Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

В координатах

 

41. Поверхности второго порядка (основные типы)

Пове́рхностивторо́гопоря́дка, поверхности, декартовы прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени:
a ₁₁ x ² + a ₂₂ y ² + a ₃₃ z ² + 2 a ₁₂ xy + 2 a ₂₃ yz + 2 a ₁₃ xz + 2 a ₁₄ x + 2 a ₂₄ y + 2 a ₃₄ z + a ₄₄ = 0 (*)
Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую П. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса и поворота системы координат к одному из 17 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс П. в. п. Среди них выделяют пять основных типов поверхностей. Именно,
1) эллипсоиды
— эллипсоиды,
— мнимые эллипсоиды;
2) гиперболоиды:
— однополостные гиперболоиды,
— двуполостные гиперболоиды;
3) параболоиды (p > 0, q > 0):
— эллиптические параболоиды,
— гиперболические параболоиды;
4) конусы второго порядка:
— конусы,
— мнимые конусы;
5) цилиндры второго порядка:
— эллиптические цилиндры,
— мнимые эллиптические цилиндры,
— гиперболические цилиндры,
— параболические цилиндры.
Перечисленные П. в. п. относятся к т. н. нераспадающимся П. в. п.; распадающиеся П. в. п.:
— пары пересекающихся плоскостей,
— пары мнимых пересекающихся плоскостей,
х² = а² — пары параллельных плоскостей,
х² = —а² — пары мнимых параллельных плоскостей,
х² = 0 — пары совпадающих плоскостей.
При исследовании общего уравнения П. в. п. важное значение имеют т. н. основные инварианты — выражения, составленные из коэффициентов уравнения (*) и не меняющиеся при параллельном переносе и повороте системы координат. Например, если
(a_ij = a_jii),
то уравнение (*) определяет вырожденные П. в. п.: конусы и цилиндры второго порядка и распадающиеся П. в. п.; если определитель
,
то поверхность имеет единственный центр симметрии (центр П. в. п.) и называется центральной поверхностью. Если d = 0, то поверхность либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров.
Для П. в. п. установлена аффинная и проективная классификация. Две П. в. п. считают принадлежащими одному аффинному классу, если они могут быть переведены друг в друга некоторым аффинным преобразованием (аналогично определяются проективные классы П. в. п.). Каждому аффинному классу соответствует один из 17 канонических видов уравнения П. в. п. Проективные преобразования позволяют установить связь между различными аффинными классами П. в. п. Это объясняется тем, что при этих преобразованиях исчезает особая роль бесконечно удалённых элементов пространства. Например, эллипсоиды и двуполостные гиперболоиды, различные с аффинной точки зрения, принадлежат одному проективному классу П. в. п.

42. Понятие линейного пространства. Примеры л.п.

Определение

Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие элемент из , обозначаемый .

При этом на операции накладываются следующие условия:

1. , для любых (коммутативность сложения);

2. , для любых (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;

4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента).

5. (ассоциативность умножения на скаляр);

6. (умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Простейшие свойства

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.

2. Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

3. для любого .

4. Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

5. для любого .

6. для любых и .

7. для любого .

 

 

43. Определение базиса линейного пространства. Теорема о единственности разложения вектора по данному базису.

Базис - любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов пространства .

Обозначение:

Для каждого вектора существуют числа такие что

Числа называются координатами вектора в базисе () (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора в этом базисе. Употребляется запись:

 

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и –базис . Возьмем произвольный вектор . Так как оба вектора и коллинеарные одной и той же прямой L, то . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как , то найдется (существует) такое число , что и тем самым мы получили разложение вектора по базису векторного пространства

 

44. Координаты вектора линейного пространства в данном базисе. Способ определения линейно зависимости векторов линейного пространства.

. Пусть e₁,e₂,…,e_n – базис пространства V, x,y – произвольные элементы пространства V. При сложении элементов их координаты складываются, при умножении произвольного элемента х на любое число l все координаты этого элемента умножаются на l.

[Док-во]: x=a₁e₁+a₂e₂+…+a_ne_n=_i=1åⁿa_ie_i=(e₁,e₂,…,e_n)(a₁,a₂,…,a_n).

y=b₁e₁+b₂e₂+…+b_ne_n=_i=1åⁿb_ie_i=(e₁,e₂,…,e_n)(b₁,b₂,…,b_n).

1) x+y= _i=1åⁿa_ie_i+_i=1åⁿb_ie_i=_i=1åⁿ(a_I+b_I)e_i=(e₁,e₂,…,e_n)(a₁+b₁,…,a_n+b_n)= (a₁+b₁)e₁+…+(a_n+b_n)e_n;

2) lx=l* _i=1åⁿa_ie_i= _i=1åⁿla_ie_i=(e₁,e₂,…,e_n)(la₁,…,la_n)= (la₁)e₁+…+(la_n)e_n

[Лемма]: Пусть e₁,e₂,…,e_n базис в пространстве V, f₁, f₂,…, f_n – элементы пространства V. Векторы f₁, f₂,…, f_n линейно зависимы в том и только том случае, когда линейно зависимы столбы их координат.

[Док-во]: f₁= (e₁,e₂,…,e_n)(a₁,a₂,…,a_n)

l₁f₁+l₂f₂+…+l_nf_n=(e₁,e₂,…,e_n)[l₁(a¹₁,a¹₂,…,a¹_n)+…+l_n(aⁿ₁,aⁿ₂,…,aⁿ_n)] => вектора f₁,f₂,…,f_nлинейно зависимы в том и только том случае, когда l₁(a¹₁,a¹₂,…,a¹_n)+…+l_n(aⁿ₁,aⁿ₂,…,aⁿ_n) = (0,0,…,0) а это значит, что столбцы их координат должны быть линейно зависимыми.

Система векторов e ₁, e ₂,..., e _k линейного пространства L называется линейно независимой системой, если равенство С₁· e ₁+С₂ ·e ₂+...+С_k · e _k = 0 возможно только когда все коэффициенты С₁, С₂,..., С_k равны нулю.

Здесь 0 — нулевой вектор линейного пространства L, С₁, С₂,..., С_k — числовые коэффициенты.

Если система векторов e ₁, e ₂,..., e _k линейного пространства L не является линейно независимой системой, то она называется линейно зависимой системой векторов.

 

 

45. Связь между базисами линейного пространства. Матрица перехода (теорема о невырожденной матрицы перехода)

Матрица перехода

Ма́трицейперехо́да от базиса к базису является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов вбазисе .

Обозначается

. Так как

.

.

.

.

Матрица перехода это

 

 

46. Преобразование координаты вектора при замене базиса.

. Пусть системы векторов e = {e ₁,..., e _n } и f = {f ₁,..., f _n } — два базиса n -мерного линейного пространства L_n.

Обозначим x_e = (x ₁, x ₂,..., x _n) и x_f = (x' ₁, x' ₂,..., x' _n) — координаты вектора x ∈ L_n соответственно в базисах e и f.

Справедливо следующее x_e = C_e→f·x_f:

Здесь C_e→f — матрица перехода от базиса e к базису f, это матрица, столбцами которой являются координаты базисных векторов f₁,..., f _n в базисе e ₁,..., e _n:

f₁ = с ₁₁· e₂ + с ₂₁ ·e₁+... + с _{n 1} ·e _n, f₂ = с ₁₂· e₁ + с ₂₂ ·e₂+... + с _{n 2} ·e _n, ..., f _n = с _{1 n} · e₂ +... + с _nn ·e _n.

Формулу преобразования координат вектора при изменении базиса принято записывать в виде

x_f = (C_e→f)^{− 1}·x_e

 

 

47. Понятие линейного подпространства. Подпространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.

Подпространство

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество K линейного пространства L такое, что K само является линейным пространством по отношению к определенным в L действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как Lat (L). Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

§ ;

§ для всякого вектора , вектор также принадлежал K, при любом ;

§ для всяких векторов , вектор также принадлежал K.

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

§ для всяких векторов , вектор также принадлежал K для любых .

В частности, пространство, состоящее из одного элемента {θ}, является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.

Свойства подпространств:

§ Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;

§ Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов K_i:

.

В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства.

 

 

48. Линейные операторы (примеры)

Примеры линейных однородных операторов:

§ оператор дифференцирования: ;

§ оператор интегрирования: ;

§ оператор умножения на определённую функцию ;

§ оператор интегрирования с заданным «весом»

§ оператор взятия значения функции f в конкретной точке x ₀: L { f } = f (x ₀)^[4];

§ оператор умножения вектора на матрицу: b = Ax;

§ оператор поворота вектора.

Примеры линейных неоднородных операторов:

§ Любое аффинное преобразование;

§ ;

§ ;

§ ;

где , , — вполне определённые функции, а x (t) — преобразуемая оператором функция.

 

49. Матрица линейного оператора. Определение координат образа вектора линейного пространства при действии на него линейного оператора.

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис . Пусть — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

,

где x^k — координаты вектора в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

.

Вектора также разложим в выбранном базисе, получим

,

где — j -я координата k -го вектора из .

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

.

Выражение , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица при умножении на столбец x^k даёт в результате координаты вектора , возникшего от действия оператора на вектор , что и требовалось получить.

Комментарий: Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов . Иными словами, порядок базисных элементов предполагается жёстко упорядоченным.

 

50. Связь между матрицами линейного операторы в разных базисах.