И фазы вынужденных колебаний

Как видно из (5.42), амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты и при некоторой частоте достигает максимума. Эта частота называется резонансной , а само явление резонансом.

Максимуму амплитуды соответствует минимум знаменателя (5.40), поэтому производная от выражения в знаменателе (5.40) должна быть равна нулю:

. (5.43)

Уравнение (5.43) имеет три решения: , . Нулевое и отрицательное значение не имеют физического смысла, а значит резонансная частота

. (5.44)

Подставив это значение частоты в выражение в (5.40), найдем значение амплитуды при резонансе:

. (5.45)

Зависимость амплитуды колебаний от частоты внешнего воздействия называют резонансной кривой или резонансной характеристикой.

Примерный вид резонансных характеристик колебательной системы, в которой изменяют затухание, показан на рисунке 5.8.

Если в системе отсутствует затухание, т.е. коэффициент затухания , то резонансная амплитуда , а . На рисунке этому условию соответствует кривая 1. Практически такая ситуация не реализуется, но чем меньше затухание, тем ближе резонансная кривая к этому идеальному случаю.

С увеличением затухания резонансная амплитуда уменьшается, резонансная частота в соответствии с (5.43) также уменьшается. Поэтому максимум резонансной кривой становится ниже и смещается влево (кривые 2, 3, 4).

Резонансные характеристики несимметричны: если частота вынуждающей силы стремится к нулю, то все резонансные кривые стремятся к одинаковому значению , соответствующему смещению системы из положения равновесия под действием постоянной силы. При возрастании частоты вынуждающей силы все резонансные кривые стремятся к нулю. Это означает, что под действием быстропеременной силы система не успевает заметно сместиться из положения равновесия и амплитуда колебаний становится незначительной. (Вспомните раскачивание качелей… Приложив постоянную силу определенной величины, мы получим некоторое смещение из положения равновесия. Если с такой же по амплитуде силой пытаться раскачивать качели на максимально доступной частоте – отклонение от положения равновесия будет совсем незначительным.)

Зависимость сдвига фаз между периодическим внешним воздействием и колебаниями, совершаемыми системой, называют фазовой характеристикой системы.

Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы. Примерный вид этой зависимости показан рисунке 5.8. Отметим, что независимо от затухания в системе сдвиг по фазе достигает значение при частоте, равной собственной част оте колебаний системы. Следовательно, эта зависимость может быть использована для определения .

Лекция № 6. ЭЛНЕМЕНТЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКИ

ПОСТУЛАТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.

Для описания движения тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света в пустоте – с –Эйнштейном была разработана релятивистская механика, которая учитывает требования созданной им специальной теории относительности. В основе этой теории лежат два постулата.

Принцип относительности Эйнштейна является распространением механического принципа относительности Галилея на все физические явления и утверждает, что все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отчета. Неизменность вида уравнений при замене в них координат и времени одной инерциальной системы отсчета соответствующими величинами другой, называется инвариантностью уравнений. Поэтому принцип относительности Эйнштейна следует формулировать следующим образом: уравнения законов природы инвариантны по отношению к преобразованиям координат и времени от одной инерциальной системы отчета к другой.

Принцип постоянства скорости света утверждает, что скорость света в пустоте одинакова во всех инерциальных системах отчета и не зависит от движения источников приемников света.

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

Вернемся к рассмотрению двух инерциальных систем отчета и , которые мы ввели при рассмотрении преобразований Галилея. Напомним, что оси и системы параллельны соответствующим осям , оси и системы параллельны соответствующим осям , оси и совпадают по направлению, система движется со скоростью , направленной вдоль оси , относительно , которая.

Из преобразований Галилея следует закон сложения скоростей, согласно которому . Применим этот закон к распространению света. Если в системе вдоль оси распространяется световой сигнал со скоростью с, то в системе его скорость должна быть . Но это противоречит принципу постоянства скорости света с. Следовательно, преобразования Галилея должны быть заменены другими формулами.

Формулы преобразований координат, согласующиеся с принципом постоянства скорости света, нашел Лоренц. Эти формулы называются преобразованиями Лоренца и имеют вид:

; ; ; . (6.1)

Часто встречающееся отношение бывает удобно заманить общепринятым обозначением . В этом случае преобразования Лоренца (6.1) приобретают вид:

; ; ; (6.2)

Обратный переход к координатам системы совершается по формулам:

;; ; (6.3)

Необходимо подчеркнуть две особенности формул преобразований Лоренца. С одной стороны, пространственные координаты и время оказываются взаимосвязанными и рассматриваются в теории относительности как единое четырехмерное пространство-время.

С другой стороны, формулы преобразований Лоренца теряют смысл, если . Эта ихособенность математически отражает тот факт, что скорость движения света в пустоте является предельной скоростью распространения взаимодействий в пространстве. Со скоростью света могут двигаться только особые частицы, такие, как фотоны, обладающие нулевой массой покоя. Для обычных, окружающих нас тел, движение со скоростью невозможно.