В процессе исключений метода гаусса не может возникнуть более m не нулевых ведущих элементов или не нулевых ведущих строк то число свободных переменных не может быть меньше чем n-m.

Каждая однородная система АХ=0 имеющая больше неизвестных чем уравнений имеет хотя б одно не нулевое решение

 

 

7. Понятие линейной зависимости арифметических векторов (примеры)

Система векторов e ₁, e ₂,..., e _k линейного пространства L называется линейно независимой системой, если равенство С₁· e ₁+С₂ ·e ₂+...+С_k · e _k = 0 возможно только когда все коэффициенты С₁, С₂,..., С_k равны нулю.

Здесь 0 — нулевой вектор линейного пространства L, С₁, С₂,..., С_k — числовые коэффициенты.

Если система векторов e ₁, e ₂,..., e _k линейного пространства L не является линейно независимой системой, то она называется линейно зависимой системой векторов.

пример

Система векторов · i, j линейного пространства R₂ геометрических радиусов векторов плоскости линейно независима. Действительно.

i = (1, 0), j = (0, 1), С ₁ · i + С ₂ · j = (С ₁, С ₂), а из (С ₁, С ₂) = 0 следует, что С ₁ = 0 и С ₁ = 0, т.е. система векторов i, j из R₂ линейно независима.

 

8. Понятие базиса системы арифметических векторов (примеры) Второе определение базиса систем векторов

базисная система векторов v1 v2…. vk с n компонентами. Базисом этой системы векторов называется такое подмножество w1 w2 ….wr линейно-независимых, что любой v1 v2 …vk выражается в виде линейной комбинации векторов w1 w2 ….wr.

Ба́зис (др.-греч. βασιζ, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой другой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.

 

9. Понятие ранга матрицы. Теорема о ранге ступенчатой матрицы.

Рангом системы векторов v1 v2…. vk называется число базисных векторов данной системы.

Ранг системы столбцов матрицы равен рангу системы строк матрицы

Если матрица A не нулевая, т.е. существует хотя бы один a_ij элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число r такое, что

у матрицы A имеется минор r- го порядка, для которого Δ_r 0;

всякий минор матрицы A порядка r+1 и выше равен нулю, тогда число r, обладающее указанными свойствами называется рангом матрицы A и обозначается r = RgA.

ранг любой прямоугольной матрицы не должен быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер матрицы. Математически это можно выразить так r min(m,n).

если все элементы матрицы A равны нулю, т. е. a_ij=0, то ранг этой матрицы тоже будет равен нулю r = RgA = 0.

Ранг ступенчатой матрицы А равен числу её не нулевых строк или столбцов содержащих ведущие элементы.

 

10. Теорема о равенстве ранге произвольной матрицы А и эквивалентной ей ступенчатой матрицы (поясните на примере)

 

 

11. Теорема о существование ненулевого решения однородной системы линейных алгебраических уравнений с прямоугольной матрицей. Фундаментальная система решений.

Однородные системы

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением.

 

В матричной форме АХ=0

Однородная система всегда совместна тк существует тривиальное решение х1=х2=хn=0

Система не определена когда ранг матрицы меньше числа неизвестных

Теорема (о структуре общего решения).
Пусть , тогда:

§ если , где — число переменных системы, то существует только тривиальное решение;

§ если , то существует линейно независимых решений рассматриваемой системы: , причём её общее решение имеет вид: , где — некоторые константы.

 

Теорема (о ФСР).
Пусть ранг основной матрицы , где — число переменных системы (1), тогда:

§ ФСР (1) существует: ;

§ она состоит из векторов;

§ общее решение системы имеет вид .

Замечание:
Если , то ФСР не существует.

 

Пример

Решим систему

Перепишем её в матричном виде:

Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:

Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует линейно независимых решения системы.

Перепишем полученную систему в виде уравнений:

Возьмём и в качестве главных переменных. Тогда:

Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных: и .

Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:

,

а вектора составляют фундаментальную систему решений.

 

 

12. Структура решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

 

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:

— её расширенная матрица.

 

Теорема (об общем решении неоднородных систем).
Пусть (т.е. система (2) совместна), тогда:

§ если , где — число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно;

§ если , то общее решение системы (2) имеет вид , где — общее решение системы (1), называемое общим однородным решением, — частное решение системы (2), называемое частным неоднородным решением.

Пример

Решим систему

Преобразуем её к

Тогда переменные и обязательно будут главными, возьмём также в качестве главной.

Заметим, что является частным решением.

Составим однородную систему:

Тогда, подставив единицу в качестве свободной переменной , получим ФСР однородной системы:

Общее решение системы может быть записано так:

 

13. Теорема о связи ранга квадратной матрицы и ее определителя. Решение однородной и неоднородной систем уравнений с квадратной матрицей.

Пусть . Определитель матрицы равен нулю, так как третья строка равна сумме первых двух. Минор второго порядка, расположенный в первых двух строках и первых двух столбцах, равен . Следовательно, ранг матрицы равен двум, и рассмотренный минор является базисным.

 

14. Понятие геометрического вектора. Линейные операции над векторами.