Основные действия над матрицами

Основные действия над матрицами

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента. Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной. Определение. Матрица вида.(100)

(010)

(001)

= E,

называется единичной матрицей.

 

Определение. Если a_mn = a_nm, то матрица называется симметрической.

 

Пример. - симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

 

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij ± b_ij

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

 

a (А+В) =aА ± aВ

А(a±b) = aА ± bА

 

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

 

Операция умножения матриц

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A×B = C;

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

 

Свойства операции умножения матриц.

 

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А×Е = Е×А = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A×O = O; O×A = O,

где О – нулевая матрица.

 

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

 

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

 

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

 

5) Если определено произведение АВ, то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство:

(АВ)^Т = В^ТА^Т, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

 

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.

Транспонированная матрица

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ; В = А^Т= ;

 

другими словами, b_ji = a_ij.

 

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:

(ABC)^T = C^TB^TA^T,

при условии, что определено произведение матриц АВС.

 

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число a = 2. Найти А^ТВ+aС.

A^T = ; A^TB = × = = ;

aC = ; А^ТВ+aС = + = .

 

Пример. Найти произведение матриц А = и В = .

АВ = × = .

ВА = × = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А= , В =

АВ = × = = .

Обратная матрица

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

 

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

 

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E Þ , i=(1,n), j=(1,n),

e_ij = 0, i ¹ j,

e_ij = 1, i = j.

Таким образом, получаем систему уравнений:

,

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.

 

Таким образом, А^-1= .

 

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

где М_ji - дополнительный минор элемента а_ji матрицы А.

 

Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.

det A = 4 - 6 = -2.

 

M₁₁=4; M₁₂= 3; M₂₁= 2; M₂₂=1

x₁₁= -2; x₁₂= 1; x₂₁= 3/2; x₂₂= -1/2

 

Таким образом, А^-1= .

 

Cвойства обратных матриц

Укажем следующие свойства обратных матриц:

1) (A^-1)^-1 = A;

 

2) (AB)^-1 = B^-1A^-1

 

3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Пример. Дана матрица А = , найти А³.

А² = АА = = ; A³ = = .

 

Отметим, что матрицы и являются перестановочными.

 

Пример. Вычислить определитель .

 

= -1

 

= -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

 

= = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

 

= = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

 

 

Ранг матрицы

Определение. Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров. Т.е. если у матрицы порядка (m, n) есть отличный от нуля минор порядка r,

r<= min(m, n), а все миноры более высоких порядков равны нулю, то r — ранг матрицы.

Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Элементарные преобразования матрицы

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элемнтам одной строки элементов другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование;

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

. РАНГ СТУПЕНЧАТОЙ МАТРИЦЫ РАВЕН ЧИСЛУ ЕЕ СТРОК

Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел.

Обозначается x = (x ₁, x ₂,..., x_n);

числа x ₁, x ₂, ..., x_n называются компонентами арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число:

для любых x = (x ₁, x ₂,..., x_n), y = (y ₁, y ₂,..., y_n) и любого числа α справедливо:

x + y = (x ₁+ y ₁, x ₂ + y ₂,..., x_n + y_n);α x = (αx ₁, αx ₂,..., α x_n).

Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов Rn.

Вектор θ = (0, 0,..., 0) называется нулевым вектором Rn,

а вектор − x = (−x ₁, −x ₂,..., −x_n) — противоположным вектором для вектора x в Rn.

Для любых векторов x, y и z из Rn и любых чисел α и β справедливо:

1. x + y = x + y, сложение коммутативно;

2. x + (y + z) = (x + y)+ z, сложение ассоциативно;

3. x + θ = x;

4. x + (− x) = θ;

5. α(x + y) = α x + α y, умножение на число дистрибутивно относительно сложения векторов;

6. α(β x) = (αβ) x, умножение на число ассоциативно;

7. (α + β) x = α x + β x, умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

8. 1· x = x.

Пространство Rn − n -мерное векторное пространство, dim Rn = n.

Если в пространстве Rn определен естественный базис e ₁, e ₂,... e _n ,

e ₁= (1, 0, 0,..., 0, 0), e ₂= (0, 1, 0,..., 0, 0),..., e _{n -1}= (0, 0, 0,..., 1, 0), e _n = (0, 0, 0,..., 0, 1),

то компоненты вектора x = (x ₁, x ₂,..., x _n) из Rn являются координатами вектора x в естественном базисе e ₁, e ₂,... e _n:

x = (x ₁, x ₂,..., x _n) = x ₁ e ₁+ x ₂ e ₂+...+ x _n e _n.

Всякое конечномерное n -мерное линейное пространство изоморфно пространству арифметических векторов Rn.

Пример

L − множество 6-мерных арифметических векторов, у которых чётные коомпоненты равны нулю, {x =(x₁, 0, x₂, 0, x₅, 0) } − трёхмерное линейное пространство, изоморфное пространству арифметических векторов R₃.

Действительно.

Как видно из приведенных выше соотношений, множество L − трёхмерное линейное пространство (три вектора e₁, e₂ и e₃ образуют базис), изоморфное пространству трёхмерных арифметических векторов R₃.

Теорема о базисном миноре

Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.
Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.
Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов - линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.

Процесс решения состоит из двух этапов. В первом систему приваодят к ступенчатому виду. Во втором решают ступенчатую систему. Если ступенчатая система оказывается треугольной, то исходная система имеет единственное решение.

Формулы Крамера. Решение неоднородной системы уравнений с неизвестными, имеющей невырожденную основную матрицу системы, находится по формулам

,

где - определитель системы; - определитель матрицы, получаемой из основной матрицы системы заменой её -го столбца столбцом свободных членов.

Примеры

1. Решить систему уравнений

Решение. Будем решать методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем её, вычитая первую строку, умноженную на 2, 3 и 1 соответственно из 2-ой, 3-ей и 4-ой строк:

.

Далее вторую строку, умноженную на 2 и 3, вычтем соответственно из третей и четвёртой строк:

Последняя матрица эквивалентна следующей ступенчатой системе:

Полученная упрощённая система представляет собой систему из двух уравнений для четырёх неизвестных. Следовательно, два из неизвестных можно выбрать за главные, а два - за свободные, через которые будут выражены главные. В качестве главных неизвестных можно выбрать любую пару, если определитель, составленный из коэффициентов, стоящих перед ними, отличен от нуля (базисный

минор). В данной задаче в качестве главных неизвестных можно выбрать .

Действительно, определитель, составленный из их коэффициентов, отличен от нуля:

.

Теперь из второго уравнения выразим через . Затем подставим его в первое уравнение и найдём через . В итоге получим

Переменные принимают произвольные значения. Положив , общее решение системы можно записать в виде

.

Совокупность уравнений

относительна неизвестных x ₁, x ₂,..., x_{n -1}, x_n называется системой линейных алгебраических уравнений.

Числа a_ij — коэффициенты системы, b_i — правые части системы i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n.

Совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, называется решением системы.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, у которой нет решений, называется несовместной.

Каждое решение совместной системы называется частным решением. Совокупность всех решений совместной системы называется общим решением.

Если среди правых частей b_i системы есть хоть одна, отличная от нуля, то система называется неоднородной системой линейных уравнений.

Если все правые части системы равны нулю, то система называется однородной.

Система линейных уравнений может быть записана в матричной форме A·x = b:

Здесь A — матрица системы, b — правая часть системы, x — искомое решение системы.

Иногда удобно записывать систему линейных уравнений в другой матричной форме:

A ⁽¹⁾ x ₁ + A ⁽²⁾ x ₂ +... + A ⁽ⁿ⁾ x_n = b.

Здесь A ⁽¹⁾, A ⁽²⁾,..., A ⁽ⁿ⁾ — столбцы матрицы системы.

Матрица Ap называется расширенной матрицей системы.

Если исследуется неоднородная система A·x = b, b ≠ 0, то система A·x = 0 называется приведенной однородной системой для системы A·x = b.

Две системы относительно одних и тех же неизвестных эквивалентны, если множества их решений совпадают.

Системы A·x = b и B·A·x = B·b эквивалентны, если матрица B невырождена

Примеры линейных пространств.

1). Пространства и ,состоящие из всевозможных (упорядоченных) наборов из n чисел (соответственно -- действительных или комплексных). Сложение и умножение определяются формулами

С этими пространствами вы достаточно хорошо знакомы по курсам алгебры и анализа.

2). Непрерывные (действительные или комплексные) функции на некотором отрезке [ a, b ] с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа образуют линейное пространство C [ a, b ], являющееся одним из важнейших в анализе и уже встречавшееся вам, например, при изучении функциональных рядов.

3). Пространство быстроубывающих функций ,с которым вы работали, изучая преобразование Фурье.

4). Пространство l₂, в котором элементами служат последовательности чисел (действительных или комплексных)

удовлетворяющие условию

с операциями

является линейным пространством. Тот факт, что сумма двух последовательностей, удовлетворяющих условию (1), также удовлетворяет этому условию, вытекает из элементарного неравенства

Конечный набор элементов линейного пространства L называется линейно зависимым, а сами элементы -- линейно зависимыми, если существуют такие числа ,не все равные нулю, что

В противном случае эти элементы называются линейно независимыми. Иными словами, элементы называются линейно независимыми, если из равенства

вытекает, что .

Бесконечная система элементов пространства L называется линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима.

Если в пространстве L можно найти n линейно независимых элементов, а любые n +1 элементов этого пространства линейно зависимы, то говорят, что L имеет размерность n. Если же в L можно указать систему из произвольного конечного числи линейно независимых элементов, то говорят, что пространство L бесконечномерно.

Легко понять, что в приведенных выше примерах 2)-4) пространства бесконечномерны, а в примере 1) -- имеют размерность n.

Непустое подмножество L ' линейного пространства L называется подпространством, если оно само образует линейное пространство по отношению к опрелеленным в L операциям сложения и умножения на число.

Иначе говоря, есть подпространство, если из , следует, что при любых числах .

 

Если каждой паре векторов x, y линейного пространства L поставлено в соответствие действительное число (x, y), так, что для любых x, y и z из L и любого действительного числа α справедливы следующие аксиомы:

(x, y) = (y, x),

(α ·x, y) = α ·(x, y),

(x + y, z) = (x, z) + (y, z),

(x, x) > 0 при x ≠ 0, (0, 0) = 0,

то в пространстве L определено скалярное произведение (x, y).

Если в линейном пространстве определено скалярное произведение, то такое пространство называется евклидовым пространством.

Евклидовы пространства E и E' называются евклидово изоморфными, если они изоморфны как линейные пространства и если

x ∈ E, y ∈ E, x ←→ x' ∈ E', y ←→ y' ∈ E', то (x, y) = (x', y').

Основные действия над матрицами

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента. Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной. Определение. Матрица вида.(100)

(010)

(001)

= E,

называется единичной матрицей.

 

Определение. Если a_mn = a_nm, то матрица называется симметрической.

 

Пример. - симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

 

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij ± b_ij

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

 

a (А+В) =aА ± aВ

А(a±b) = aА ± bА

 

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

 

Операция умножения матриц

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A×B = C;

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

 

Свойства операции умножения матриц.

 

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А×Е = Е×А = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A×O = O; O×A = O,

где О – нулевая матрица.

 

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

 

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

 

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

 

5) Если определено произведение АВ, то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство:

(АВ)^Т = В^ТА^Т, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

 

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.

Транспонированная матрица

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ; В = А^Т= ;

 

другими словами, b_ji = a_ij.

 

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:

(ABC)^T = C^TB^TA^T,

при условии, что определено произведение матриц АВС.

 

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число a = 2. Найти А^ТВ+aС.

A^T = ; A^TB = × = = ;

aC = ; А^ТВ+aС = + = .

 

Пример. Найти произведение матриц А = и В = .

АВ = × = .

ВА = × = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А= , В =

АВ = × = = .