Винтовые потоки (течения Бельтрами).

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Геофизическая гидродинамика»

на тему:

«Анализ винтовых потоков в атмосфере Земли»

 

 

Выполнил:

Кравцова А.С.

студент 4 курса

группы «ФИЗ-б-о-111»

направления (специальности)

Физика

очной формы обучения

________________________

(подпись)

 

Руководитель работы:

Шевченко А. И.

доцент кафедры теоретической физики

 

Работа допущена к защите _______________________ ______________

(подпись руководителя) (дата)

 

Работа выполнена и

защищена с оценкой _________________________ Дата защиты______________

 

Члены комиссии: зав.каф. тер.физики __________ Волкова В.И.

доцент каф. тер.физики __________ Шевченко А.И.

доцент каф. тер.физики __________ Смерек Ю.Л.

доцент каф. тер.физики __________ Кульгина Л.М.

 

Ставрополь, 2014 г.

Содержание

Содержание………………………………………………………………………..2

Введение…………………………………………………………………………...3

1. Винтовые потоки (течения Бельтрами)……………………………………….4

1.1. Двумерные течения………………………………………………………..6

1.2. Одномерные течения…………………………………………………...…7

2. Исходные уравнения………………………………………………………….10

3. Уравнения для винтовых течений в декартовых, круговых цилиндрических и сферических координатах……………………………………………………..15

3.1. Декартовы и круговые цилиндрические координаты…………………15

3.2. Сферические координаты……………………………………………….17

4. Винтовые течения в сферических координатах при наличии осевой симметрии………………………………………………………………………..20

5. Поверхности тока вихрей первой и второй степени………………………..24

6. Винтовые потоки с винтовой симметрией поля течения…………………..27

Заключение……………………………………………………………………….29

Список используемой литературы……………………………………………...30

 

 

Введение.

Основы теории винтовых потоков были заложены в 1881 г. И.С. Громекой в его малоизвестной диссертации "Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости" и независимо в 1889 г. в более известной работе итальянского математика Бельтрами (по этой причине винтовые потоки известны еще как течения Бельтрами).

Цель: Изучить винтовые потоки в атмосфере Земли.

Задачи:

· Рассмотреть винтовые потоки (течения Бельтрами);

· Изучить исходные уравнения;

· Рассмотреть уравнения для винтовых течений в декартовых, круговых цилиндрических и сферических координатах;

· Рассмотреть винтовые течения в сферических координатах при наличии осевой симметрии;

· Изучить поверхности тока вихрей первой и второй степени;

· Изучить винтовые потоки с винтовой симметрией поля течения.

·

Двумерные течения.

В общем случае в каждый момент времени поле скоростей потока жидкости определяется тремя функциями - - компонентами вектора скорости в некоторой криволинейной системе координат .

Поток, который может быть отнесен к такой координатной системе, что-бы все три компоненты скорости - - в каждый момент времени являлись функциями только двух координат - - и не зависели от третьей — , т.е.

будем называть двумерным. Геометрически это означает, что на всех координатных поверхностях поле скоростей строится одинаковым образом. Иначе говоря,

Отсюда вытекает, что якобиан от составляющих скорости по координатам

тождественно равен нулю

Следовательно, между функциями должно существовать соотношение, не зависящее от координат , т.е. при двумерном движении имеет место функциональная зависимость

которая позволяет одновременно с уменьшением числа переменных в уравнениях движения сократить число уравнений в системе.

Одномерные течения.

По аналогии с двумерными течениями одномерными потоками назовем течения, которые могут быть отнесены к такой координатной системе, в которой компоненты скорости будут функциями одной координаты ,

Очевидно, что все рассмотренные примеры двумерных течений в предположении (1.4) могут быть существенно упрощены. Из всего множества возможных случаев перехода от двумерных потоков к одномерным ограничимся рассмотрением двух важных примеров с постоянным распределением завихренности.

 

1. Пусть скорость плоскопараллельного установившегося течения в инерциальной системе координат имеет только одну составляющую вдоль оси и она будет функцией только одной координаты . Тогда имеем

Отсюда , где - скорость на оси . Следовательно, рассматриваемое течение обладает скоростью, которая по линейному закону меняется вдоль оси . Функция тока такого течения имеет вид

Это течение изображено на рис. 1.8 и называется сдвиговым течением. В частном случае () все частицы жидкости движутся с одинаковыми постоянными скоростями . Такое движение называется однородным.

2. Пусть имеется установившееся течение с постоянной величиной завихренности, которое в цилиндрической системе координат имеет только одну окружную составляющую , зависящую от радиальной координаты . Записав в цилиндрической системе координат, с учетом сделанных предположений получим

После интегрирования находим

Для течений с ограниченными скоростями константу следует положить равной нулю. Линиями тока такого течения являются концентрические окружности (на схеме квазитвердого вращения жидкости), а окружная скорость меняется по линейному закону вдоль радиуса. Такое течение обычно называют квазитвердым вращением.

Исходные уравнения.

Система уравнений идеального изотермического газа применительно к атмосфере Земли в пренебрежении центробежной силой имеет следующий вид:

где - скорость; – ее модуль; – давление; - плотность; - плотность атмосферы у Земли; - единичный вектор вдоль оси вращения. Рассмотрение проводится в ортогональной системе координат .

Пусть течения однородные винтовые:

Здесь – параметр спиральности. Отметим, что уравнение неразрывности (2.2) является следствием уравнения (2.4). Действительно, применяя к левой и правой частям соотношения (2.4) операцию дивергенции, приходим к уравнению (2.2). С учетом уравнения (2.4) из уравнения движения (2.1) следует

Решая уравнение (5) относительно плотности, запишем

Как известно, для стандартной атмосферы в ее 70 - километровом (по толщине) слое абсолютная температура отличается от ее среднего значения не более, чем на 5 %</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> . Далее примем для температуры , входящей в вышеприведенные соотношения, среднее значение температуры стандартной атмосферы по указанному слою, Наибольшие скорости, отмеченные в сильных циклонах, не превышают Поэтому выполнено неравенство

Следовательно, в выражении (2.6) множитель, включающий скорость, весьма мало отличается от единицы. В результате с погрешностью, не превышающей даже при , запишем

Полагая, найдем. В результате будем иметь

С учетом выражения (2.9) уравнениям (2.2) и (2.4) придадим следующий вид:

Положим

где – частное решение неоднородного уравнения (2.11). Подставляя (2.12) в уравнение (2.11), приходим к однородному уравнению для определения величины

Дальнейшее рассмотрение проведем в ортогональной системе координат коэффициенты Ламе которой удовлетворяют условиям:

В работах при изучении однородных винтовых течений жидкости постоянной плотности () был введен следующий обобщенный потенциал S:

Здесь – оператор Лапласа; – орт, касательный координатной линии ; – заданная функция своего аргумента, выбираемая из соображения удобства. При этом рассмотрение также проводилось в ортогональной системе координат, коэффициенты Ламе которой удовлетворяют условиям (2.14).

Обобщая представление (2.15), будем разыскивать решение уравнения (2.13) в виде

где – обобщенный потенциал; величины – пока произвольные функции своего аргумента. Подставим выражение (2.16) для величины в уравнение (213). В результате запишем:

Здесь штрих означает дифференцирование соответствующей величины по своему аргументу. Приравнивая в соотношении (2.17) нулю коэффициенты при и () под знаком градиента, коэффициент при под знаком ротора и множитель при в последнем слагаемом, соответственно запишем:

Далее для простоты положим

s New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>=1. (2.22)</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Тогда из соотношений (2.18) – (2.20) следует

Учтем выражения (2.22) – (2.25) в уравнении (2.21) и введем новый обобщенный потенциал следующим образом:

Здесь величина играет ту же роль, что и в соотношениях (2.15). В результате придeм к следующему уравнению:

Учитывая соотношения (1.22) – (1.26) в выражении для скорости (2.16), запишем

Таким образом, задача решения уравнения (2.13) в ортогональных координатах (2.14) сведена к линейному однородному дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка (2.27), служащему для определения обобщенного потенциала S. Если этот обобщенный потенциал найден, то поле скорости определим с помощью выражения (2.28).

Отметим, что среди приведенных в курсе ортогональных координатных систем, в которых переменные в уравнении (2.27) разделяются, условиям (2.14) удовлетворяют прямоугольная система , три цилиндрических (круговая, эллиптическая и параболическая; ), а также сферическая и коническая системы

В указанных прямоугольных и трех цилиндрических системах координат удобно положить . В результате уравнение (2.27) принимает вид:

Здесь – оператор Лапласа. В случае сферической и конической систем координат удобно положить . В результате уравнение (2.27) принимает вид:

В пренебрежении силой Кориолиса рассмотрим потенциальные течения

Учитывая выражение (2.31) в уравнении неразрывности (2.10), получим следующее уравнение для потенциала Φ

Отметим, что в случае потенциальных течений выполнение условий (2.14) не обязательно.

Pассмотрение проводилось в предположении, что температура T атмосферы не зависит от высоты ( Это предположение является приближенным. Oтметим, что модели неизотермической атмосферы рассматривались в cравнительно недавней работе.

 

Сферические координаты.

В сферических координатах для плотности ρ справедливо выражение

Здесь радиус Земли, величина α0 определяется согласно выражения (3.1). Принимая естественное допущение, из (2.11) и (3.7) приближенно получаем

Учитывая, что толщина атмосферного слоя во много раз меньше радиуса Земли, будем считать выполненным неравенство

Используя малость параметра , можем пренебречь соответствующими слагаемыми в уравнении (2.30). Переходя затем в получившемся уравнении от независимых переменных к независимым переменным и используя также малость параметра , приходим к следующему уравнению:

Подставляя выражение (3.8) для величины β в соотношение (2.28), при с учетом малости параметров и получаем

Найдем частное решение неоднородного уравнения (2.11) в сферических координатах. В предположении азимутальной симметрии s w:val="28"/></w:rPr><m:t>в?‚П†</m:t></m:r></m:den></m:f><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>=0</m:t></m:r></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> с учетом малости параметров и из него следует

g w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>ОІ</m:t></m:r></m:den></m:f><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>,</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Исключая из третьего уравнения (3.11) меридиальную компоненту скорости с помощью второго уравнения, получаем следующее уравнение для определения азимутальной компоненты:

Учитывая в уравнении (3.12) выражение (3.8) для ,находим

Частное решение неоднородного уравнения (3.13) разыскиваем в виде

В результате для функции из запишем уравнение

Частное решение неоднородного уравнения (3.15) имеет вид

В результате на основе соотношений (3.11), (3.14) и (3.16) получаем следующие выражения для компонент скорости в частном решении неоднородного уравнения (2.11)

Заключение.

Данная курсовая работа посвящена анализу винтовых потов в атмосфере Земли. Основной целью моей работы является изучение винтовых потоков в атмосфере Земли. Поставленные мною задачи:

· рассмотреть винтовые потоки (течения Бельтрами);

· изучить исходные уравнения;

· рассмотреть уравнения для винтовых течений в декартовых, круговых цилиндрических и сферических координатах;

· рассмотреть винтовые течения в сферических координатах при наличии осевой симметрии;

· изучить поверхности тока вихрей первой и второй степени;

· изучить винтовые потоки с винтовой симметрией поля течения;

были полностью достигнуты при ее написании.

Список используемой литературы.

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Геофизическая гидродинамика»

на тему:

«Анализ винтовых потоков в атмосфере Земли»

 

 

Выполнил:

Кравцова А.С.

студент 4 курса

группы «ФИЗ-б-о-111»

направления (специальности)

Физика

очной формы обучения

________________________

(подпись)

 

Руководитель работы:

Шевченко А. И.

доцент кафедры теоретической физики

 

Работа допущена к защите _______________________ ______________

(подпись руководителя) (дата)

 

Работа выполнена и

защищена с оценкой _________________________ Дата защиты______________

 

Члены комиссии: зав.каф. тер.физики __________ Волкова В.И.

доцент каф. тер.физики __________ Шевченко А.И.

доцент каф. тер.физики __________ Смерек Ю.Л.

доцент каф. тер.физики __________ Кульгина Л.М.

 

Ставрополь, 2014 г.

Содержание

Содержание………………………………………………………………………..2

Введение…………………………………………………………………………...3

1. Винтовые потоки (течения Бельтрами)……………………………………….4

1.1. Двумерные течения………………………………………………………..6

1.2. Одномерные течения…………………………………………………...…7

2. Исходные уравнения………………………………………………………….10

3. Уравнения для винтовых течений в декартовых, круговых цилиндрических и сферических координатах……………………………………………………..15

3.1. Декартовы и круговые цилиндрические координаты…………………15

3.2. Сферические координаты……………………………………………….17

4. Винтовые течения в сферических координатах при наличии осевой симметрии………………………………………………………………………..20

5. Поверхности тока вихрей первой и второй степени………………………..24

6. Винтовые потоки с винтовой симметрией поля течения…………………..27

Заключение……………………………………………………………………….29

Список используемой литературы……………………………………………...30

 

 

Введение.

Основы теории винтовых потоков были заложены в 1881 г. И.С. Громекой в его малоизвестной диссертации "Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости" и независимо в 1889 г. в более известной работе итальянского математика Бельтрами (по этой причине винтовые потоки известны еще как течения Бельтрами).

Цель: Изучить винтовые потоки в атмосфере Земли.

Задачи:

· Рассмотреть винтовые потоки (течения Бельтрами);

· Изучить исходные уравнения;

· Рассмотреть уравнения для винтовых течений в декартовых, круговых цилиндрических и сферических координатах;

· Рассмотреть винтовые течения в сферических координатах при наличии осевой симметрии;

· Изучить поверхности тока вихрей первой и второй степени;

· Изучить винтовые потоки с винтовой симметрией поля течения.

·

Винтовые потоки (течения Бельтрами).

Винтовое движение является важным частным случаем завихренного установившегося движения идеальной жидкости, когда вихревые линии совпадают с линиями тока (кинематическое условие). Эквивалентное энергетическое условие заключается в том, что механическая энергия постоянна во всей массе движущейся жидкости, т.е. теорема Бернулли справедлива для всего потока в целом. В общем случае стационарного вихревого движения невязкой жидкости частицы, движущиеся по разным линиям тока, обладают неодинаковым количеством энергии, т.е. постоянная Бернулли имеет различные значения на разных линиях тока. Вместе с тем вдоль каждой линии тока количество энергии остается одинаковым, т.е. константа Бернулли сохраняется. Если все линии тока будут начинаться в области, где жидкость покоится или движется поступательно с одинаковыми скоростями, то и во всем остальном пространстве вследствие сохранения константы Бернулли вдоль линий тока количество энергии всех частиц будет одинаковым, т.е. поток будет либо потенциальным, либо винтовым. Важными примерами таких движений может стать образование закрученного течения при истечении струи из сосуда с покоящейся жидкостью или возникновение за изгибами русел и после поворотов в трубах циркуляционного движения в изначально равномерном потоке. Однако при применении модели винтовых течений даже в таких очевидных примерах следует помнить о том, что эти рассуждения справедливы только в рамках установившихся движений идеальной жидкости и остаются в силе только при таких режимах течений, где вязкость жидкости и нестационарность движения играют незначительную роль.

Кинематическое условие винтового движения может быть выражено

следующим образом:

причем в общем случае . может быть произвольной функцией координат

Если , то винтовой поток называют однородным, в противном случае - неоднородным. Умножив обе части уравнения (1.1) скалярно на и

воспользовавшись соотношениями

Найдем , где - единичный вектор, коллинеарный вектору

скорости.

Одно интересное свойство винтового потока сжимаемой невязкой жидкости следует из уравнения (1.1), если к его обеим частям применить операцию . Тогда получим

, так как .

Подставив сюда выражение для из уравнения неразрывности, найдем

Это означает, что вдоль линии тока отношение . Для несжимаемой жидкости отсюда как частный случай вытекает результат: линии тока располагаются на поверхностях .

Для однородного винтового потока с соленоидальным полем скорости

И.С. Громека получил, что вектор скорости и должен удовлетворять векторному уравнению

В самом деле, это соотношение следует из (1.1) после применения операции

ротора к правой и левой частям. Причем из того, что в этом случае

,

Не следует, что однородный винтовой поток возможен только для несжимаемой жидкости. Из уравнения неразрывности следует, что для сжимаемого газа установившийся однородный винтовой поток возможен, если , т. е. вектор скорости ортогонален градиенту плотности - линии тока располагаются на поверхностях равной плотности.

Уравнения неоднородного винтового потока (1.1) в криволинейных ортогональных координатах запишутся так:

Уравнения (1.2) совместно с уравнением неразрывности для случая установившегося винтового движения сжимаемой жидкости дают нам систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных .

Таким образом, поле скорости для винтовых движений по аналогии с

потенциальными течениями полностью определяется из кинематических уравнений, а законы динамики в виде интеграла Бернулли применяются для восстановления поля давления.

 

Двумерные течения.

В общем случае в каждый момент времени поле скоростей потока жидкости определяется тремя функциями - - компонентами вектора скорости в некоторой криволинейной системе координат .

Поток, который может быть отнесен к такой координатной системе, что-бы все три компоненты скорости - - в каждый момент времени являлись функциями только двух координат - - и не зависели от третьей — , т.е.

будем называть двумерным. Геометрически это означает, что на всех координатных поверхностях поле скоростей строится одинаковым образом. Иначе говоря,

Отсюда вытекает, что якобиан от составляющих скорости по координатам

тождественно равен нулю

Следовательно, между функциями должно существовать соотношение, не зависящее от координат , т.е. при двумерном движении имеет место функциональная зависимость

которая позволяет одновременно с уменьшением числа переменных в уравнениях движения сократить число уравнений в системе.

Одномерные течения.

По аналогии с двумерными течениями одномерными потоками назовем течения, которые могут быть отнесены к такой координатной системе, в которой компоненты скорости будут функциями одной координаты ,

Очевидно, что все рассмотренные примеры двумерных течений в предположении (1.4) могут быть существенно упрощены. Из всего множества возможных случаев перехода от двумерных потоков к одномерным ограничимся рассмотрением двух важных примеров с постоянным распределением завихренности.

 

1. Пусть скорость плоскопараллельного установившегося течения в инерциальной системе координат имеет только одну составляющую вдоль оси и она будет функцией только одной координаты . Тогда имеем

Отсюда , где - скорость на оси . Следовательно, рассматриваемое течение обладает скоростью, которая по линейному закону меняется вдоль оси . Функция тока такого течения имеет вид

Это течение изображено на рис. 1.8 и называется сдвиговым течением. В частном случае () все частицы жидкости движутся с одинаковыми постоянными скоростями . Такое движение называется однородным.

2. Пусть имеется установившееся течение с постоянной величиной завихренности, которое в цилиндрической системе координат имеет только одну окружную составляющую , зависящую от радиальной координаты . Записав в цилиндрической системе координат, с учетом сделанных предположений получим

После интегрирования находим

Для течений с ограниченными скоростями константу следует положить равной нулю. Линиями тока такого течения являются концентрические окружности (на схеме квазитвердого вращения жидкости), а окружная скорость меняется по линейному закону вдоль радиуса. Такое течение обычно называют квазитвердым вращением.

Исходные уравнения.

Система уравнений идеального изотермического газа применительно к атмосфере Земли в пренебрежении центробежной силой имеет следующий вид:

где - скорость; – ее модуль; – давление; - плотность; - плотность атмосферы у Земли; - единичный вектор вдоль оси вращения. Рассмотрение проводится в ортогональной системе координат .

Пусть течения однородные винтовые:

Здесь – параметр спиральности. Отметим, что уравнение неразрывности (2.2) является следствием уравнения (2.4). Действительно, применяя к левой и правой частям соотношения (2.4) операцию дивергенции, приходим к уравнению (2.2). С учетом уравнения (2.4) из уравнения движения (2.1) следует

Решая уравнение (5) относительно плотности, запишем

Как известно, для стандартной атмосферы в ее 70 - километровом (по толщине) слое абсолютная температура отличается от ее среднего значения не более, чем на 5 %</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> . Далее примем для температуры , входящей в вышеприведенные соотношения, среднее значение температуры стандартной атмосферы по указанному слою, Наибольшие скорости, отмеченные в сильных циклонах, не превышают Поэтому выполнено неравенство

Следовательно, в выражении (2.6) множитель, включающий скорость, весьма мало отличается от единицы. В результате с погрешностью, не превышающей даже при , запишем

Полагая, найдем. В результате будем иметь