Определители.( детерминанты)

Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

det A = , где

М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

det A =

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

detA = , i = 1,2,…,n.

 

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

 

Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М_1к называется дополнительным минором элемента матрицы a_1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Обратная матрица

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

 

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

 

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E Þ , i=(1,n), j=(1,n),

e_ij = 0, i ¹ j,

e_ij = 1, i = j.

Таким образом, получаем систему уравнений:

,

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.

 

Таким образом, А^-1= .

 

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

где М_ji - дополнительный минор элемента а_ji матрицы А.

 

Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.

det A = 4 - 6 = -2.

 

M₁₁=4; M₁₂= 3; M₂₁= 2; M₂₂=1

x₁₁= -2; x₁₂= 1; x₂₁= 3/2; x₂₂= -1/2

 

Таким образом, А^-1= .

 

Cвойства обратных матриц

Укажем следующие свойства обратных матриц:

1) (A^-1)^-1 = A;

 

2) (AB)^-1 = B^-1A^-1

 

3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Пример. Дана матрица А = , найти А³.

А² = АА = = ; A³ = = .

 

Отметим, что матрицы и являются перестановочными.

 

Пример. Вычислить определитель .

 

= -1

 

= -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

 

= = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

 

= = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

 

 

Ранг матрицы

Определение. Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров. Т.е. если у матрицы порядка (m, n) есть отличный от нуля минор порядка r,

r<= min(m, n), а все миноры более высоких порядков равны нулю, то r — ранг матрицы.

Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Элементарные преобразования матрицы

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элемнтам одной строки элементов другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование;

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

. РАНГ СТУПЕНЧАТОЙ МАТРИЦЫ РАВЕН ЧИСЛУ ЕЕ СТРОК

Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел.

Обозначается x = (x ₁, x ₂,..., x_n);

числа x ₁, x ₂, ..., x_n называются компонентами арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число:

для любых x = (x ₁, x ₂,..., x_n), y = (y ₁, y ₂,..., y_n) и любого числа α справедливо:

x + y = (x ₁+ y ₁, x ₂ + y ₂,..., x_n + y_n);α x = (αx ₁, αx ₂,..., α x_n).

Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов Rn.

Вектор θ = (0, 0,..., 0) называется нулевым вектором Rn,

а вектор − x = (−x ₁, −x ₂,..., −x_n) — противоположным вектором для вектора x в Rn.

Для любых векторов x, y и z из Rn и любых чисел α и β справедливо:

1. x + y = x + y, сложение коммутативно;

2. x + (y + z) = (x + y)+ z, сложение ассоциативно;

3. x + θ = x;

4. x + (− x) = θ;

5. α(x + y) = α x + α y, умножение на число дистрибутивно относительно сложения векторов;

6. α(β x) = (αβ) x, умножение на число ассоциативно;

7. (α + β) x = α x + β x, умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

8. 1· x = x.

Пространство Rn − n -мерное векторное пространство, dim Rn = n.

Если в пространстве Rn определен естественный базис e ₁, e ₂,... e _n ,

e ₁= (1, 0, 0,..., 0, 0), e ₂= (0, 1, 0,..., 0, 0),..., e _{n -1}= (0, 0, 0,..., 1, 0), e _n = (0, 0, 0,..., 0, 1),

то компоненты вектора x = (x ₁, x ₂,..., x _n) из Rn являются координатами вектора x в естественном базисе e ₁, e ₂,... e _n:

x = (x ₁, x ₂,..., x _n) = x ₁ e ₁+ x ₂ e ₂+...+ x _n e _n.

Всякое конечномерное n -мерное линейное пространство изоморфно пространству арифметических векторов Rn.

Пример

L − множество 6-мерных арифметических векторов, у которых чётные коомпоненты равны нулю, {x =(x₁, 0, x₂, 0, x₅, 0) } − трёхмерное линейное пространство, изоморфное пространству арифметических векторов R₃.

Действительно.

Как видно из приведенных выше соотношений, множество L − трёхмерное линейное пространство (три вектора e₁, e₂ и e₃ образуют базис), изоморфное пространству трёхмерных арифметических векторов R₃.