Упругое и неупругое взаимодействия

При взаимодействии тел друг с другом изменяются их энергия и импульс. Это изменение, однако, может происходить по-разному.

Когда речь идет о взаимодействии массивных тел, которые состоят из большого числа частиц, атомов или молекул, имеет смысл наряду с кинетической и потенциальной энергией говорить о внутренней энергии тела. Внутренняя энергия — это энергия всех частиц, составляющих тело, при заданных его температуре и объеме.

В результате взаимодействия тела с другими телами может измениться его температура, а также (необратимым образом) его объем. Ясно, что эти изменения связаны с расходом энергии, т. е. в результате взаимодействия тела с внешними объектами меняется его внутренняя энергия. Такое взаимодействие является неупругим. Оно, очевидно, не сохраняет полной механической энергии тела —суммы кинетической и потенциальной. Напротив, если в результате взаимодействия внутреннее состояние тела не меняется, взаимодействие является упругим. В процессе упругого взаимодействия выполняется закон сохранения механической энергии. Рассмотрим в связи с этими соображениями столкновения двух тел. Столкновение тел заключается в их кратковременном взаимодействии, происходящем при соприкосновении тел. Поскольку вне этого момента времени тела не взаимодействуют, их потенциальная энергия относительно друг друга равна нулю. Взаимодействие при столкновении состоит, таким образом, в передаче от одного тела другому импульса и кинетической энергии. Рассмотрим удар двух шаров, центры которых движутся вдоль одной прямой, т. е. центральный удар. Пусть массы шаров m₁ и m₂, скорости до удара v₁, и v₂, после удара u₁ и u₂. Для определенности возьмем случай движения шаров, изображенный на рис..

Центральный удар шаров

Сначала рассмотрим упругий удар шаров. В применении к данной задаче закон сохранения импульса системы шаров имеет вид:

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂, 1.50)

т.е. импульс системы до столкновения равен импульсу системы после столкновения.

Закон сохранения энергии дает

. (1.51)

Перенося члены, относящиеся к первому шару влево, а ко второму шару вправо, и разделив одно из полученных уравнений на другое, находим:

, .

Решая полученную систему уравнений совместно, получаем:

, (1.52)

. (1.53)

Исследуем полученный результат в частных случаях.

1. Соударение одинаковых шаров. Тогда m₁ = m₂ и

u ₁ = v ₂, u ₂ = v ₁. (1.54)

т. е. при упругом центральном ударе двух тел одинаковой массы они просто обмениваются скоростями. Если, в частности, до удара второй шар покоился (v₂ = 0), то после удара остановится первый шар (u₁ = 0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался до удара первый шар (u₂ = v₁,).

2. Удар шара о массивную стенку. В этом случае m₂ >> m₁ и приближенно будем иметь:

(1.55)

.

Как видно отсюда, скорость массивного тела после удара меняется незначительно. В результате удара стенке передается значительный импульс, но передача энергии при ударе сравнительно мала:

.

Если стенка была первоначально неподвижна (v₂ = 0), то упруго ударившийся о нее шарик малой массы отскочит обратно практически с теми же скоростью (u₁ = ‑ v₁) и энергией.

При ударе о движущуюся стенку происходит обмен энергией между стенкой и шариком тем больший, чем больше скорость стенки. В зависимости от направления движения стенки (v₂ больше или меньше 0) шарик отскакивает от стенки с большими или меньшими, чем до столкновения, кинетической энергией и импульсом.

Рассмотрим теперь абсолютно неупругий удар шаров. При таком ударе энергия налетающего шара полностью расходуется на изменение внутренней энергии другого шара и на сообщение ему некоторой скорости. Закон сохранения механической энергии не выполняется, и для определения скорости после удара достаточно закона сохранения импульса.

m₁v₁ + m₂v₂ =(m₁ + m₂) u₁, (1.56)

откуда

. (1.57)

Потеря механической энергии, перешедшей во внутреннюю энергию шаров, равна разности энергий до и после удара:

. (1.58)

Подставляя сюда (1.57), находим

. (1.59)

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v₂ = 0), то

(1.60)

1.61)

Когда неподвижное тело имеет большую массу (m₂ > m₁), то почти вся кинетическая энергия переходит при ударе во внутреннюю анергию. Напротив, при m₁ >> m₂ изменение внутренней энергии мало и большая часть кинетической энергии идет на сообщение движения ударяемому телу.

Сила упругости

В законе Ньютона сила есть физическая величина, характеризующая действие одного тела на другое и сообщающая последнему ускорение. Сила может также приводить к изменению формы и объема тела. В этом случае происходит деформация тела. Что происходит в действительности при приложении силы — ускорение тела или его деформация — определяется самими свойствами тела. Более того, свойства тела определяют и характер деформации, которая может быть упругой и неупругой. Неупругая деформация характеризуется тем, что она не исчезает после снятия нагрузки. С неупругой деформацией связано изменение внутренней энергии тела. Напротив, если после снятия нагрузки деформация исчезает и тело возвращается к своей прежней форме, то деформация является упругой. Сила, возвращающая тело к своей прежней форме, — упругая сила. Как показывает опыт, упругая сила пропорциональна созданной в теле деформации. Соответствующий закон называется законом Гука:

F =- k x, (1.62)

где k — коэффициент пропорциональности, а x — величина деформации тела (рис.): x > 0 при растяжении тела, x < 0 — при сжатии.

Вычислим работу, совершаемую против упругой силы, при деформации одномерного стержня на dx:

(1.63)

Эта работа идет на изменение взаимного расположения отдельных частей тела, т. е. на изменение его потенциальной энергии. Следовательно, зависимость потенциальной энергии стержня имеет вид:

. (1.64)

График зависимости U от x показан на рис.

Сила трения

Наряду с силами тяготения и упругими силами существуют силы, обусловленные молекулярными взаимодействиями между соприкасающимися поверхностями тел и зависящие от их скоростей. Опыт показывает, что сила трения, действующая на тело, направлена в сторону, противоположную его скорости. Поэтому работа сил трения всегда отрицательна:

dA = F _TP · dr = F _TP · v · dt = ‑ F_TP · v · dt = ‑ F_TP · dr. (1.65)

Следовательно, при наличии в системе сил трения полная механическая энергия системы уменьшается, переходя в другие формы энергии, а силы, приводящие к потере (диссипации) энергии, называются диссипативными. Таким образом, силы трения являются диссипативными силами. При наличии силы трения закон Ньютона приобретает вид:

(1.66),

откуда

(1.67)

Если сила трения уравновешивает внешнюю силу, то тело будет двигаться равномерно и прямолинейно. Примером является свободное падение тела с учетом сопротивления воздуха, которое происходит с постоянной скоростью, зависящей от формы и размеров тела.

Рассмотрим трение скольжения (рис.). Силу тяжести P можно разложить на две составляющие F и N, соответ­ственно параллельно и перпендикулярно направлению скольжения. Сила N, при­жимающая тело к поверхности, увеличи­вает взаимодействие между трущимися поверхностями. Сила трения скольжения противоположна направлению силы, заставляющей тело скользить. В то время как сила F = P sin a, сила трения

F_TP = μ· N = μ· P · cosα. (1.68)

где μ — коэффициент трения, зависящий от формы и состояния соприкасающихся поверхностей, а также от скорости движения.

Центр инерции

 

Импульс замкнутой механической системы имеет различные значения по отношению к различным инерциальным системам отсчета. Если система отсчета K' движется относительно системы K со скоростью V, то скорости частиц v'_α и v_α в этих системах связаны соотношением v_α = v'_α + V. Поэтому связь между значениями P и P' импульса в этих системах дается формулой:

(1.69)

или

(1.70)

Всегда можно подобрать такую систему отсчета K', в которой полный импульс обращается в нуль. Положив P' =0, находим, что скорость этой системы отсчета

. (1.71)

Если полный импульс механической системы равен нулю, то говорят, что она покоится относительно соответствующей системы координат. Скорость V имеет смысл скорости движения механической системы как целого с отличным от нуля импульсом. Связь между импульсом P и скоростью V системы как целого такая же, какая была бы между импульсом и скоростью одной материальной точки с массой, равной сумме масс в системе, .

Правая сторона формулы (1.71) может быть представлена как полная производная по времени от выражения:

(1.72)

Можно сказать, что скорость V системыкак целого есть скорость перемещения в пространстве точки, радиус-вектор которой дается формулой (1.72). Такая точка является центром инерции системы.

Закон сохранения импульса замкнутой системы можно сформулировать как утверждение о том, что ее центр инерции движется прямолинейно и равномерно. Это есть обобщение закона инерции для свободной материальной точки.

Энергию покоящейся как целое механической системы обычно называют ее внутренней энергией E_вн. Она состоит из кинетической энергии движения частиц относительно друг друга и потенциальной энергии их взаимодействия. Полная же энергия системы, движущейся как целое со скоростью V,

(1.73)