координатной плоскости xτ на угол j, дает для x, y, z и t формулу Лоренца.

СТО. 4-х радиус вектор, 4-х векторы скорости и ускорения.

По определению четырехрадиусом-вектором называется величина rα=(x, y, z, τ) (10). Мы показали что формула преобразования является следующими формулами: rααβr’β (11). γαβ=(Здесь формула из тетради) (12). Применим (11) к α=1→r1=x, r111r1’+γ12r2’+γ13r3’+γ14r4’=x’/ +0+0+(-iV/c)(ict’)/

Обобщим определение четырехрадиуса-вектора на произвольный трех-вектор.

▼ По определению четырехрадиусом-вектором называется совокупность величин aα=(ax, ay, az, aτ), которые при преобразовании Лоренца (вращение в плоскости xτ на угол j) преобразуется как четырехрадиус-вектор по формуле (11). aααβaβ’ (13) суммирование по индексу β от одного до четырех.

Кинематика СТО. dt0 лоренц-скаляр (инвариант), мы это показали. dt0-как масса в обычном мире.

▼ Четырехвектором-скорости называется следующим четырехвектором: uα= (14), dt0=dt (15), β=V/c (16), dt0=dt (17).

ux=dx/(dt )=dx/dt/ = / (18), uy= y/ , uz= z/ } (19). uτ=ic/ (20).

=uαuα=-c2, uαuα=1/ ( + + -c2)=

Тривиальная формула преобразования скорости при вращении uααβuβ’ (21)

▼ Четырех-вектор ускорения по определению равен: (22), он четырех-вектор по построению. Формула преобразования Лоренца для ускорения: γαβvβ’ (23). Компоненты ускорения. vx= = =

= ; a=vx, b= ; b’=

=-

vx= + (24); =uαuα=-c2=const; 2ux =0

uαvα=0 (25) четырех-векторы скорости и ускорения арктагенальны (сколярное произведение=0)

57-58.СТО. Ковариантная формулировка основного закона динамики материальной точки. Сила Минковского.

Инерционные свойства частиц описываются массой покоя этой частицы (m0).четырех-вектор импульса.

▼ По определению pα=m0uα (26). Естественным релетивистским обобщением II закона Ньютона является следующее уравнение: =Fα (27), Fα-некоторый четырех-вектор.

▼ Fα-называется силой Минковского. Запишем в координатах = = =Fx.

=Fx (28); v<<c. Мы потребуем, чтобы в правой части (28) стояла обычная сила F, тогда: ▼ Компоненты четырех-вектора силы: =Fx (29), = (30)-обыкновенные силы Ньютона.

=Fτ uαvα=0, uα (m0 uα), воспользуемся (27): uαFα=0 (31).

+ + + =0; =- ; =(i/c) (32); = (33)

Тогда уравнение (27) четырех-вектора компоненты приобретают следующий вид: = = ; = (34)

▼ Справа в (34) стоит мощность, следовательно, слева изменение энергии.

▼ Таким образом мы определяем полную энергию частицы. E= (35); = (36)

Проанализируем. Формула для трех-координат системы четырех-вектора (трехмерная формула для четырех-вектора): = ; m(v) (37); m(v)= (38); = ; pα=(px, py, pz, i, E/c) (39).

E= = +…; E= (40) для покоящегося тела. T=E-E0 [m(0)-m0]c2

E= ; = => = (41).

▼ (41) дает связь импульса частицы с энергией покоящейся частицы.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; просмотров: 199; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.88.185.100 (0.023 с.)