Цикл с неизвестным числом повторений

Цикл с неизвестным числом повторений называется также итерационным циклом. В языке Турбо Паскаль имеются два оператора цикла - WHILE и REPEAT, которые используются для организации цикла с неизвестным числом повторений.

Общая форма конструкции, образующей цикл WHILE,имеет вид:

WHILE <выражение> DO <оператор>

Здесь WHILE (пока); DO — ключевые слова языка; <выражение> — логическое выражение, которое определяет условие продолжение цикла. Первая строка (оператор WHILE) конструкции называется заголовком цикла.

<Оператор> образует тело цикла, состоящее из простого или составного оператора.

Выполнение оператора WHILE происходит следующим образом:

1. Вычисляется выражение, указанное в заголовке цикла.

2. Если выражение истинно, то один раз выполняется тело цикла и вновь вычисляется выражение.

3. Пункт 2 повторяется до тех пор, пока выражение истинно.

4. Если выражение ложно, то тело цикла не выполняется, осуществляет­ся выход из цикла, т.е. управление передается оператору, который следует за оператором WHILE.

Общий вид записи оператора REPEAT:

REPEAT <оператор> UNTIL <выражение>

где <оператор> - тело цикла, состоящее из простого или составного оператора; <выражение> - логическое выражение, определяющее окончание цикла.

Выполнение оператора WHILE происходит следующим образом:

1. Выполняется тело цикла.

2. Вычисляется выражение, указанное во фразе UNTIL.

3. Если выражение ложно, то повторяются пп. 1 и 2.

4. Если выражение истинно, то выходим из цикла, т.е. управление передается оператору, который следует за оператором REPEAT.

Из сказанного следует важное правило: операторы тела цикла WHILE и REPEAT долж­ны изменять выражение, указанное в операторе. В противном случае будет иметь место бесконечный цикл, что противоречит определению ал­горитма.

В тело итерационного цикла допускается включать другие циклы. Это может быть другой итерационный циклили цикл с известным числом по­вторений. Другими словами, в итерационных циклах никаких ограничений на вложенные циклы не накладывается.

Примеры реализации итерационного цикла

Пример 1.15. Составить программу для вычисления функции, заданной рекурсивными формулами:

Y ₀=(1+ X)/3

Y_{k +1} = Y_k + (X / Y_k · Y_k - Y_k)/3 при k =l, 2, 3.... Вычисления закончить при выполнении условия:

| Y_{k +l} - Y_k | < е,

где е — точность вычислений (малое положительное число). Аргумент функции Х —произвольное число.

Решение.

Анализ постановки задачи

Исходные данные для решения: аргумент функции — Х и точность вычисления — Е.

То, что заданы рекурсивные формулы для вычислений, означает по­вторяемость (цикличность) вычислений: каждое новое значение функции вычисляется по ее предыдущему значению. Число вычислений неизвестно, но известно условие продолжения вычислений: пока | Y_{k +1} - Y_k | Е.

Введем обозначения объектов программы: Y0 — предыдущее(в том числе начальное) значение функции; Y —очередное(в том числе конечное) значение функции; Z — модуль разности значений.

Для решения задачи будем использовать цикл WHILE.

Как и любой другой, этот цикл требует подготовки. В первую очередь необходимо обеспечить истинность выражения Z E.

Значение Е определим на этапе ввода исходных данных, а значение Z определим до входа в цикл, присвоив ему любое значение, которое больше Е, например Z:=2*E.

Также до входа в цикл необходимо вычислить начальное значение функции Y0:=(1+X)/3.

Наконец, тело цикла. В нем вычисляется очередное значение функции

Y:=Y0+(X/Y0/Y0-Y0)/3.

Здесь же необходимо обеспечить изменение значения выражения в заголовке цикла Z:=ABS(Y-Y0).

Наконец, необходимо подготовить следующую итерацию Y0:=Y.

Выход из цикла произойдет при достижении заданной точности вычислений. После этого можно выводить полученные результаты.

С целью большей информативности результатов дополним алгоритм вычислением числа выполненных итераций К:=К+1

Начальное значение К присвоим до цикла К:=1

Результаты вычислений выведем в следующем виде:

 

Результаты вычислений

Аргумент: **.**

Заданная точность: *.*****

Значение функции: ****.***

Число итераций: ***

Поскольку алгоритм уже достаточно детализирован, составим текст программы:

Текст программы

 

PROGRAM Prim115;

{Вычисление функции с заданной точностью}

VAR

X, Y0, Y, E, Z: REAL;

K: INTEGER;

{Х – Аргумент функции}

{Y0, Y – Начальное и конечное значения функции}

{Е – Заданная точность}

{Z=ABS(Y-Y0)}

{K – число итераций}

BEGIN

{Этап ввода исходных данных}

WRITE(‘Аргумент функции’);

READLN(X);

WRITE(‘Заданная точность вычислений’);

READLN(E);

{Этап вычислений}

Z:=2*E;

Y0:=(1+X)/3;

K:=1;

WHILE Z>=E DO

BEGIN

Y:=Y0+(X/Y0/Y0-Y0)/3;

Z:=ABS(Y-Y0);

Y0:=Y;

K:=K+1

END;

{Этап вывода результатов}

WRITELN(‘Результаты вычислений');

WRITELN(‘Аргумент:’,X:5:2);

WRITELN(‘Заданная точность:',E:7:5);

WRITELN(‘Значение функции:’,Y:8:3);

WRITELN(‘Число итераций:’,K:3);

END.

Пример 1.16. Вычислить сумму при х =0,5.

Суммирование прекращать, когда очередной член суммы будет меньше заданного е = 0.0001.

Решение.

В приведенной ниже программе используется цикл REPEAT:

PROGRAM Prim116;

VAR

X, Eps, S, A: REAL;

N: INTEGER;

BEGIN

X:= 0.5;

Eps:=0.0001;

S:=0;

N:=1;

REPEAT

A:=cos(n*x)/n;

S:=s+a;

N:=N+1;

UNTIL a<Eps;

WRITELN(‘Сумма равна ‘,S:8:5);

End.

 

Пример 1.17. Определить приближенное значение суммы элементов ряда:

S = l + x /1! + x ³/3! + x ⁵/5! +...

Суммирование выполнять до тех пор, пока очередное слагаемое не ста­нет меньше заданной величины Е.

Решение.

Анализ условия задачи

Исходными данными для решения задачи являются значения Х и Е, где Е — точность вычислений.

Вычисление суммы элементов ряда — цикл с неизвестным числом по­вторений.

Очевидно, что условие выполнения операторов тела цикла можно запи­сать в виде

WHILE A>=E DO,

где А — очередной элемент ряда;

Е — заданная точность вычислений.

В теле цикла следует:

— накапливать в переменной S значение предыдущего элемента ряда;

— получать новое значение элемента ряда.

Для вычисления нового элемента ряда необходимо определить законо­мерность изменения последующего элемента по сравнению с предыдущим.

Чтобы найти эту закономерность, попарно сравним соседние элементы и проанализируем выражение, на которое в каждом цикле нужно умножать предыдущий элемент. Результаты сравнения представлены в таблице.

Номер цикла	Предыдущий элемент	Выражение	Новый (последующий) элемент
	Х /1 X ^3/1·2·3 X ^5/1·2·3·4·5	X ^2/2·3 X ^2/4·5 X ^2/6·7	X ^3/1·2·3 X ^5/1·2·3·4·5 X ^7/1·2·3·4·5·6·7

 

Из приведенной таблицы видно, что числитель выражения от цикла к циклу не меняется: X ².

Знаменатель — произведение двух соседних натуральных чисел, то есть если первое число обозначим переменной К, то в общем виде выражение можно записать: P=X · Х/ (K · (K + 1)), а значение К изменяется в каждом цикле на 2.

Итак,

WHILE A>=E DO

Begin

S:=S+A;

Р:=Х*X/(К*(К+1));

А:=Р*А;

К:=К+2;

END;

И последнее. До входа в цикл следует определить значения переменных S, А, К:

S:=1;

А:=Х;

К:=2;

(см. условие примера)

Возможный вариант программы

PROGRAM Prim117;

VAR

X, E, S, A, K, P: REAL;

{X – переменная для ввода и хранения аргумента

Е – переменная для ввода и хранения точности вычислений

S – переменная для получения суммы элементов ряда

A – переменная для получения очередного элемента ряда

К – переменная для получения знаменателя

P – переменная для вычисления значения выражения, на которое умножается предыдущий элемент}

{Блок ввода информации}

BEGIN

WRITE (‘Введите значение аргумента’);

READLN(Х);

WRITE (‘Введите точность вычислений’);

READLN(Е);

{Блок вычисления суммы}

S:=1;

А:=Х;

K:=2;

WHILE A>=E DO

BEGIN

S:=S+A;

P:=X*X/(К*(К+1));

A:=А*Р;

К:=К+2;

END;

WRITELN(‘При значении аргумента = ’, X);

WRITELN(‘Сумма элементов ряда = ’, S)

END.

 

Пример 1.18. Вычислить сумму

S =

для значений x, изменяющихся в пределах от 0.2 до 1 с шагом 0.2. Суммирование прекращать, когда очередной член суммы по абсолютной величине станет меньше е = 0.0001.

Решение.

Задача сводится к организации вложенных циклов. Внешний цикл по счетчику обеспечивает изменение х. Во внутреннем цикле по условию осуществляется вычисление сум­мы.

Член суммы a_n целесообразно представить в виде двух сомножителей:

a _n = с_n (2 n - 1).

Сомножитель c_n = (- 1 )^{n - 1} будем вычислять по рекуррентной формуле, выражая последу­ющий член через предыдущий:

c_n = - c_{n -1 .}

Число значений х на отрезке от 0.2 до 1 с шагом 0.2 равно 5. В программе для контроля при каждом значении x вычисляется также функция соs x + x sin x, которая приближенно может быть представлена в виде указанной суммы.

PROGRAM Prim118;

VAR

X, S, EPS,C,A: REAL;

I, N: INTEGER;

BEGIN

X:=0.2; Eps:=0.0001;

For I:=1 To 5 DO

BEGIN

S:=1;

C:=-1;

N:=1;

REPEAT

C:=-c*x*x/((2*n-1)*2*n);

A:=c*(2*n-1);

S:=s+a;

N:=N+1

UNTIL Abs(a)<Eps;

WRITELN(‘x=’,x, ‘ s=’,s, ‘ f(x)=’, cos(x) + x*sin(x));

X:=X+0.2

END

End.

Пример 1.19. Вычислить сумму ряда . Суммирование осуществлять, пока раз­ность между предыдущим и текущим членами остается больше 0,04. Кроме суммы вывести на экран значение последнего слагаемого и его номер.

Решение.

Обозначим объекты программы:

S- сумма;

N - количество членов ряда;

ТЕК - текущий член ряда;

PR - предыдущий член ряда.

Вычисление данной суммы будем осуществлять в цикле WHILE до тех пор, пока разность по модулю между текущим и предыдущим значе­ниями членов ряда будет больше заданной величины, т.е.

WHILE ABS(TEK-PR)>0.04 DO

Так как выход из цикла осуществляется при нарушении данного усло­вия, то для вывода правильного значения суммы, в которой разность по мо­дулю между текущим и предыдущим слагаемыми еще остается больше 0,04, следует определить значение суммы, а также значение и номер слагаемого, предшествующего сумме ряда при выходе из цикла.

Приведем вариант программы

PROGRAM Prim119;

VAR S, TEK, PR: REAL;

N: INTEGER;

BEGIN

S:=0.5;

ТЕК:=0.5;

PR:=0;

N:=1;

WHILE ABS(TEK-PR)>0.04 DO

BEGIN

N:=N+1;

PR:=TEK;

TEK:=1/(2*N);

S:=S+TEK;

END;

WRITELN(‘Сумма= ‘, S-TEK);

WRITELN(‘Последнее слагаемое ‘,PR,’ и его номер ’,N-1);

END.

 

Пример 1.20. Найти максимальное количество слагаемых в сумме членов ряда , при котором эта сумма остается меньше 12. Кроме этого вывести на экран значение последнего слагаемого и его номер.

Решение.

Введем обозначения объектов:

S – сумма;

N - количество слагаемых в сумме;

А - очередное (текущее слагаемое).

Формула общего члена данного ряда имеет вид:

,

где n - порядковый номер слагаемого.

Суммирование осуществляется в цикле WHILE до тех пор, пока сумма остается меньше 12, т.е.

WHILE S<12

При выводе результатов следует учесть, что после выхода из цикла зна­чение суммы будет больше или равно 12. Поэтому следует «откатиться» к предыдущему значению суммы, т.е. максимальному значению суммы, еще остающейся меньше 12.

Предлагаем следующий вариант.

PROGRAM Prim120;

VAR A, S: REAL;

N: INTEGER;

BEGIN

S:=0;

N:=0;

А:=7;

WHILE S<12 DO

BEGIN

N:=N+1;

A:=A/N;

S:=S+A;

END;

WRITELN(‘Максимальная сумма <12= ‘, S-A);

WRITELN(‘Последнее слагаемое ‘,A*N,’ и его номер ’, N-1);

END.

 

Пример 1.21. В числовую переменную последовательно вводятся отличные от нуля целые числа. Количество чисел заранее неизвестно. Определить и вывести на экран, какие (четные или нечетные) числа были введены последними и какова их сумма.

Решение.

В данном условии задачи обратите внимание на фразу «количество чисел заранее неизвестно». Это означает, что количество вводимых чисел может быть определено (подсчитано) только при завершении их ввода, а до начала ввода данных сведения об их количестве просто отсутствуют.

Кроме того, при составлении данной программы должны быть задей­ствованы два счетчика сумм подряд идущих четных и нечетных чисел, которые при отсутствии подсчитываемых значений должны обнуляться.

Возможный вариант программы.

PROGRAM Prim121;

VAR

S1, S2, X: INTEGER;

{S1- сумма подряд идущих нечетных чисел,

S2 - сумма подряд идущих четных чисел,

Х - переменная, содержащая введенное число}

BEGIN

S1:=0;

S2:=0;

WRITE(‘Введите число ‘);

READLN(Х);

WHILE X<>0 DO

BEGIN

IF X MOD 2<>0

THEN

BEGIN

S1:=S1+X;

S2:=0

END

ELSE

BEGIN

S2:=S2+X;

S1:=0

END;

WRITE(‘Введите число’);

READLN(X);

END;

IF S1<>0 THEN

WRITELN('Последними были введены нечетные числа. Их сумма = ‘, S1);

IF S2<>0 THEN

WRITELN(‘Последними были введены четные числа. Их сумма =’, S2);

END.

 

Пример 1.22. Найти сумму и количество цифр натурального числа N.

Решение.

Обозначим:

S - сумма цифр числа;

К - количество цифр числа;

Z - выделенная цифра числа;

СН - целое частное от деления.

Предложенный алгоритм базируется на выделении всех цифр числа, начиная с младшего разряда, методом последовательного деления и получения целых частных на основании данной системы счисления до тех пор, пока целое частное от деления не станет равным нулю.

Текст программы

PROGRAM Prim122;

VAR

S, K, Z, CH: INTEGER;

N: 1.. MAXINT;

BEGIN

WRITE(‘Введите натуральное число ‘);

READLN(N);

S:=0;

K:=0;

CH:=N;

WHILE CH<>0 DO

BEGIN

K:=K+1;

Z:=CH MOD 10;

S:=S+Z; CH:=CH DIV 10;

END;

WRITELN(‘Количество ‘,K,’ и сумма цифр ‘, S)

END.

 

Пример 1.23. В числовую переменную вводится число в десятичной системе счисления, не превышающее по модулю 10000. Необходимо вывести на эк­ран представление этого числа в двоичной системе счисления.

Решение.

Обозначим объекты программы:

N - целое число;

К - количество цифр двоичного числа;

Z(14) - массив с цифрами двоичного числа;

CН - целое частное.

Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления можно опи­сать следующей последовательностью шагов:

1. Последовательно делим данное число и получаемые целые частные

на 2 до тех пор, пока последнее частное не станет равным нулю.

2. Запоминаем все остатки от деления данного числа и целых частных на 2.

3. Составляем число в двоичной системе счисления, начиная с после­днего остатка и кончая первым.

Для запоминания остатков от деления надо организовать в памяти од­номерный массив. Но какой размерности?

По условию, целое десятичное число не должно превышать 10000, т.е. 10000₁₀ =2710₁₆ =10 0111 0001 0000₂.

Отсюда видно, что максимальное количество значащих разрядов дво­ичного числа не может превышать 14. Эта величина и будет определять раз­мерность одномерного массива.

При выводе изображения двоичного числа анализируется его знак, т.к. в условии задачи ничего не сказано о том, какие числа переводятся - положи­тельные или отрицательные.

Вариант программы

Program Prim123;

Var

Z: Array[1..14] of Integer;

N, I, K, CH: Integer; S,q: Real;

Begin

Write(‘Введите целое число ‘);

Readln(N);

K:=0;

CH:=ABS(N);

WHILE CH<>0 Do

Begin

K:=K+1;

Z[K]:=CH MOD 2;

CH:=CH DIV 2;

End;

Writeln(‘Число ’,N,’ в двоичной системе счисления’);

If N<0 THEN Write(‘-‘);

q:=1; S:=0;

For I:=1 TO K DO

Begin

S:=S+Z [I]*q;

q:=q*10;

End;

Writeln(S:14:0);

End.

Контрольные вопросы

1. Что такое цикл?

2. Какие действия необходимо выполнить для организации цикла?

3. Что такое итерационный циклический процесс?

4. Какие операторы цикла имеются в Турбо Паскале?

5. Какие средства языка целесообразно использовать для организации циклов с заданным числом повторений?

6. Как работает оператор цикла While?

7. В чем заключается различие между операторами Repeat и While?

8. Каково может быть условие выхода из цикла при вычислении значения суммы бесконечного ряда?

9. Зачем используются рекуррентные соотношения для вычисления значений члена ряда?

 

Задачи I уровня

 

Определить, какой цикл (по счетчику или по условию) требуется в задаче. Для цикла по условию опре­делить, где должна производиться проверка условия выхода из цикла (в начале или в конце тела цикла) и, исходя из этого, ис­пользовать соответствующие операторы цикла.

1. Вычислить 1 + 1/2 + 1/3 +... + 1/10.

2. Вычислить 5 + 8 + 11 +... + 35.

3. Вычислить 1 + 3 + З² +... + 3⁷.

4. Вычислить 1/2 + 1/2² +... + 1/2¹⁰.

5. Вычислить 2/3 + 3/4 +... + 10/11.

6. Вычислить 2 + 2³ +... + 2¹⁰.

7. Вычислить у = 1/2 + 2 х ³ при х = -5, -4.5, - 4,..., 3.

8. Составить таблицу стоимости порций сыра весом 50, 100,..., 1000 г (цена 1 кг сыра 80 руб.).

В задачах № 9-15 вычислитьсумму заданного числа членов знакопеременного ряда.

9. S =

10. S =

11. S = 0.3

12. S = 2 +

13. S = 1 +

14. S =

15. S = 0.4

Задачи II уровня

1. Имеется последовательность ненулевых целых чисел, за которой сле­дует 0. Определять, сколько раз в последовательности меняется знак чисел.

2. Составить программу для вычисления значения:

у=х + х³/ 3! + х⁵/ 5! + х⁷/ 7!+...,учитывая, что < 1.

Расчет продолжать до тех пор, пока модуль разности между очередным и предыду­щим значениями у будет больше заданной величины (точности вычислений).

3. Имеется последовательность положительных и отрицательных чи­сел. Определить, является ли последовательность чисел, находящихся до пер­вого отрицательного числа, возрастающей.

4. Имеется шестизначный номер лотерейного билета. Определить яв­ляется ли номер «счастливым», т.е. равны ли суммы первых и последних трех цифр.

5. Имеется последовательность вещественных чисел, содержащая ну­левые значения. Определить, сколько чисел, расположенных до первого нулевого значения, больше своих «соседей».

6. Перед паромной переправой остановились легковые и грузовые ав­томобили. Определить, сколько легковых автомобилей находится в начале очереди.

7. На шоссе образовалась «пробка» из легковых и грузовых автомобилей. Определить, сколько грузовых автомобилей находится между легковыми.

8. Вычислить сумму ряда . Суммирование осуществлять, пока разность между преды­дущим и текущим членами остается больше 0.04. Кроме суммы вывести на экран значение последнего слагаемого и его номер.

9. Вывести на экран N чисел Фибоначчи (N задается из диапазона от 2 до 21), значе­ния частных от деления каждого из этих чисел на предыдущее число и сумму этих частных.

Числа Фибоначчи - это такая последовательность целых чисел, в которой два первых числа равны 1, а каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. (Числа Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8,...).

10. В числовые переменные вводятся два натуральных числа Х и N. Необходимо найти ближайшее к Х и превосходящее его натуральное число, кратное N, а также сумму его цифр. Выдать на экран соответствующие сообщения.

11. Найти минимальное количество слагаемых в сумме членов ряда 1·1 + 1·2·2 + 1·2·3·3 + 1·2·3·4·4 + ···, при котором эта сумма станет больше 120. Кроме этого вывести на экран значение последнего сла­гаемого и его номер.

12. Не используя массивы, ввести экзаменационные оценки N учеников по К предме­там (N и К задаются). Определить и вывести на экран количество учеников, не по­лучивших:

а) ни одной "пятерки";

б) ни одной оценки выше "тройки".

13. В числовую переменную последовательно вводятся отличные от нуля целые числа. Количество чисел заранее неизвестно. Определить и вывести на экран, какие (четные или нечетные) числа были введены последними и какова их сумма.

14. Ввести с клавиатуры границы диапазона трехзначных натуральных чисел, из кото­рых необходимо напечатать только простые. Определить количество таких чисел и их сумму.

15. Найти максимальное количество слагаемых в сумме членов ряда , при котором эта сумма остается меньше 12. Вывести на экран значение последнего сла­гаемого и его номер.

16. Вычислить последнюю сумму членов ряда , при которой разность между предыду­щим и текущим членами ряда остается больше 0.007. Кроме суммы вывести на эк­ран значение последнего слагаемого и его номер.

17. В числовую переменную последовательно вводятся отличные от нуля целые числа. Количество чисел заранее неизвестно. Определить и вывести на экран, какие (положительные или отрицательные) числа были введены последними и какова их сумма.

18. Вычислить сумму ряда 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ···. Суммирование осуществлять, пока разность между теку­щим и предыдущим членами остается меньше 200. Кроме суммы вывести на экран значение последнего слагаемого и его номер.

19. В числовую переменную последовательно вводятся произвольные числа, не равные нулю. Количество вводимых чисел заранее неизвестно. Определить порядковые номера и значения первого из максимальных и

последнего из минимальных чи­сел этой последовательности, а также произведение двух этих чисел.

20. Вычислить сумму членов ряда . Суммирование осуществлять, пока разность между текущим и предыдущим зна-

 

чениями суммы остается больше 0,001. Кроме этого найти значение последнего слагаемого и его номер.

21. В числовую переменную последовательно вводятся ненулевые целые числа. Коли­чество вводимых чисел заранее неизвестно. Необходимо определить максимальную длину цепочки из подряд идущих положительных чисел и максимальную длину це­почки из подряд идущих отрицательных чисел.

22. В числовую переменную в произвольном порядке последовательно вводятся нуле­вые и положительные числа. Количество вводимых чисел заранее неизвестно. Оп­ределить сумму и количество введенных положительных чисел, а также макси­мальное количество подряд введенных нулевых чисел.

23. В числовую переменную последовательно вводятся произвольные числа, не равные нулю. Количество вводимых чисел заранее неизвестно. Требуется вычислить и на­печатать сумму тех из них, порядковые номера которых являются простыми чис­лами.

24. В числовую переменную последовательно вводятся целые числа, не равные нулю. Количество вводимых чисел заранее неизвестно. Требуется найти сумму тех введен­ных чисел, в которых встречаются две цифры 5.

25. В числовую переменную последовательно вводятся ежедневные замеры дневных температур осенних и зимних дней. Количество вводимых замеров заранее неиз­вестно. Определить количество дней с температурой ниже чем минус 5 градусов, а также максимальное количество подряд идущих дней с нулевой температурой.

26. В одну и ту же переменную х вводятся вещественные числа по модулю больше 1 и меньше 2. Количество вводимых чисел заранее неизвестно. Для каждого значения х вывести на экран сумму ряда 1 + х + х /2 + х /3 + + х /5 + х /8 + х /13 + х /21 +......, значение последнего слагаемого и его порядковый номер. Суммирование выполнять до тех пор, пока модуль разности между текущим и предыдущим членами остается больше 0.0001.

 

Глава 2. СТРУКТУРИЗАЦИЯ ПРОГРАММНЫХ ДАННЫХ

 

 

2.1. Массивы

 

 

Задачи, решаемые на ЭВМ, являются математическими моделями процессов или явлений реальной жизни. В математической модели находят отражение наиболее существенные связи между реальными объектами. Модели реальных объектов вместе с присущими им связями образуют структуры данных, процесс обработки которых и описывается с помощью алгоритмов.

Разные классы решаемых на ЭВМ задач характеризуются и разными структурами данных, что находит отражение и в соответствующих языках программирования.

Рассмотрим наиболее часто используемые структуры данных языка Турбо Паскаль.

Необходимость в массивах возникает всякий раз, когда при решении задачи приходится иметь дело с большим, но конечным количеством однотипных упорядоченных данных. Допустим, что требуется вычислить значение многочлена Р (объект задачи):

Р = а + bх + сx² + dx³ + ех⁴ + fx⁵,

где a, b, c, d,e, f — коэффициенты многочлена (объекты задачи арифметического типа). В алгоритме это переменные и их количество (шесть) определено в постановке задачи, т.е. к моменту разработки алгоритма.

Удобно такие разрозненные переменные объединить в совокупность — массив, именуяих затем общим именем (именем массива) и индексами (номерами в массиве). В рассматриваемом примере введем мас­сив А с шестью элементами (а ₁— а ₆):

Р = а ₁ + а ₂ х + а ₃ а ² + а ₄ х ³ + а ₅ х ⁴+ а ₆ х ⁵.

Массив А представляет собой одномерный массив, так как для индексации его элементов используется один индекс.

В задачах используются не только одномерные, но и многомерные мас­сивы, в частности двумерные. Для индексации элементов двумерного массива указываются два индекса — номер строки и номер столбца. Для наглядности такой массив представляется в виде матрицы, состоящей из m строк и n столбцов.

Например, оценки трех учеников по четырем предметам можно представить массивом Х из 3 строк и 4 столбцов:

Х ₁₁ X ₁₂ Х ₁₃ X ₁₄

X ₂₁ X ₂₂ Х ₂₃ Х ₂₄

Х ₃₁ Х ₃₂ Х ₃₃ Х ₃₄

При этом одномерные массивы часто называют векторами, а двумерные - матрицами.

Массиву дается имя и указывается его размер.

Итак, массив - это поименованный упорядоченный набор фиксированного количества некоторых однотипных значений (компонент массива).

Имя всего массива называют полной переменной, поскольку ее значение есть весь массив.

К каждой компоненте массива имеется прямой доступ. Для этого после имени массива следует указать в квадратных скобках индекс компоненты, например Х[10], MATR[4,5]. Такие переменные называются переменными с индексом, или индексными переменными. Значением такой переменной является не весь массив, а отдельная компонента, номер которой задается индексом. Поэтому переменную с индексом называют еще частичной переменной. Отметим, что в двумерном массиве первый индекс указывает номер строки, а второй - номер столбца.

В общем случае в качестве индекса может быть использована не только константа, но и выражение, значение которого и определяет номер компоненты массива. При этом важно, что в индексное выражение могут входить переменные, так что при изменении их значений меняется и значение индекса, которое определяет номер компоненты массива, например А[К]; А[I + J]; X[1,J]; X[I + 2J]. Таким образом, одна и та же переменная с индексом в процессе выполнения программы может обозначать различные компоненты массива. Очень важно в таких случаях помнить, что переменные, используемые для индексации, к моменту обработки элементов массивов должны быть определены.

Возможны не только арифметические массивы, но массивы других ти­пов, в частности строковые. Например, список фамилий (объект задачи) можно рассматривать как одномерный строковый массив.