Удар абсолютно упругих и неупругих тел

 

Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Удар (или соударение) — это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Помимо ударов в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или биллиардных шаров) сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. Силы взаимодействия между сталкивающимися телами (ударные или мгновенные силы) столь велики, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет систему тел в процессе их соударения приближенно рассматривать как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами. Наблюдения пока зывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара называется коэффициентом восстановления e:

Если для сталкивающихся тел e = 0, тотакие тела называются абсолютно неупругнмн, если e = 1 — абсолютно упругими. На практике для всех тел 0 < e < 1(например, для стальных шаров e» 0,56, для шаров из слоновой кости e» 0,89, для свинца e» 0). Однако в некоторых случаях тела можно с большой степенью точности рассматривать либо как абсолютно упругие, либо как абсолютно неупругие.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.

Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию (подчеркнем, что это идеализированный случай).

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Обозначим скорости шаров массами m₁ и m₂ до удара через v₁ и v₂, после удара — через v¢₁ и v¢₂ (рис. 18). В случае прямого центрального удара векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное значение припишем движению вправо, отрицательное — движению влево.

 

Рис. 18

 

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид

(15.1) (15.2)

 

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (15.1) и (15.2), получим

(15.3) (15.4) (15.5)

 

Решая уравнения (15.3) и (15.5), находим

(15.6) (15.7)

Разберем несколько примеров.

 

1. При v₂ = 0

(15.8) (15.9)

Проанализируем выражения (15.8) и (15.9) для двух шаров различных масс:

а) m₁ = m₂. Если второй шар до удара висел неподвижно (v₂ = 0) (рис. 19), то после удара остановится первый шар (v¢₁ = 0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (v¢₂=v₁);

Рис. 19

б) m₁ > m₂. Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (v¢₁ < v₁ ). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (v'₂ > v¢₁)(рис. 20);

Рис. 20

 

в) m₁ < m₂. Направление движения первого шара при ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т. е. v'₂ < v₁ (рис. 21);

Рис. 21

 

г) m₂ >> m₁ (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (15.8) и (15.9) следует, что .

 

2. При m₁ = m₂ выражения (15.6) и (15.7) будут иметь вид

т. е. шары равной массы «обмениваются» скоростями.

 

Абсолютов неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 22).

 

Рис. 22

 

Если массы шаров m₁ и m₂, их скорости до удара v₁и v₂, то, используя закон сохранения импульса, можно записать

 

где v — скорость движения шаров после удара.

Тогда

(15.10)

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом. В частном случае, если массы шаров равны (m₁ = m₂), то

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую и другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

Используя (15.10), получаем

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v₂=0), то

Когда m₂ >> m₁ (масса неподвижного тела очень большая), то v << v₁ и почти вся кинетическая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо большей (m₁ >> m₂), тогда v» v₁и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.

Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит «потеря» механической энергии под действием диссипативных сил.

 

Задачи

 

3.1. Определить: 1) работу поднятия груза по наклонной плоскости; 2) среднюю и 3) максимальную мощности подъемного устройства, если масса груза 10 кг, длина наклонной плоскости 2 м, угол ее наклона к горизонту 45°, коэффициент трения 0,1 и время подъема 2 с. [1) 173 Дж; 2) 86 Вт; 3) 173 Вт]

 

3.2. С башни высотой 35 м горизонтально брошен камень массой 0,3 кг. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: 1) скорость, с которой брошен камень, если через 1 с после начала движения его кинетическая энергия 60 Дж; 2) потенциальную энергию камня через 1 с после начала движения. [1) 17,4 м/с; 2) 88,6 Дж]

 

3.3. Пренебрегая трением, определить наименьшую высоту, с которой должна скатываться тележка с человеком по желобу, переходящему в петлю радиусом 10 м, чтобы она сделала полную петлю и не выпала из желоба. [25 м]

 

3.4. Пуля массой m=10 г, летевшая горизонтально со скоростью v=500 м/с, попадает в баллистический маятник длиной l = 1 м и массой М=5 кг и застревает в нем. Определить угол отклонения маятника. [18°30^/]

 

3.5. Зависимость потенциальной энергии частицы в центральном силовом поле от расстояния rдо центра поля задается выражением где А и В — положительные постоянныe. Определить значение г₀, соответствующее равновесному положению частицы. Является ли это положение положением устойчивого равновесия? [г₀ = 2А/Б]

 

3.6. При центральном абсолютно упругом ударе движущееся тело массой m₁ударяется о покоящееся тело массой m₂, в результате чего скорость первого тела уменьшается в n = 1,5 раза. Определить: 1) отношение m₁/m₂; 2) кинетическую энергию Т'₂второго тела, если первоначальная кинетическая энергия первого тела T₁ = 1000 Дж. [1) 5; 2) 555 Дж]

 

3.7. Тело массой m₁ = 4 кг движется со скоростью v₁ =3 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определить количество теплоты, выделившееся при ударе. [9 Дж]

 

Глава 4

Механика твердого тела

 

Момент инерции

 

При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции. Моментом терции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс п материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина rв этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

 

Рис. 23

 

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис. 23). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины drсвнутренним радиусом rи внешним r+dr.Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r²dm(так как dr << r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно г), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем 2prhdr. Если r— плотность материала, то dm = 2prhrdr и dJ = 2phrr³dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра

 

но так как pR²h— объем цилиндра, то его масса m = pR²hr, а момент инерции

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции J_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

(16.1)

В заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).

Таблица 1

 

Тело	Положение оси	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R Сплошной цилиндр или диск радиусом R Прямой тонкий стержень длиной l Прямой тонкий стержень длиной l Шар радиусом R	Ось симметрии   Тоже   Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец Ось проходит через центр шара	тR^2   1/2 тR^2   1/12 ml^2 1/3 ml^2   2/5 тR^2