Изучение затухающих колебаний

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. Совокупность связанных между собой тел, способных совершать колебания, называют колебательной системой. Рассмотрим простейшую колебательную систему - пружинный маятник (рис. 1). Он представляет собой груз массой , подвешенный на упругой пружине. Будем считать, что масса пружины мала по сравнению с массой груза.

Если первоначальная длина пружины без груза - , то при подвешивании груза она растягивается на величину , называемую статическим удлинением пружины. Когда маятник находится в состоянии равновесия, вес груза уравновешивается силой упругости пружины:

, (1),

что дает возможность определить жесткость пружины статическим методом.

Выведем груз из положения равновесия вниз на расстояние, равное x. Если при этом удлинение пружины не слишком велико и выполняется закон Гука, то результирующая сила, действующая на груз, находящийся в этом положении, будет равна:

или с учетом соотношения (1):

. (2)

Знак минус указывает на то, что смещение и сила имеют противоположные направления.

Таким образом, результирующая сила при смещении груза из положения равновесия пропорциональна величине смещения и всегда направлена к положению равновесия. Так как эта сила стремится возвратить груз в положение равновесия, то ее называют возвращающей силой, а коэффициент пропорциональности в (2),соответствующий величине силы, вызывающей единичную деформацию, коэффициентом возвращающей силы или жесткости пружины. Очевидно, что в пружинном маятнике роль возвращающей силы играет сила упругости. Отметим, что если силы, действующие в системе, по своей природе не являются упругими, но описываются уравнением (2), то они называются квазиупругими силами. Колебания, совершающиеся под действием только упругих или квазиупругих сил, называются собственными колебаниями.

Если груз, выведенный из положения равновесия на небольшое расстояние , отпустить, то он будет совершать колебания в вертикальной плоскости. За малый промежуток времени (порядка нескольких секунд) работа сил сопротивления невелика, поэтому уменьшением амплитуды колебаний можно пренебречь и считать, что маятник совершает собственные колебания с периодом - минимальный промежуток времени, в течение которого колебания повторяются. Если полных колебаний совершается за время , то период

.

Движение груза описывается, согласно второму закону Ньютона, следующим соотношением:

(3)

или (4)

где

(5)

- собственная угловая (циклическая) частота системы – число колебаний за 2 p с. Уравнение (4) - дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решение которого представляется гармонической функцией:

, (6)

определяющей смещение x от положения равновесия как функцию времени. Здесь - амплитуда колебаний или модуль максимального отклонения тела от положения равновесия. Так как:

,

то из (5)следует:

,

тогда коэффициент жесткости пружины динамическим методом определяется по формуле:

. (7)

Если время, в течение которого совершаются колебания, велико по сравнению с периодом колебаний, то на движение колеблющегося груза существенным образом будет сказываться действие сопротивления воздуха, вследствие чего амплитуда колебаний будет со временем уменьшаться. Такие колебания называются затухающими.

При сравнительно малых скоростях можно считать сопротивление прямо пропорциональным скорости движения колеблющегося тела:

.

Знак «минус» указывает на то, что сила сопротивления (трения) направлена против смещения, а величина представляет собой коэффициент сопротивления движению маятника. Поэтому для затухающих колебаний уравнение движения груза будет иметь вид:

. (8)

Это уравнение приводится к виду:

, (9)

где d - коэффициент затухания, равный

. (9’)

Уравнение (9) есть дифференциальное уравнение затухающих колебаний, при которых коэффициент затухания меньше собственной циклической частоты:

.

Решение уравнения (9) имеет вид:

, (10)

где - круговая частота свободных (затухающих) колебаний, равная:

. (11)

Таким образом, частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний системы.

Согласно (10) амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону:

, (12)

где - начальная амплитуда колебаний, - амплитуда колебаний в момент времени .

Отношение двух амплитуд, отстоящих на период, называют декрементом затухания:

.

Натуральный логарифм отношения этих амплитуд называют логарифмическим декрементом затухания:

. (13)

Для повышения точности измерения логарифмического декремента затухания обычно измеряют амплитуды колебаний, следующих друг за другом через колебаний. В этом случае время колебаний и

,

тогда:

, и . (14)

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА. Экспериментальная установка состоит из пружинного маятника и шкалы, по которой отсчитывается амплитуда колебания груза (рис. 1). Для исключения параллакса шкала снабжена зеркалом. Глаз при отсчете положения груза следует располагать так, чтобы изображение указателя положения груза в зеркале совпадало с самим указателем.

ЗАДАНИЕ. 1. Для определения жесткости пружины статическим методом следует измерить по шкале удлинение пружины при подвешивании к ней добавочного груза известной массы. Расчет жесткости производится согласно формуле:

.

2. Сняв добавочный груз, следует оттянуть основной груз на 3-4 см вниз и, измерив время 50 полных колебаний, определить период колебаний маятника. Измерения повторить не менее трех раз и результат их усреднить.

3. Воспользовавшись соотношением (7), рассчитать жесткость пружины динамическим методом и сравнить ее значение с полученным ранее статическим методом.

4. Оттянуть груз на 6-8 см вниз от положения равновесия и, удерживая его в этом положении, измерить начальную амплитуду колебаний А₀. Оттянуть груз и одновременно включить секундомер. Измерить промежуток времени, в течение которого совершится 150 полных колебаний, а также амплитуду последнего колебания А_n. Рассчитать логарифмический декремент затухания согласно формуле (14) и коэффициент затухания согласно формуле (13).

5. Зная массу колеблющегося груза и коэффициент затухания, рассчитать коэффициент сопротивления, используя формулу (9’).

6. Оценить погрешность измерений.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Часть 1. м/с².

№	D , кг	, м	, Н/м

Часть 2. м/с², n =50,

№	, с	, Н/м

Часть 3. м/c²,

№	, см	, см	, с			. кг/c

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11-Бм