Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Математика

Программа и контрольные задания

для студентов I и II курсов заочной формы обучения

всех специальностей

Екатеринбург

УДК 51.(075.8)

Составители В.Б.Грахов, Р.М.Минькова, В.Б.Соловьянов

Научный редактор доц., канд. техн. наук В.А.Нырко

Математика: программа и контрольные задания / В.Б.Грахов, М.Минькова, В.Б.Соловьянов. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. 40 с.

Приведённый в работе материал и задания к нему распределены по семестрам, в соответствии со специальностями и учебными графиками, утверждёнными в УГТУ-УПИ. Предназначена для студентов I и II курсов заочной формы обучения всех специальностей.

Библиогр.: 21 назв. Табл. 6.

Подготовлено кафедрой «Вычислительные методы и уравнения математической физики».

© ГОУ ВПО «Уральский государственный

технический университет-УПИ», 2005

Введение

В настоящих методических указаниях приведена программа и контрольные задания по математике для студентов заочной формы обучения УГТУ-УПИ. В процессе изучения курса математики студент должен выполнить в каждом семестре 2 контрольные работы. Номер варианта определяется по последней цифре номера студенческого билета или зачётной книжки. Так, например, если этот номер заканчивается цифрой 5, то в контрольной работе № 1 нужно решить задачи 5, 15, 25, 35.

При выполнении контрольных работ нужно придерживаться следующих правил.

1. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради,

оставляя поля для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради необходимо указать: а) свою фамилию и инициалы;

б) специальность обучения; в) номер зачётной книжки; г) название дисциплины; д) номер контрольной работы.

3. В контрольную работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, и в строгом соответствии с номером своего варианта.

4. Решения задач в каждой контрольной работе следует располагать обязательно в порядке номеров, указанных в задании. Перед решением каждой задачи необходимо выписать полностью её условие.

5. Решения задач должны содержать подробные пояснения и необходимые чертежи.

6. После получения прорецензированной работы студент должен исправить все отмеченные рецензентом замечания и недочёты, а также выполнить все его рекомендации. Все исправления нужно записывать в этой же тетради после всех решённых задач контрольной работы. Вносить исправления в тексты решения задач после рецензирования запрещается. Незачтённую контрольную работу с последующими соответствующими исправлениями следует направить на повторную рецензию.

7. Контрольные работы в каждом семестре должны быть представлены для рецензирования не позднее чем за 2 недели до начала экзаменационной сессии. Рецензирование контрольных работ, присланных позже указанного срока, переносится на начало следующего семестра.

Прорецензированные и зачтённые контрольные работы студент должен предъявлять экзаменатору перед сдачей зачёта или экзамена.

Во время сдачи зачёта или экзамена студент должен показать понимание основных теоретических и практических вопросов программы и умение применять их в решении задач и примеров. Определения, теоремы и правила должны формулироваться точно и с пониманием существа вопросов.

Во время экзаменационных сессий для студентов-заочников организуются обзорные лекции и практические занятия по программам предыдущего семестра, а также установочные лекции по программам следующего семестра.

В межсессионный период по субботам проводятся просмотры лекций по телевидению, а каждую чётную субботу – консультации, приём зачётов и экзаменов. Информация о датах и времени их проведения вывешивается на кафедральном стенде после окончания экзаменационной сессии.

I семестр

Программа

Введение в математический анализ

1. Определение предела функции в точке, в бесконечности. Предел последовательности как частный случай предела функции. Односторонние пределы функции. Основные теоремы о пределе функции.

2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства; связь бесконечно больших функций с бесконечно малыми. Сравнение бесконечно малых.

3. Отыскание предела отношения двух многочленов при . Первый и второй замечательный пределы.

4. Функции, непрерывные в точке, и их свойства. Точки разрыва функции и их классификация.

5. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства.

II семестр

Программа

Дифференциальные уравнения

1. Понятие дифференциального уравнения и его решения. Уравнение первого порядка вида : постановка задачи Коши, понятие общего и частного решений (интегралов).

2. Решение дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородных, линейных.

3. Дифференциальные уравнения высших порядков: постановка задачи Коши, понятие общего и частного решений (интегралов). Методы понижения порядка уравнений вида , , .

4. Однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ): свойства решений, структура общего решения. ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами: его характеристическое уравнение, вид общего решения в случае, когда корни характеристического уравнения а) действительные различные, б) действительные равные, в) комплексные. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение (НЛДУ): структура общего решения, теорема о суперпозиции двух решений. Отыскание решений НЛДУ с постоянными коэффициентами с правой частью вида , (метод неопределенных коэффициентов).

III семестр

Для студентов всех специальностей, кроме экономических, гуманитарных

и физической культуры

Программа

Теория векторного поля

1. Понятие векторного поля. Векторные линии и их дифференциальные уравнения. Вычисление потока жидкости. Поток произвольного векторного поля и его вычисление. Формула Остроградского для вычисления потока поля через замкнутую поверхность. Понятие дивергенции, её инвариантное определение и физический смысл.

2. Вычисление работы силового поля. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля. Векторная и координатная форма записи линейного интеграла поля и его вычисление. Формула Грина и формула Стокса для вычисления циркуляции. Понятие ротора и его физический смысл в поле линейных скоростей вращающегося тела.

3. Условия независимости линейного интеграла поля от формы пути интегрирования. Потенциальное поле и его свойства. Отыскание потенциала.

Номера контрольных работ, которые необходимо выполнить студентам всех специальностей, кроме экономических, гуманитарных и физической культуры, в третьем семестре, и номера задач соответствующих вариантов представлены в табл. 3.

Таблица 3

III семестр

Для студентов специальностей экономических, гуманитарных

и физической культуры

Программа

Дифференциальное и интегральное исчисление
функции нескольких переменных

1. Определение и отыскание частных производных. Определение дифференцируемой функции. Дифференциалы первого и второго порядков. Понятие сложной функции и ее дифференцирование. Неявные функции и их дифференцирование. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, их уравнения.

2. Безусловный экстремум функции. Глобальный экстремум функции в замкнутой ограниченной области. Условный экстремум функции.

3. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная скалярного поля по направлению, формула для её вычисления. Градиент скалярного поля и его свойства.

4. Задача отыскания массы плоской фигуры. Понятие двойного интеграла, его свойства и применения. Вычисление двойного интеграла в прямоугольной системе координат.

IV семестр

Для студентов всех специальностей, кроме экономических, гуманитарных

и физической культуры

Программа

Элементы линейной алгебры

1. Понятие матрицы. Частные виды матрицы. Понятие определителя квадратной матрицы. Свойства определителей.

2. Линейные операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число. Умножение матриц. Понятие обратной матрицы, условие её существования. Решение матричных уравнений с квадратной невырожденной матрицей.

3. Система линейных уравнений: понятие её решения, матричная форма записи. Решение линейной системы с квадратной невырожденной матрицей по формулам Крамера. Решение линейной системы методом Гаусса. Однородная система линейных уравнений и ее решение. Применение метода Гаусса для отыскания обратной матрицы.

4. Понятие линейного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов (векторов). Понятие базиса и размерности линейного пространства. Координаты элемента (вектора) в данном базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому; связь координат вектора в различных базисах.

5. Понятие линейного оператора (отображения). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Изменение матрицы оператора при замене базиса.

6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства и способ отыскания.

7. Понятие квадратичной формы. Приведение её к каноническому виду.

8. Системы дифференциальных уравнений, их решение методом исключения и методом собственных векторов. Понятие устойчивости решения системы. Исследование устойчивости с помощью собственных значений.

И операционное исчисление

Для студентов радиотехнических и электротехнических специальностей

1. Понятие функции комплексной переменной. Определение функций , , ; связь между этими функциями. Свойства функций , , . Гиперболические функции и их свойства. Логарифмическая функция и её свойства.

2. Предел, непрерывность, дифференцируемость функции комплексной переменной. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости (условия Коши-Римана). Производные основных элементарных функций. Аналитические функции и их свойства.

3. Интеграл от функции комплексной переменной, его свойства. Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной областей.

4.Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки функции и их классификация. Ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки. Понятие вычета функции в особой точке и его вычисление. Применение вычетов к вычислению интеграла по замкнутому контуру.

5. Преобразование Лапласа. Основные свойства оригиналов и изображений. Изображение основных элементарных функций. Восстановление оригинала по его изображению. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений.

Номера контрольных работ, которые необходимо выполнить студентам всех специальностей, кроме экономических, гуманитарных и физической культуры, в четвёртом семестре, и номера задач соответствующих вариантов представлены в табл. 5.

Таблица 5

Номер варианта	Контрольная работа № 7 Номера задач	Контрольная работа № 8 Номера задач
	281 291 301 311 321 331	241 251 261 271
	282 292 302 312 322 332	242 252 262 272
	283 293 303 313 323 333	243 253 263 273
	284 294 304 314 324 334	244 254 264 274
	285 295 305 315 325 335	245 255 265 275
	286 296 306 316 326 336	246 256 266 276
	287 297 307 317 327 337	247 257 267 277
	288 298 308 318 328 338	248 258 268 278
	289 299 309 319 329 339	249 259 269 279
	290 300 310 320 330 340	250 260 270 280

*Номера задач в контрольной № 7 только для студентов радиотехнических

и электротехнических специальностей.

IV семестр

Для студентов специальностей экономических, гуманитарных

и физической культуры

Элементы линейной алгебры

1. Понятие матрицы. Частные виды матрицы. Понятие определителя квадратной матрицы. Свойства определителей.

2. Линейные операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число. Умножение матриц. Понятие обратной матрицы, условие её существования. Решение матричных уравнений с квадратной невырожденной матрицей.

3. Система линейных уравнений: понятие её решения, матричная форма записи. Решение линейной системы с квадратной невырожденной матрицей по формулам Крамера. Решение линейной системы методом Гаусса. Однородная система линейных уравнений и ее решение. Применение метода Гаусса для отыскания обратной матрицы.

4. Понятие линейного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов (векторов). Понятие базиса и размерности линейного пространства. Координаты элемента (вектора) в данном базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому; связь координат вектора в различных базисах.

5. Понятие линейного оператора (отображения). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Изменение матрицы оператора при замене базиса.

6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства и способ отыскания.

7. Понятие квадратичной формы. Приведение её к каноническому виду.

Линейное программирование

1. Экономико-математические модели. Задачи о рентабельности производства, о смесях, о раскрое материалов, о размещении заказа, об использовании мощностей. Транспортная задача.

2. Общая задача линейного программирования (ЗЛП): основные понятия. Различные формы записи ЗЛП. Приведение ЗЛП к каноническому виду.

3. Выпуклые множества точек: основные понятия. Выпуклые множества в мерном пространстве. Геометрическая интерпретация ЗЛП. Свойства решений ЗЛП.

4. Графическое решение ЗЛП: постановка и алгоритм графического метода решения ЗЛП.

5. Системы линейных уравнений: элементарные преобразования системы, метод Жордана-Гаусса и его алгоритм. Неотрицательное базисное решение. Операция однократного замещения.

6. Симплексный метод решения ЗЛП: геометрическая интерпретация, симплексные таблицы и их заполнение. Теоретическое обоснование симплексного метода: теоремы, лежащие в основе этого метода. Алгоритм симплексного метода. Метод искусственного базиса и особенности его алгоритма.

7. Теория двойственности. Задача использования сырья. Виды двойственных задач. Правила составления двойственных задач. Теоремы двойственности. Связь между решениями взаимно-двойственных задач.

8. Транспортная задача. Общая постановка задачи. Закрытая и открытая задачи. Обоснование решения транспортной задачи. Нахождения первоначального опорного плана: метод северо-западного угла, метод минимальной стоимости. Метод потенциалов. Критерий оптимальности решения транспортной задачи. Алгоритм метода потенциалов.

Номера контрольных работ, которые необходимо выполнить студентам специальностей экономических, гуманитарных и физической культуры, в четвёртом семестре, и номера задач соответствующих вариантов представлены

в табл. 6.

Таблица 6

Контрольные задания

1–10. Даны координаты вершин пирамиды А ₁ А ₂ А ₃ А ₄. Найти: 1) уравнение прямой, на которой лежит ребро А ₁ А ₂; 2) уравнение плоскости, на которой лежит грань А ₁ А ₂ А ₃; 3) угол между ребром А ₁ А ₄ и гранью А ₁ А ₂ А ₃; 4) площадь грани А ₁ А ₂ А ₃; 5) объём пирамиды.

1. А ₁(7, 7, 6), А ₂(5, 10, 6), А ₃(5, 7, 12), А ₄(7, 10, 4).

2. А ₁(6, 1, 1), А ₂(4, 6, 6), А ₃(4, 2, 0), А ₄(1, 2, 6).

3. А ₁(8, 7, 5), А ₂(10, 6, 6), А ₃(5, 7, 9), А ₄(8, 11, 8).

4. А ₁(7, 7, 3), А ₂(6, 5, 8), А ₃(3, 5, 8), А ₄(8, 4, 1).

5. А ₁(4, 2, 5), А ₂(0, 7, 2), А ₃(0, 2, 7), А ₄(1, 5, 0).

6. А ₁(4, 4, 10), А ₂(4, 10, 2), А ₃(2, 8, 4), А ₄(9, 8, 9).

7. А ₁(4, 6, 5), А ₂(6, 9, 4), А ₃(2, 10, 10), А ₄(7, 5, 9).

8. А ₁(3, 5, 4), А ₂(8, 7, 4), А ₃(5, 10, 4), А ₄(4, 7, 8).

9. А ₁(10, 6, 6), А ₂(-2, 8, 2), А ₃(6, 8, 9), А ₄(7, 10, 3).

10. А ₁(2, 9, 3), А ₂(6, 3, 7), А ₃(6, 8, 5), А ₄(5, 11, 10).

11–20. Установить, какие линии определяются данными уравнениями. Изобразить линии на чертеже.

11. а) , б) .

12. а) , б) .

13. а) , б) .

14. а) , б) .

15. а) , б) .

16. а) , б) .

17. а) , б) .

18. а) , б) .

19. а) , б) .

20. а) , б) .

21–30. 1) Записать число в алгебраической форме; 2) изобразить его на координатной плоскости; 3) записать число в тригонометрической и показательной формах; 4) вычислить ; 5) найти все корни уравнения .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .

31–40. Найти пределы, используя замечательные пределы и эквивалентные бесконечно малые функции.

31. а) , б) . 32. а) , б) .

33. а) , б) . 34. а) , б) .

35. а) , б) . 36.а) ,б) .

37. а) , б) . 38. а) , б) .

39. а) , б) . 40. а) , б) .

41–50. Дано уравнение кривой, точка и уравнение прямой . Требуется: 1) составить уравнения касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой ; 2) найти точку на кривой , в которой касательная параллельна прямой .

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51–60. Найти производные данных функций.

51. а) , б)

52. а) , б) .

53. а) , б) .

54. а) , б) .

55. а) , б) .

56. а) , б) .

57. а) , б) .

58. а) , б) .

59. а) , б) .

60. а) , б) .

61–70. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

61. а) б)

62. а) б)

63. а) б)

64. а) б)

65. а) б)

66. а) б)

67. а) б)

68. а) б)

69. а) б)

70. а) б)

71–80. Исследовать функции с помощью производных первого и второго порядков. Найти асимптоты. Построить графики функций.

71. а) , б) . 72. а) , б) .

73. а) , б) . 74. а) , б) .

75. а) , б) . 76. а) , б) .

77. а) , б) . 78. а) , б) .

79. а) , б) . 80. а) , б) .

81–90. Найти неопределённые интегралы.

81. а) , б) , в) , г) .

82. а) , б) , в) , г) .

83. а) , б) , в) , г) .

84. а) , б) , в) , г) .

85. а) , б) , в) , г) .

86. а) , б) , в) , г) .

87. а) , б) , в) , г) .

88. а) , б) , в) , г) .

89. а) , б) , в) , г) .

90. а) , б) , в) , г) .

91–100. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

91. . 92. . 93. . 94. . 95. . 96. . 97. . 98. . 99. . 100. .

101–110. Найти общие решения дифференциальных уравнений.

101. а) , б) . 102. а) , б) .

103. а) , б) . 104. а) , б) .

105. а) , б) . 106. а) , б) .

107. а) , б) . 108. а) , б) .

109. а) , б) . 110. а) , б) .

111–120. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения.

111. . 112. .

113. . 114. .

115. . 116. .

117. . 118. .

119. . 120. .

121–130. Исследовать сходимость числового ряда.

121. . 122. . 123. . 124. .

125. . 126. . 127. . 128. .

129. . 130. .

131–140. Найти область сходимости степенного ряда.

131. . 132. . 133. . 134. .

135. . 136. . 137. . 138. .

139. . 140.

141–150. Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

141. . 142. . 143. . 144. .

145. . 146. . 147. . 148. .

149. . 150. .

151–160. Найти точки экстремума функции .

151. . 152. .

153. . 154. .

155. . 156. .

157. . 158. .

159. . 160.