Матрицы и действия с матрицами.

Введение

Настоящее пособие предназначено для знакомства с основами линейной алгебры и содержит разделы, посвященные теории матриц и теории систем линейных уравнений. Оно предназначено студентам 1-го курса и может быть полезно всем, кого интересует простое и компактное изучение материала.

В каждом параграфе, кроме краткого изложения теории, содержатся примеры с решениями и упражнения для самостоятельного решения. Приведены также типовые индивидуальные задания.

Нумерация формул и рисунков в пособии сквозная. Ключевые слова в определениях и формулировках утверждений выделены курсивом.

С развитием компьютерной техники появилась возможность решать многие задачи линейной алгебры, не очень доступные в недалеком прошлом ввиду сложности вычислений. Как известно, для решения математических задач существует много различных программных пакетов. Универсальным пакетом является пакет MATHEMATICA. Примеры вычислений в пакете MATHEMATICA в приложении. Освоив предложенные в пособии методы вручную, рекомендуем проделать вычисления с использованием компьютера.

 

Литература.

 

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1977.

2. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. – СПб.: Издательство «Лань», 1998.

3. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И., Соболев С.К. Вся высшая математика: Учебник. Т. 1. – М.: Эдиториал УРСС, 2000.

4. Данко П.Е, Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1999. Ч.1.- 304 с. - Ч.2. - 416 с.

5. Фридман Г. Н., Леора С.Н. Математика & Mathematica. Избранные задачи для избранных студентов. – Невский Диалект, БХВ-Петербург, 2010, 299 с.

 

 

 

Упражнения.

Даны матрицы:

Выполнить действия:

1) . 2) . 3) . 4) . 5) .

Ответы:

1) . 2) . 3) . 4) . 5) .

 

6. Вычислить , если удовлетворяют условию . Ответ: .

7. Найти , если . Ответ: .

8. Вычислить . Ответ: .

 

 

Определители

 

Определителем (детерминантом) n -го порядка называется числовая характеристика квадратной матрицы A размера , вычисляемая по определенному правилу (см., например, ). Обозначается определитель одним из символов .

Определитель первого порядка – определитель для матрицы размера , состоящей из одного числа, равен самому числу.

.

Минором определителя -го порядка называется определитель, полученный из данного вычеркиванием - ой строки и -го столбца.

В общем случае минором прямоугольной матрицы называется любой определитель, полученный из нее в результате вычеркивания каких-то строк или столбцов. В частности, сам определитель квадратной матрицы тоже является ее минором. Миноры выделены в силу их важности для приложений, что видно из формул (1)-(2).

Алгебраическим дополнением к элементу определителя называется выражение

.

Для вычисления определителя -го порядка справедливы рекуррентные формулы через определители ()-го порядка.

 

(1)

или

. (2)

Формулы (1)-(2) представляют разложение определителя по элементам строки (столбца) и в частности показывают, что определитель не изменяется при перестановке строк со столбцами, т.е. определители исходной матрицы и транспонированной к ней равны.

Для определителей второго и третьего порядков тогда имеем:

. (3)

(4)

При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться следующей схемой (схема Саррюса):

.

Определитель равен алгебраической сумме произведений элементов, соединенных одной непрерывной линией. Для определителей порядка выше третьего подобных схем не составлено.

 

Свойства определителей.

Так как определитель не меняется при транспонировании матрицы, свойства, приведенные ниже для строк, справедливы и для столбцов.

1. Определитель, имеющий нулевую строку равен нулю.

2. Определитель, у которого две строки равны или пропорциональны, равен нулю.

3. Общий множитель строки можно выносить за знак определителя.

4. Перестановка двух строк определителя изменяет знак определителя.

5. Если строку определителя умножить на постоянное число и прибавить к другой строке, то определитель не изменится.

6. Сумма произведений элементов строки на соответствующие алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

7. Определитель можно представить в виде суммы определителей согласно формуле

.

8. Определитель .

То есть определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

9. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц: .

►Пример 2. Разложить по элементам третьей строки и вычислить определитель

.

Решение.

Воспользуемся формулой (1), а определители третьего порядка вычислим по схеме Саррюса

. ◄

 

►Пример 3. Решить уравнение .

Решение.

По формуле (3) раскроем определитель, а затем решим уравнение

. ◄

 

►Пример 4. Найти определитель .

Решение.

Все столбцы, начиная со второго, прибавим к первому столбцу, вынесем общий множитель из вновь полученного первого столбца, а затем первую строку вычтем из всех остальных

 

 

◄

 

Упражнения.

 

1. Вычислить определители.

а) ; б) . в) . г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) .

Ответы: а) -12; б)29; в)87; г) д) 0; е) 48; ж)160; з) ;и)394; к) 665.

2. Найти значение , при котором . Ответ: -3.

3. Найти положительное значение , если . Ответ: 2.

4. Доказать:

а) ; б) ;

в) ; г) .

 

5. Упростить определитель, разложив его на слагаемые .

Ответ: .

6. Вычислить определители.

а) ; б) .

в) ;г) .

Ответы: а) -1487600; б) -29 400 000; в) ;г) .

 

7. Найти сумму всех алгебраических дополнений определителя . Ответ: .

8. Известно, что числа 20604, 53227, 25755, 20927, 289 делятся на 17. Не вычисляя определителя , показать, что он тоже делится на 17.

9. Пусть - множество вещественных матриц 5-го порядка. Существует ли такая матрица , что , где Е – единичная матрица? Здесь - множество всех квадратных матриц размера , элементами которых являются действительные числа.

 

Упражнения.

1. Для заданных матриц найти обратную матрицу.

а) ; б) ;в) ;г) ;д) .

Ответы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

2. Найти неизвестную матрицу из уравнений.

 

а) ; б) ;в) ;

 

г) ; д) .

 

Ответы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

 

Ранг матрицы

 

Рангом матрицы (обозначение: ) называется порядок отличного от нуля минора этой матрицы при условии, что все ее миноры высших порядков равны нулю. Минор наивысшего порядка, отличный от нуля, называется базисным минором или просто б азисом. Матрица может иметь несколько различных базисов. Для определения базиса над матрицей производят элементарные преобразования, при которых ранг матрицы не изменяется.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

- транспонирование;

- удаление или добавление строки (столбца), состоящей из нулей;

- умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

- перестановка строк (столбцов);

-прибавление к элементам какой-либо строки элементов другой строки, умноженных на постоянное число (тоже для столбцов).

Выполняя элементарные преобразования над матрицей, получаем другую матрицу, называемую эквивалентной. Переход от исходной матрицы к эквивалентной обычно обозначается символом или .

Используя перечисленные действия, матрицу можно преобразовать к треугольному виду, что позволяет легко определить ее ранг.

 

►Пример 7. Найти ранг матрицы .

Решение.

Минор , а все миноры четвертого порядка равны нулю, т.к. содержат нулевую строку. Следовательно, . ◄

При преобразовании матрицы мы проводили операции только со строками и по определенному алгоритму. Этот метод стандартный, но не является обязательным.

С рангом матрицы связано понятие линейно зависимых (независимых) векторов. Пусть в пространстве (множестве векторов с операциями сложения и умножения на число) имеется система из векторов

Линейной комбинацией векторов , называется выражение

,

где - числа.

Если , то, комбинация , называется тривиальной комбинацией. Она, очевидно, равна =(0,0,..,0), где - нулевой вектор.

Векторы называются линейно независимыми, если любая нетривиальная комбинация этих векторов не равна нулевому вектору.

Векторы называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору.

Если система из векторов линейно зависима, то один из них есть линейная комбинация остальных.

Ранг матрицы определяет наибольшее число линейно независимых строк (столбцов), рассматриваемых как векторы. Так в матрице из примера 7 три первых строки линейно независимы, а две другие являются их линейной комбинацией. Например, для четвертой строки справедливо:

.

Матрица имеет и ровно три линейно независимых столбца. Например, для пятого столбца имеем

.

Упражнения.

1. Найти ранг матриц:

а) ; б) ; в) ;

г) . Ответы: а) 4; б) 2; в) 4; г) 3.

2. Для матрицы примера 7 получить линейную комбинацию первых трех строк, равную пятой строке. Ответ: .

 

Системы линейных уравнений. Основные понятия.

 

Системой линейных уравнений с неизвестными (линейной системой) называется система вида

(7)

где - числа. Числа называются коэффициентами системы, а числа - свободными членами.

Линейная система называется однородно й, если все свободные члены равны нулю.

(8)

В противном случае линейная система называется неоднородной.

Решением системы (7) называется упорядоченная совокупность чисел:

, (9)

при подстановке которых вместо каждое уравнение системы обращается в тождество.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая ни одного решения, - несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Однородная система (8) всегда совместна, так как она имеет очевидное решение: . Нулевое решение однородной системы называется тривиальным.

Две системы называются равносильными или эквивалентными, если любое решение одной из них является также решением и другой, и обратно, т.е. они имеют одно и то же множество решений. В частности, любые две несовместные системы являются эквивалентными.

Линейную систему можно записать в матричной форме. Введем матрицы

– матрица коэффициентов при неизвестных,

 

- матрица-столбец свободных членов,

- матрица-столбец неизвестных.

Тогда систему (7) можно записать в виде матричного уравнения

,

а решение (9) в виде матрицы-столбца .

 

Матрица коэффициентов

называется основной матрицей системы. Матрица, составленная из коэффициентов и свободных членов,

называется расширенной матрицей системы.

Выражение «решить систему» означает: выяснить, совместна или несовместна система, а в случае совместности – найти все ее решения.

 

Теорема Крамера.

 

Дана система, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных

(10)

Определитель, составленный из коэффициентов системы

,

называется главным определителем системы.

Если главный определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение и , где

Определители , получены из главного определителя заменой соответствующего столбца на столбец свободных членов.

 

►Пример 8. По формулам Крамера найти решение системы уравнений

Решение.

Вычислим определители и найдем решение

Ответ: .◄

Упражнения.

Решить системы по формулам Крамера.

1) 2) 3)

Ответы: 1) , 2) , 3) .

 

Упражнения.

Найти решение систем с помощью обратной матрицы.

 

а) б) в)

г) Ответы: а) ; б) ; в) 4 г) .

 

Упражнения.

Исследовать и решить системы уравнений.

1. Ответ: .

 

2. Ответ: .

 

3. Ответ: .

 

4. Ответ: .

 

5. Ответ: .

 

6. Ответ: .

7. Ответ: .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

 

10. Ответ:

 

Однородные системы

 

Система однородных уравнений всегда совместна. Если ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных, то система имеет единственное нулевое (тривиальное) решение.

Если ранг матрицы однородной системы на единицу меньше числа неизвестных, то система имеет одну степень свободы, и ее решение можно записать через миноры матрицы коэффициентов. Для этого в матрице коэффициентов необходимо оставить линейно независимых строк, а затем вычислить миноры, поочередно вычеркивая столбцы и изменяя знак при каждом переходе.

Так для системы двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными

решение имеет вид

, где принимает любое значение.

 

►Пример 13. Решить систему

Решение.

Матрица коэффициентов . Определитель Минор Следовательно, ранг матрицы коэффициентов равен двум и на единицу меньше числа неизвестных. Оставив две линейно независимых строки в матрице , получаем

.

Ответ запишем в виде вектора . ◄

Упражнения.

Решить системы.

1) 2) 3)

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; .

 

Упражнения.

Найти собственные числа, и для действительных собственных чисел найти собственные векторы матриц:

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) .

Ответы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

 

 

 

Индивидуальное задание

 

 

1. Вычислить определители:

, , .

2. Даны матрицы:

, , , .

Вычислить:

a) , где - единичная матрица.

b) (вычисления проводить, сохраняя три знака после запятой).

 

3. Решить матричное уравнение (найти матрицу ).

 

.

 

4. Решить системы уравнений двумя способами: по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы.

а) б)

 

5. Исследовать системы уравнений и найти решение, если оно существует.

а)

 

б)

 

в)

 

6. Исследовать и решить системы уравнений.

а)

 

б)

 

в)

Приложение

В приложении приведены примеры работы с матрицами и примеры решения систем с использованием математического пакета MATHEMATICA Первоначально студент должен ознакомиться с работой интерфейса. Для любой работы необходимо знать операции ввода, вывода результатов; команды для выполнения операций.

Ввод данных осуществляется через знак «=». Программа подтверждает ввод строкой «In[1]:=…». Результат выполнения операции находится в строке, начинающейся словом «Out[1]=». Номера в квадратных скобках ввода и вывода совпадают.

Выполнение любой операции происходит по команде со строгим выполнением заданного формата.

Найти эти форматы можно в справке VIRTUAL BOOK. Там же приведены примеры выполнения операций. Ниже приведен ряд команд для выполнения заданий по теме.

 

Ввод матрицы.

In[4]:= m1 = {{2, -5, 4}, {3, -1, 8}, {2, 6, 1}, {-1, 3, 4}}
Out[4]= {{2, -5, 4}, {3, -1, 8}, {2, 6, 1}, {-1, 3, 4}}

Имя матрицы m1. Сама матрица вводится построчно с использование фигурных скобок.

 

Умножение матриц.
In[1]:= m2 = {{1, 6, 4}, {-4, -2, 4}, {3, 1, 8}}
In[1]:= m3 = {{2, -1, 2, 6}, {-5, 5, -2, 3}
Out[1]= {{1, 6, 4}, {-4, -2, 4}, {3, 1, 8}}
Out[2]= {{2, -1, 2, 6}, {-5, 5, -2, 3}}
In[7]:= m1.m2
Out[7]= {{34, 26, 20}, {31, 28, 72}, {-19, 1, 40}, {-1, -8, 40}}

Команда для умножении «.».

 

Вычисление определителя.

In[10]:= Det[m2]
Out[10]= 252

Матрица m2 введена выше.

 

Нахождение обратной матрицы.
In[8]:= Inverse[m2]
Out[8]= {{-(5/63), -(11/63), 8/63}, {11/63, -(1/63), -(5/63)}, {1/126, 17/252, 11/ 126}}

Вычисление собственных чисел и собственных векторов.
In[14]:= Eigenvalues[{{1, 2}, {2, 1}}]
Out[14]= {3, -1}
In[16]:= Eigenvectors[{{1, 2}, {2, 1}}]
Out[16]= {{1, 1}, {-1, 1}}.

 

m4 = {{2, 1}, {8, 7}, {3, -5}, {-4, 6}}

 

Определение ранга матрицы.

In[18]:= MatrixRank[m1]
Out[18]= 3

Решение систем линейных уравнений.
In[17]:= Solve[{2 x + y - z + 2 t == 12, -x + 2 y + 4 z + 3 t == 4,
2 x + y + 4 z - 2 t == -10, x + 3 y + 5 z + 2 t == 3}, {x, y, z, t}]
Out[17]= {{x -> 1, y -> 2, z -> -2, t -> 3}}.

В этом примере система имеет единственное решение. Вместо знака равенства в ответе используется «->». Ниже система, имеющая множество решений и система, не имеющая решений.

 

In[20]:= Solve[{x + y + z == 4, 2 x + y + z == 5, 3 x + 2 y + 2 z == 9}, {x, y, z}]
Equations may not give solutions for all"solve",
In[20]:= Solve[{x + y + z == 4, 2 x + y + z == 5, 3 x + 2 y + 2 z == 10}, {x, y, z}]
Out[20]= {{x -> 1, y -> 3 - z}}
Out[21]= {}

 

Наряду со строчной записью ввода вывода использоваться записью матриц и других математических объектов в привычном виде. Для этого можно использовать команду TraditionalForm

 

Введение

Настоящее пособие предназначено для знакомства с основами линейной алгебры и содержит разделы, посвященные теории матриц и теории систем линейных уравнений. Оно предназначено студентам 1-го курса и может быть полезно всем, кого интересует простое и компактное изучение материала.

В каждом параграфе, кроме краткого изложения теории, содержатся примеры с решениями и упражнения для самостоятельного решения. Приведены также типовые индивидуальные задания.

Нумерация формул и рисунков в пособии сквозная. Ключевые слова в определениях и формулировках утверждений выделены курсивом.

С развитием компьютерной техники появилась возможность решать многие задачи линейной алгебры, не очень доступные в недалеком прошлом ввиду сложности вычислений. Как известно, для решения математических задач существует много различных программных пакетов. Универсальным пакетом является пакет MATHEMATICA. Примеры вычислений в пакете MATHEMATICA в приложении. Освоив предложенные в пособии методы вручную, рекомендуем проделать вычисления с использованием компьютера.

 

Литература.

 

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1977.

2. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. – СПб.: Издательство «Лань», 1998.

3. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И., Соболев С.К. Вся высшая математика: Учебник. Т. 1. – М.: Эдиториал УРСС, 2000.

4. Данко П.Е, Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1999. Ч.1.- 304 с. - Ч.2. - 416 с.

5. Фридман Г. Н., Леора С.Н. Математика & Mathematica. Избранные задачи для избранных студентов. – Невский Диалект, БХВ-Петербург, 2010, 299 с.

 

 

 

Матрицы и действия с матрицами.

 

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Матрицы обозначают прописными (заглавными) буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы [1] и обозначаются строчными буквами с двойным индексом: , где первый индекс () соответствует номеру строки, а второй индекс () – номеру столбца. Матрица размера может быть записана в одном из видов

.

либо

При необходимости указать размер матрицы будем использовать запись .

Элементы матрицы, имеющие одинаковые индексы, называются диагональными. Матрица, у которой ниже главной диагонали стоят нули, называется треугольной.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца – матрицей-столбцом. Обе такие матрицы называют также вектором.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается .

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк (столбцов) порядком матрицы.

Квадратная матрица, у которой только диагональные элементы могут быть не равны нулю, называется диагональной матрицей

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется е диничной матрицей и обозначается .

Матрица, полученная из исходной перестановкой строк со столбцами, называется транспонированной по отношению к исходной и обозначается : .

Заметим, что .

В математике матрица рассматривается как самостоятельный математический объект, с которым можно производить различные действия.

1. Сравнение матриц. Две матрицы равны, если они имеют одинаковый размер и соответствующие элементы равны:

.

2. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число надо умножить на это число все элементы матрицы:

.

3. Сложение (вычитание) матриц. Сложение (вычитание) матриц проводится поэлементно и возможно для матриц одного размера:

. Для перечисленных выше действий справедливы следующие свойства:

4. Умножение матриц. Матрицы перемножаются по правилу строки на столбец.

 

Рис.1

А именно, элементы, соединенные одной линией перемножаются, а затем результаты складываются. Для того чтобы получить элемент матрицы надо каждый элемент -ой строки матрицы умножить на соответствующий по порядку элемент - го столбца и результаты сложить.

►Пример 1. Даны матрицы . Найти .

Решение.

.

◄

Умножение матриц возможно только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Результат умножения – матрица, имеющая число строк, совпадающее с числом строк первой матрицы, и число столбцов равное числу столбцов второй матрицы. При умножении матрицы на вектор-столбец получаем вектор-столбец. При умножении матрицы на транспонированную матрицу получаем квадратную матрицу.

Умножение матриц не коммутативно (см. пример 1). Более того, при перестановке (коммутации) матриц подчас умножение не всегда возможно. Те квадратные матрицы, для которых выполнено свойство , называются коммутативными.