Энергия упруго деформированного тела

Подставив в формулу (2.13) значения s и e из формул (2.11) и (2.12), получим

f_уп/S=E|DL|/L₀.

откуда следует, что сила упругости f_уп, возникающая при деформации тела, определяется по формуле

f_уп=ES|DL|/L₀. (2.14)

Определим работу A_деф, совершаемую при деформации тела, и потенциальную энергию W упруго деформированного тела. Согласно закону сохранения энергии,

W=A_деф. (2.15)

Как видно из формулы (2.14), модуль силы упругости может изменяться. Он возрастает пропорционально деформации тела. Поэтому для подсчета работы деформации необходимо брать среднее значение силы упругости <f_уп>, равное половине от ее максимального значения:

<f_уп>= ES|DL|/2L₀. (2.16)

Тогда определяемая по формуле A_деф=<f_уп>|DL| работа деформации

A_деф= ES|DL|²/2L₀.

Подставив это выражение в формулу (2.15), найдем значение потенциальной энергии упруго деформированного тела:

W= ES|DL|²/2L₀. (2.17)

Для упруго деформированной пружины ES/L₀=k - жесткость пружины; х - удлинение пружины. Поэтому формула (2.17) может быть записана в виде

W=kx²/2. (2.18)Формула (2.18) определяет потенциальную энергию упруго деформированной пружины.

 

 

Ответ 13

Кинетическая и потенциальная энергии

в тех случаях, когда тело, действуя на другое тело, вызывает его перемещение, а направление силы при этом не перпендикулярно направлению перемещения, совершается механическая работа. Наблюдения показывают, что при определенных условиях работа может быть совершена любым телом. Например, сжатая или растянутая пружина, действующая силой упругости на прикрепленное к ней тело, перемещает его и при этом совершает механическую работу. Может совершать работу и любое движущееся тело. Сталкиваясь с другим телом, оно действует на него силой и может вызвать перемещение этого тела или его частей (деформацию). При этом тоже совершается механическая работа.Про тела, которые могут совершать работу, говорят, что они обладают энергией. Энергией называют скалярную физическую величину, показывающую, какую работу может совершить тело. Энергия равна той максимальной работе, которую тело может совершить в данных условиях. Механическая работа является мерой изменения энергии в различных процессах. Поэтому энергию и работу выражают в одних и тех же единицах (в СИ - в джоулях). В более общем смысле энергия - это единая мера разных форм движения материи, а также мера перехода движения материи из одной формы в другую. Для характеристики конкретных форм движения материи используют понятия о соответствующих видах энергии: механической, внутренней, электромагнитной и т. д. Механическая энергия является характеристикой движения и взаимодействия тел. Она зависит от скоростей и взаимного расположения тел.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия механической системы - это энергия механического движения рассматриваемой системы.

Рассмотрим случай, когда тело массой m под действием постоянной силы (F=const) движется прямолинейно равноускоренно (а=const). Определим работу силы, приложенной к телу, при изменении модуля скорости этого тела от v₁ до v₂.

Как было отмечено в §17, работу постоянной силы вычисляют по формуле А=Fscos. Так как в рассматриваемом нами случае направление силы F и перемещения s совпадают, то cos=1 и А=Fs. По второму закону Ньютона F=ma. В § 2 было показано, что для прямолинейного равноускоренного движения справедлива формула

v₂=v_o²+2as.

Из этой формулы при v_о=v₁ и v=v₂ Следует, что

s=(v₂²-v₁²)/2a.

 

 

Подставив значения F и s в формулу работы, получим

А=mv₂²/2-mv₁²/2 (3.12).

Из последней формулы видно, что работа силы, приложенной к телу, при изменении скорости этого тела равна разности двух значений некоторой величины mv₂²/2.

Выше отмечалось, что механическая работа есть мера изменения энергии. Следовательно, в правой части формулы (3.12) стоит разность двух значений энергии данного тела. Это значит, что величина mv₂²/2 представляет собой энергию, обусловленную движением тела. Эту энергию называют кинетической. Она обозначается W_к. Следовательно,

W_к=mv₂²/2. (3.13)

С учетом (3.13) формулу (3,12) можно записать в виде

А=W_k2-W_k1=W_k, (3.14)

т.е. работа, совершаемая силой при изменении скорости тела, равна изменению кинетической энергии этого тела.

Когда направление силы совпадает с направлением перемещения тела, работа силы положительна (т.е. A>0). Из формулы (3.14) видно, что в этом случае W_k2-W_k1>0, т.е. W_k2>W_k1. Следовательно, когда сила совершает положительную работу, кинетическая энергия тела увеличивается. Когда же направление силы противоположно направлению перемещения, то A<0 и W_k2-W_k1<0, т.е. W_k2<W_k1. Следовательно, когда сила совершает отрицательную работу, кинетическая энергия тела уменьшается.

Потенциальная энергия

Определим работу, совершаемую силой тяжести F_тпри переносе материальной точки массой m по криволинейной траектории ВС из одной точки В поля тяготения Земли в другую точку С (рис 31). Для этого разобьем траекторию движения тела на сколь угодно малые участки s_k, каждый из которых можно считать прямолинейным.

На произвольно выбранном таком участке сила тяжести F_т составляет с перемещением s_k угол _k. Поэтому на данном участке работа силы тяжести

A_k=F_т·s_k·cos(_k). (3.15)

Спроецируем участок s_k на вертикаль BD. Его проекция

h_k=s_k·cos(_k). (3.16)

Из (3.15) и (3.16) имеем A_k=F_т·h_k. Очевидно, что работа A_BC силы тяжести F_т на всем пути ВС равна сумме элементарных работ h_k на всех участках s_k этого пути:

ABC=F_т(h₁-h₂)=mgh₁-mgh₂ (3.17)

Из последней формулы видно, что работа силы тяжести при переносе материальной точки массой m в поле тяготения Земли равна разности двух значений некоторой величины mgh. Поскольку работа есть мера изменения энергии, то в правой части формулы (3.17) стоит разность двух значений энергии этого тела. Это значит, что величина mgh представляет собой энергию, обусловленную положением тела в поле тяготения Земли.

 

Энергию, обусловленную взаимным расположением взаимодействующих между собой тел (или частей одного тела), называют потенциальной и обозначают W_п. Следовательно, для тела, находящегося в поле тяготения Земли,

W_п=mgh. (3.18)

С учетом (3.18) формулу (3.17) можно записать в виде

A_BC=W_п1-W_п2=-(W_п2-W_п1)=-W_п (3.19)

т. е. работа силы тяжести равна изменению потенциальной энер-гии тела, взятому с противоположным знаком.Из рис. видно, что работа A_BD, совершаемая силой тяжести при перемещении материальной точки массой m из точки B в точку D по вертикали ВD, составляет A_BC=mgh₁-mgh₂. Следовательно, A_BD=A_BC. Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела, а определяется лишь положением в поле тяготения Земли начальной и конечной точек перемещения тела.Силы, работа которых не зависит от траектории движения тела, называют консервативными, а поле таких сил называется потенциальным. Сила тяжести является консервативной, а поле тяготения - потенциальным. Из формулы (3.19) следует, что работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

Следует отметить, что тела имеют потенциальную энергии не только вследствие их притяжения к Земле. В результате упругой деформации тело тоже приобретает потенциальную энергию. Если, например, сжимается или растягивается упругая пружина, то ее потенциальная энергия вычисляется по формуле W_п=kх²/2, где k - жесткость пружины, x - ее удлинение, т.е. смещение точки приложения силы упругости.
Работа силы упругости определяется по формуле

A=W_п1-W_п2= kх₁²/2- kх₂²/2=-W_п (3.20)

Сумму кинетической и потенциальной энергии тела называют полной механической энергиейэтого тела и обозначают W.

W=W_п+W_k (3.21)

 

Ответ 16.