Понятие вектор в геометрии отлично от определяемого в алгебре.

§ Связанный вектор или направленный отрезок — упорядоченная пара точек евклидова пространства.

При этом два направленных отрезка считаются эквивалентными, если они:

1. коллинеарны

2. равны по длине

3. сонаправлены

Суммой векторов является вектор -

Произведение - , при этом коллинеарен .

Вектор сонаправлен с вектором ( ­­ ), если a > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором ( ­¯ ), если a < 0.

 

 

15. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

Если дана упорядоченная тройка векторов некомпланарных векторов, то для любого вектора существует единственная упорядоченная тройка чисел , удовлетворяющая равенству
.

 

16. Проекция вектора на некоторые направление. Теоремы о проекциях.

проекцией вектора на ось называется произведение модуля вектора на косинус угла,образованного вектором и положительным направлением оси.

 

 

17. Координаты вектора. Направляющие косинусы.

. Координа́тыве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где — координаты вектора.

§ Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты

§ Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

Подразумевается, что координаты вектора b не равны нулю.

§ Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:

§ При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число:

§ При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются:

§ Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

§ Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы

где

§ Аналогично, смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель

 

Направляющие косинусы вектора (в пространстве) – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора. Если вектор имеет длину 1, то его направляющие косинусы равны его координатам. В общем случае для вектора с координатами (a; b; c) направляющие косинусы равны:

где a, b, g – углы, составляемые вектором с осями x, y, z соответственно.

 

 

18. Понятие радиус-вектора данной точки пространства. Расстояние между двумя точками в пространстве.

Ра́диус-ве́ктор (обычно обозначается или просто ) — вектор, задающий положения точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Теорема. Пусть и . Тогда

.

 

19. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.

Обозначается ab,а* b(или(а, b)).Итак, по определению,

Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как | a| cosg=пр _ba, (см. рис.14), a |b| cosg = пр_ab, то получаем:

т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

 

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

20

Если векторы и заданы своими координатами:

, ,

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

 

 

20. Формула для вычисления скалярного произведения векторов.

если

 

21. Векторное произведения и его свойства.

Векторное произведение и его св-ва

Векторным произведением неколлинеарных векторов называется вектор , определяемый условиями:

1)

2) длина равно площади параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах, т.е.:

3) образующие правую тройку

пиздец изображениеце

Обозначение: или

Свойства:

1) Антикоммутативность

2) Сочетательность (ассоциативностиь) по отношению к скалярному множетилю:

3) Распределительность (дистрибутивность):

4) , если

Если векторы заданы своими координатами:

, то

или

где S – площадь параллелограмма

 

22. Формула для вычисления векторного произведения векторов.

или

или

 

23. Смешанное произведение и его геометрический смысл

Смешанным произведением 3-х векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор

Обозначение: = (

Геометрический смысл:

Смешанным произведением интерпретируется как число, равное объему параллелограмма, построенного на векторах как на ребрах

, если образует правую тройку

, если образует левую тройку

 

24. Формула для вычисления смешанного произведения векторов. Условие компланарности трех векторов. Правая и левая тройка векторов.

Если заданы своими координатами , , то

–ф-ла для вычисления смешанного произведения векторов

Условие компланарности 3-х векторов:

3 ненулевых векторов компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией других, например

Правая и левая тройка векторов:

3 некомпланарных векторов , взятого в указанном порядке, образуют правую тройку (левую) тройку, если с конца вектора кратчайший поворот от первого вектора ко 2-му вектору виден совершающимся противчасовой стрелки (по часовой стрелки) ХУЙНЯ КАКАЯТО

 

25. Кривые второго порядка

 

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентовa11, a 12, a22 отличен от нуля.