Свойства транспонированных матриц

Свойства транспонированных матриц

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц. Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц

При транспонировании можно выносить скаляр

. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

 

2. Определители и их свойства

.Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равны)

 

Меняя столбцы или строки местами, величина определителя не меняется.

Перестановив строки или столбцы местами определитель умножается на -1.

Если есть нулевая строка(столбец) то определитель равен нулю

Раевн нулю если есть пропорциональные или равные строки

Если к элементам одной строки(столбца) прибавить элементы другого столбца(строки)

То величина определителя не изменится.

 

3. Определение минора и алгебраического дополнения данного элемента матрицы. Две теоремы связанные с понятием алгебраического дополнения

Минором элемента определителя – го порядка называют определитель – го порядка, который получается из данного определителя вычеркиванием - й строки и – го столбца, на пересечении которых стоит элемент .

 

Алгебраическим дополнением элемента определителя – го порядка называют его минор, взятый со знаком плюс, если – четное число и со знаком минус в противном случае.

Обозначение: .

Теорема (о разложении определителя по заданной строке или столбцу). Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

 

4. Понятие обратной матрицы теорема о существовании обратной матрицы

.Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая

A^-1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)

Справедлива следующая теорема:

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

 

5. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей. Метод Крамера.

 

5.Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу Х из уравнения АХ = В, необходимо умножить это уравнение на А^-1 слева и справа.

Тогда:

Описание метода(краммер)

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

 

 

6. Метод Гаусса. Теорема о наличии ненулевого решения однородной системы линейных алгебраических уравнений с прямоугольной матрицей А(mxn) при n>m.

Ме́тодГа́усса ^[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

 

Если ранг меньше числа строк то система имеет свободные переменные и бесконечное число решений. Если арнг равен строкам то есть одно решение.

Когда n>m то есть число неизвестных больше то решений очень много.

Пример

Решим систему

Перепишем её в матричном виде:

Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:

Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует линейно независимых решения системы.

Перепишем полученную систему в виде уравнений:

Возьмём и в качестве главных переменных. Тогда:

Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных: и .

Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:

,

а вектора составляют фундаментальную систему решений.

 

 

12. Структура решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

 

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:

— её расширенная матрица.

 

Теорема (об общем решении неоднородных систем).
Пусть (т.е. система (2) совместна), тогда:

§ если , где — число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно;

§ если , то общее решение системы (2) имеет вид , где — общее решение системы (1), называемое общим однородным решением, — частное решение системы (2), называемое частным неоднородным решением.

Пример

Решим систему

Преобразуем её к

Тогда переменные и обязательно будут главными, возьмём также в качестве главной.

Заметим, что является частным решением.

Составим однородную систему:

Тогда, подставив единицу в качестве свободной переменной , получим ФСР однородной системы:

Общее решение системы может быть записано так:

 

13. Теорема о связи ранга квадратной матрицы и ее определителя. Решение однородной и неоднородной систем уравнений с квадратной матрицей.

Пусть . Определитель матрицы равен нулю, так как третья строка равна сумме первых двух. Минор второго порядка, расположенный в первых двух строках и первых двух столбцах, равен . Следовательно, ранг матрицы равен двум, и рассмотренный минор является базисным.

 

14. Понятие геометрического вектора. Линейные операции над векторами.

Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если Могут возникать следующие варианты:

• Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если
• эллипс — при условии D > 0 и Δ I < 0;
• частный случай эллипса — окружность — при условии I ² = 4 D или a ₁₁ = a ₂₂, a ₁₂ = 0;
• мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии Δ I > 0;
• гипербола — при условии D < 0;
• Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если Δ I = 0
• парабола — при условии D = 0.

Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:

• вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;
• пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;
• вырожденная парабола — при условии D = 0:
• пара вещественныхпараллельных прямых — при условии B < 0;
• одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0;
• пара мнимыхпараллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0.

Уравнения

Канонический вид

Вводом новой системы координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному каноническому виду (см. таблицу). Параметры канонических уравнений весьма просто выражаются через инварианты и корни характеристического уравнения (см. выше раздел «Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение»).

Вид кривой	Каноническое уравнение	Инварианты
Невырожденные кривые ()
Эллипс
Гипербола
Парабола
Вырожденные кривые (Δ = 0)
Точка
Две пересекающиеся прямые
Две параллельные прямые
Одна прямая	x ^2 = 0

Для центральной кривой в каноническом виде её центр находится в начале координат.

Через эксцентриситет

Каноническое уравнение любой невырожденной кривой второго порядка при помощи подходящего преобразования начала координат может быть приведено к виду

В этом случае кривая проходит через начало новой системы координат, а ось Ox является осью симметрии кривой. Данное уравнение выражает тот факт, что невырожденная кривая второго порядка является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых (эксцентриситет) от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) постоянно. Кроме того, при кривая является окружностью, при — эллипсом, при — параболой, при — гиперболой.

Уравнение директрисы кривой выражается уравнением а координаты фокуса Директриса перпендикулярна оси симметрии, проходящей через фокус и вершину кривой (фокальная ось). Расстояние между фокусом и директрисой равно

Если кривая второго порядка центральная (эллипс или гипербола), то прямая

является осью симметрии и, следовательно, кривая имеет два фокуса и две директрисы.

Параметр p называется фокальным параметром и равен половине длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной к фокальной оси (фокальная хорда).

Полярные координаты

Если взять в качестве полюса полярной системы координат фокус невырожденной кривой второго порядка, а в качестве полярной оси — её ось симметрии, то в полярных координатах ρ, φ уравнение кривой будет иметь вид

Касательные и нормали

Уравнение касательной к кривой второго порядка f (x, y) в её точке имеет вид:

Уравнение нормали к кривой второго порядка в точке имеет вид

Полюсы и поляры

Уравнение

помимо касательной опряделяет прямую, называемую полярой точки относительно кривой второго порядка, независимо от того, лежит ли эта точка на кривой или нет. При этом точка называется полюсом этой прямой. Поляра точки кривой есть её касательная в этой точке.

Теоремы о полюсах и полярах:

1. Если прямая, проведённая через полюс P, пересекает поляру в точке Q, а кривую второго порядка — в точках R ₁ и R ₂, то точки P и Q гармонически разделяют отрезок R ₁ R ₂, т. е. выполняется условие
   
2. Если точка лежит на некоторой прямой, то её поляра проходит через полюс этой прямой. Если прямая проходит через некоторую точку, то её полюс лежит на поляре этой точки.
3. Диаметр кривой второго порядка есть поляра бесконечно удалённой точки, через которую проходят сопряжённые ему хорды, а центр кривой есть полюс бесконечно удалённой прямой.
4. Фокус кривой есть центр пучка, обладающего тем свойством, что полюс любой его прямой принадлежит перпендикулярной к ней прямой пучка. Директрисса есть поляра фокуса.

Из этих утверждений, в частности, следует, что:

1. если через точку можно провести две касательные к кривой, то то поляра этой точки проходит через точки касания;
2. касательные к кривой в концах диаметра параллельны сопряжённым ему хордам;
3. точка пересечения касательных к кривой в концах любой её хорды, проходящей через фокус, лежит на директриссе;
4. каждая хорда, проходящая через фокус, перпендикулярна к прямой, проведённой через её фокус и точку пересечения касательных в концах хорды.

 

 

26. Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости

 

Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

 

Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

 

27. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.

Угол между двумя прямыми

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых

или

Взаимное расположение прямой и плоскости

Плоскость и прямая

1) пересекаются

2) прямая лежит в плоскости

3) параллельны

Если то случаи 1 - 3 имеют место, когда:

1)

2)

3)

 

37. Точка пересечения прямой и плоскости.

Определение точки пересечения прямой и плоскости

Будем считать, что плоскость задана точкой и двумя векторами и Прямая в пространстве задана двумя точками и (рис.1-1). Если точка является точкой пересечения плоскости и прямой , то ее координаты должны удовлетворять уравнению . С другой стороны, точка принадлежит прямой : . Подставив в уравнение принадлежности точки к плоскости получим следующее: . Откуда следует, что:

 

38. Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую.

 

 

Берём 2 точки на прямой затем

 

уравнение плоскости, проходящей через три точки:

 

39. Расстояние от точки до прямой (в пространстве)

Расстояние точки A (x ₁, y ₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

Правило. Чтобы определить расстояние точки A (x ₁, y ₁) до прямой Ax + By + C = 0, нужно привести уравнение прямой к нормальному виду, взять левую часть полученного уравнения и подставить в нее вместо текущих координат координаты данной точки. Абсолютная величина полученного числа и даст искомое расстояние:

Расстояние от точки до прямой есть всегда величина положительная. Кроме расстояния от точки до прямой, рассматривается еще так называемое отклонение точки от прямой.

Отклонение данной точки от данной прямой есть расстояние от этой точки до прямой, которому приписывается знак плюс, если точка и начало координат находятся по разные стороны от прямой, и знак минус, если точка и начало координат находятся по одну сторону от прямой.

Расстояние от точки до прямой есть абсолютная величина отклонения этой точки от прямой.

 

40. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Определение

Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие элемент из , обозначаемый .

При этом на операции накладываются следующие условия:

1. , для любых (коммутативность сложения);

2. , для любых (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;

4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента).

5. (ассоциативность умножения на скаляр);

6. (умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Простейшие свойства

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.

2. Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

3. для любого .

4. Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

5. для любого .

6. для любых и .

7. для любого .

 

 

43. Определение базиса линейного пространства. Теорема о единственности разложения вектора по данному базису.

Базис - любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов пространства .

Обозначение:

Для каждого вектора существуют числа такие что

Числа называются координатами вектора в базисе () (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора в этом базисе. Употребляется запись:

 

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и –базис . Возьмем произвольный вектор . Так как оба вектора и коллинеарные одной и той же прямой L, то . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как , то найдется (существует) такое число , что и тем самым мы получили разложение вектора по базису векторного пространства

 

44. Координаты вектора линейного пространства в данном базисе. Способ определения линейно зависимости векторов линейного пространства.

. Пусть e₁,e₂,…,e_n – базис пространства V, x,y – произвольные элементы пространства V. При сложении элементов их координаты складываются, при умножении произвольного элемента х на любое число l все координаты этого элемента умножаются на l.

[Док-во]: x=a₁e₁+a₂e₂+…+a_ne_n=_i=1åⁿa_ie_i=(e₁,e₂,…,e_n)(a₁,a₂,…,a_n).

y=b₁e₁+b₂e₂+…+b_ne_n=_i=1åⁿb_ie_i=(e₁,e₂,…,e_n)(b₁,b₂,…,b_n).

1) x+y= _i=1åⁿa_ie_i+_i=1åⁿb_ie_i=_i=1åⁿ(a_I+b_I)e_i=(e₁,e₂,…,e_n)(a₁+b₁,…,a_n+b_n)= (a₁+b₁)e₁+…+(a_n+b_n)e_n;

2) lx=l* _i=1åⁿa_ie_i= _i=1åⁿla_ie_i=(e₁,e₂,…,e_n)(la₁,…,la_n)= (la₁)e₁+…+(la_n)e_n

[Лемма]: Пусть e₁,e₂,…,e_n базис в пространстве V, f₁, f₂,…, f_n – элементы пространства V. Векторы f₁, f₂,…, f_n линейно зависимы в том и только том случае, когда линейно зависимы столбы их координат.

[Док-во]: f₁= (e₁,e₂,…,e_n)(a₁,a₂,…,a_n)

l₁f₁+l₂f₂+…+l_nf_n=(e₁,e₂,…,e_n)[l₁(a¹₁,a¹₂,…,a¹_n)+…+l_n(aⁿ₁,aⁿ₂,…,aⁿ_n)] => вектора f₁,f₂,…,f_nлинейно зависимы в том и только том случае, когда l₁(a¹₁,a¹₂,…,a¹_n)+…+l_n(aⁿ₁,aⁿ₂,…,aⁿ_n) = (0,0,…,0) а это значит, что столбцы их координат должны быть линейно зависимыми.

Система векторов e ₁, e ₂,..., e _k линейного пространства L называется линейно независимой системой, если равенство С₁· e ₁+С₂ ·e ₂+...+С_k · e _k = 0 возможно только когда все коэффициенты С₁, С₂,..., С_k равны нулю.

Здесь 0 — нулевой вектор линейного пространства L, С₁, С₂,..., С_k — числовые коэффициенты.

Если система векторов e ₁, e ₂,..., e _k линейного пространства L не является линейно независимой системой, то она называется линейно зависимой системой векторов.

 

 

45. Связь между базисами линейного пространства. Матрица перехода (теорема о невырожденной матрицы перехода)

Матрица перехода

Ма́трицейперехо́да от базиса к базису является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов вбазисе .

Обозначается

. Так как

.

.

.

.

Матрица перехода это

 

 

46. Преобразование координаты вектора при замене базиса.

. Пусть системы векторов e = {e ₁,..., e _n } и f = {f ₁,..., f _n } — два базиса n -мерного линейного пространства L_n.

Обозначим x_e = (x ₁, x ₂,..., x _n) и x_f = (x' ₁, x' ₂,..., x' _n) — координаты вектора x ∈ L_n соответственно в базисах e и f.

Справедливо следующее x_e = C_e→f·x_f:

Здесь C_e→f — матрица перехода от базиса e к базису f, это матрица, столбцами которой являются координаты базисных векторов f₁,..., f _n в базисе e ₁,..., e _n:

f₁ = с ₁₁· e₂ + с ₂₁ ·e₁+... + с _{n 1} ·e _n, f₂ = с ₁₂· e₁ + с ₂₂ ·e₂+... + с _{n 2} ·e _n, ..., f _n = с _{1 n} · e₂ +... + с _nn ·e _n.

Формулу преобразования координат вектора при изменении базиса принято записывать в виде

x_f = (C_e→f)^{− 1}·x_e

 

 

47. Понятие линейного подпространства. Подпространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.

Подпространство

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество K линейного пространства L такое, что K само является линейным пространством по отношению к определенным в L действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как Lat (L). Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

§ ;

§ для всякого вектора , вектор также принадлежал K, при любом ;

§ для всяких векторов , вектор также принадлежал K.

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

§ для всяких векторов , вектор также принадлежал K для любых .

В частности, пространство, состоящее из одного элемента {θ}, является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.

Свойства подпространств:

§ Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;

§ Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов K_i:

.

В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства.

 

 

48. Линейные операторы (примеры)

Примеры линейных однородных операторов:

§ оператор дифференцирования: ;

§ оператор интегрирования: ;

§ оператор умножения на определённую функцию ;

§ оператор интегрирования с заданным «весом»

§ оператор взятия значения функции f в конкретной точке x ₀: L { f } = f (x ₀)^[4];

§ оператор умножения вектора на матрицу: b = Ax;

§ оператор поворота вектора.

Примеры линейных неоднородных операторов:

§ Любое аффинное преобразование;

§ ;

§ ;

§ ;

где , , — вполне определённые функции, а x (t) — преобразуемая оператором функция.

 

49. Матрица линейного оператора. Определение координат образа вектора линейного пространства при действии на него линейного оператора.

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать опер