Уравнения для винтовых течений в декартовых, круговых цилиндрических и сферических координатах.

Декартовы и круговые цилиндрические координаты.

Пусть система координат декартова или круговая цилиндрическая причем ось s w:val="28"/></w:rPr><m:t>в‰Ў</m:t></m:r><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>z</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> направлена против вектора силы тяжести. Тогда выражения (2.9) для плотности и (2.11) для величины принимают вид

Здесь – ускорение силы тяжести. Подставляя выражение (2.1) для в уравнение (2.29), соответственно в декартовой и круговой цилиндрической системах координат запишем:

t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>S=0,</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Подставляя выражение (3.1) для в соотношение (2.28) для скорости , при , соответственно в декартовой и круговой цилиндрической системах координат получаем:

 

Приведем частные решения неоднородного уравнения (2.11) в случаях декартовой и круговой цилиндрической систем координат. Для единичного вектора примем выражение

где – меридиональный угол начала системы отсчета. В результате в декартовых координатах это решение запишется в виде

В частном решении неоднородного уравнения (2.11) в круговых цилиндрических координатах выражение для компоненты скорости имеет вид (3.5). Выражения для компонент скорости имеют следующий вид:

Здесь компоненты скорости определяются выражениями (3.5).

Элементарное решение уравнения (3.3) в декартовых координатах, получаемое методом разделения переменных, имеет вид

Здесь и далее – постоянная разделения; постоянные; – функция Бесселя. Элементарное решение в круговых цилиндрических координатах таково

Здесь и далее – постоянные; – функции Бесселя и Неймана.

Аналогичным образом в декартовых и круговых цилиндрических координатах можно получить элементарное решение уравнения (2.32) для потенциала . В частности, в круговых цилиндрических координатах оно имеет вид

Здесь и - постоянные.

 

Сферические координаты.

В сферических координатах для плотности ρ справедливо выражение

Здесь радиус Земли, величина α0 определяется согласно выражения (3.1). Принимая естественное допущение, из (2.11) и (3.7) приближенно получаем

Учитывая, что толщина атмосферного слоя во много раз меньше радиуса Земли, будем считать выполненным неравенство

Используя малость параметра , можем пренебречь соответствующими слагаемыми в уравнении (2.30). Переходя затем в получившемся уравнении от независимых переменных к независимым переменным и используя также малость параметра , приходим к следующему уравнению:

Подставляя выражение (3.8) для величины β в соотношение (2.28), при с учетом малости параметров и получаем

Найдем частное решение неоднородного уравнения (2.11) в сферических координатах. В предположении азимутальной симметрии s w:val="28"/></w:rPr><m:t>в?‚П†</m:t></m:r></m:den></m:f><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>=0</m:t></m:r></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> с учетом малости параметров и из него следует

g w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>ОІ</m:t></m:r></m:den></m:f><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>,</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Исключая из третьего уравнения (3.11) меридиальную компоненту скорости с помощью второго уравнения, получаем следующее уравнение для определения азимутальной компоненты:

Учитывая в уравнении (3.12) выражение (3.8) для ,находим

Частное решение неоднородного уравнения (3.13) разыскиваем в виде

В результате для функции из запишем уравнение

Частное решение неоднородного уравнения (3.15) имеет вид

В результате на основе соотношений (3.11), (3.14) и (3.16) получаем следующие выражения для компонент скорости в частном решении неоднородного уравнения (2.11)