Кинетическая энергия при плоском движении

Рассмотрим, как вычислить кинетическую энергию тела, если оно одновременно участвует в поступательном и вращательном движении – например, качение колеса по плоскости.

Как мы знаем, при плоском движении тела скорость некоторой точки тела определяется формулой

(4.26)

где - скорость поступательного движения точки «0», принятой за начало отсчета для ,

- радиус-вектор частицы с массой по отношению к точке «0». Тогда кинетическая энергия i -той частицы

(4.27)

Учтем, что модуль , - расстояние i -той точки до оси вращения и, соответственно . Воспользовавшись циклической перестановкой сомножителей в смешенном произведении, получим .

Тогда из (4.27) получим:

(4.28)

А для кинетической энергии всего тела

(4.29)

Теперь учтем, что

, , а .

Тогда

(4.30)

Если в качестве «0» взять центр масс, то , и

(4.31)

Таким образом, если рассматривать вращение тела относительно оси, проходящей через центр масс, то его кинетическая энергия распадается на два слагаемых. Одно из них описывает кинетическую энергию, обусловленную поступательным движением, другое – вращательным.

ГИРОСКОПЫ.

Гироскопом называют массивное симметричное тело, вращающееся с БОЛЬШОЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ вокруг оси симметрии.

В этом случае момент импульса гироскопа . Если мы будем поворачивать ось гироскопа с некоторой в пространстве, то , вообще говоря, не совпадает с осью гироскопа. Однако обычно и можно считать, что направлен по оси гироскопа.

При попытках повернуть ось гироскопа возникает гироскопический эффект: под действием сил, стремящихся повернуть ось гироскопа вокруг оси декартовой системы координат, гироскоп поворачивается вокруг оси .

Такое поведение объясняется законами динамики вращательного движения. Действительно момент пары сил, , направленных вдоль , направлен параллельно . Под действием этого момента сил момент импульса гироскопа за время получает приращение направленное вдоль . Следовательно, ось гироскопа приблизится к направлению – .

Если момент будет продолжать действовать, то ось гироскопа будет поворачиваться, приближаясь к направлению момента сил до тех пор, пока эти направления не совпадут. Дальней шее действие этого момента сил будет приводить только к увеличению момента импульса по модулю.

Гироскопический эффект лежит в основе действия гирокомпаса, который представляет собой гироскоп, точки опоры которого закреплены так, что гироскоп может поворачиваться вокруг вертикальной оси. На раскрученный гироскоп через точки опоры действует момент сил, вовлекающий его в суточное вращение Земли. При длительном воздействии этого момента, ось гироскопа устанавливается параллельно оси вращения Земли, т.е. в меридиональной плоскости, и позволяет определить направление на географический (!) полюс.

Если гироскоп находится в поле силы тяжести и его ось составляет с вертикалью угол , то к гироскопу оказывается приложенным момент сил . Он создается силой тяжести , которая приложена к центру масс гироскопа и реакцией опоры , действующей в точке опоры . Раскрученный гироскоп не падает, как «юла»! Поэтому эти силы равны и противоположны по направлению. Момент сил направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат силы и момент импульса гироскопа в некоторый исходный момент времени. Если расстояние от точки опоры до центра масс гироскопа равно , то модуль этого момента сил

(4.32)

Под действием момента сил момент импульса гироскопа получит приращение , а ось гироскопа за повернется на угол . Следовательно, ось гироскопа будет совершать вращательное движение вокруг вертикали с угловой скоростью:

(4.33)

Такое движение называется прецессией. Соотношение (4.33) дает угловую скорость прецессии. Очевидно, что чем больше момент импульса гироскопа , т.е. чем с большей угловой скоростью он вращается вокруг своей оси, тем меньше будет угловая скорость прецессии. (Вспомните процесс остановки «юлы».)

 

ЛЕКЦИЯ 5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ.

ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ.

Колебаниями будем называть процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости.

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают механические колебания, электрические и т.п.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (собственные), вынужденные, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными называют колебания, которые возникают в системе, предоставленной самой себе, после того, как она каким либо образом была выведена из положения равновесия.

Вынужденными называют колебания, совершаемые системой под действием внешней периодически изменяющейся силы.

При автоколебаниях воздействием внешних сил управляет сама система. Например, маятник часов.

Параметрическиминазывают колебания, возникающие за счет того, что внешнее воздействие изменяет какой-либо параметр системы.

Простейшими колебаниями являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Таким колебаниям уделяют особое внимание, так как:

1 очень часто колебания реальных систем близки к гармоническим и, кроме того,

2 можно доказать, что периодические процессы произвольной формы могут быть представлены как наложение гармонических колебаний.