Теорема (Кронекера-Капелли).

Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы () был равен рангу расширенной матрицы ().

Пусть = = . Тогда верны следующие утверждения.

Следствие 1. Если ранг матрицы равен числу неизвестных , то система имеет единственное решение.

Следствие 2. Если ранг матрицы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. При этом неизвестных, которые называются свободными, принимают произвольные значения. Говорят, что система имеет степеней свободы.

Метод Гаусса (исключение неизвестных) состоит в том, что с помощью умножения уравнений на ненулевые числа и сложения в первом уравнении оставляем все неизвестные, во втором на одно меньше, в третьем на два меньше и т.д. Эту операцию (назовем ее процедурой Гаусса) удобно проводить, используя матрицы.

Составим расширенную матрицу систему и отделим для удобства свободные члены вертикальной линией. С помощью элементарных преобразований приводим матрицу к треугольному виду. Элементарные преобразования матрицы проводим только для строк.

Умножая первую строку на соответствующие коэффициенты и прибавляя к лежащим ниже строкам, получим нули в первом столбце. Затем проделываем такую же процедуру со второй строкой, третьей и т.д., до предпоследней строки. В результате преобразований получаем матрицу, по которой можно записать систему, равносильную исходной.

Рассмотрим три ситуации, возникающие при исследовании линейных систем.

1) . Система несовместна.

►Пример 10.

Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение.

Составим расширенную матрицу и преобразуем ее

 

.

Для удобства вычислений переставим четвертую строку на место второй и за счет второй строки получим нули во втором столбце во всех строках ниже второй, а затем за счет третьей строки - в третьем столбце.

В четвертой строке легко было получить нули, умножив третью строку на минус единицу и прибавив ее к четвертой. Мы не упрощали вычислений, чтобы сохранить алгоритм получения нулей в нижележащих строках за один шаг.

По преобразованной матрице определяем ранги: , , следовательно, данная система уравнений несовместна.

.

Ответ: система не имеет решений. ◄

 

2) . Система совместна и имеет единственное решение. В результате преобразований приходим к ступенчатой системе, решение которой легко находится.

►Пример 11. Решить систему уравнений методом Гаусса

Решение.

Ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных. Следовательно, система совместна и имеет единственное решение. По преобразованной матрице составляем систему, равносильную исходной

Полученная система имеет ступенчатый вид и легко решается.

Ответ: .◄

 

3) . Система совместна, но имеет бесконечное множество решений. Это множество решений находим, перенося члены со свободными неизвестными в правую часть уравнений.

Рассмотрим запись решения таких систем в матричной форме.

Пусть дана система

и известно, что . Тогда система имеет степеней свободы, т.е. неизвестных принимают произвольные значения, а неизвестных выражаются через них. Минор, не равный нулю, напоминаем, называется базисным. Не уменьшая общности, будем считать, что базисный минор системы занимает в ней верхний левый угол. Обозначим этот минор :

.

Минор является базисным и для матрицы , поэтому строки с номерами являются линейными комбинациями первых строк и система эквивалентна системе из уравнений (свободные неизвестные перенесены в правую часть)

Решая эту систему по методу Крамера, имеем

,

где

- определитель, полученный из базисного заменой го столбца на столбец правой части системы. Пользуясь свойствами определителей, имеем

. (11)

Символ: ,- означает, что й столбец базисного минора заменен на столбец коэффициентов при неизвестном . Вектор , является решением системы, Главный определитель системы совпадает с базисным минором, а свободные члены равны коэффициентам при неизвестном . Введем обозначения

.

Тогда множество решений системы можно записать в виде

(12)

Для вычисления полагаем свободные неизвестные равными нулю. Для вычисления полагаем свободные члены равными нулю, , а остальные свободные неизвестные равными нулю.

. Выбор свободных неизвестных, вообще говоря, можно делать по-разному. Однако не всякие неизвестных можно принять за свободные. Необходимо, чтобы коэффициенты при остальных неизвестных составили базисный минор.

►Пример 12. Решить систему уравнений

Решение.

Преобразуем расширенную матрицу системы

.

Ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы , но меньше числа неизвестных. Следовательно, система совместна, но имеет бесконечное множество решений. Число степеней свободы равно двум. Выберем свободными неизвестными и выразим через них.

отсюда получаем

Ответ запишем в виде вектора-столбца.

Ответ: . ◄

Получим также решение заданной системы, используя формулу (11). Положим .

Получаем вектор .

Положим .

 

Получаем вектор .

Положим .

Получаем вектор .

Окончательное решение: ◄

Упражнения.

Исследовать и решить системы уравнений.

1. Ответ: .

 

2. Ответ: .

 

3. Ответ: .

 

4. Ответ: .

 

5. Ответ: .

 

6. Ответ: .

7. Ответ: .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

 

10. Ответ:

 

Однородные системы

 

Система однородных уравнений всегда совместна. Если ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных, то система имеет единственное нулевое (тривиальное) решение.

Если ранг матрицы однородной системы на единицу меньше числа неизвестных, то система имеет одну степень свободы, и ее решение можно записать через миноры матрицы коэффициентов. Для этого в матрице коэффициентов необходимо оставить линейно независимых строк, а затем вычислить миноры, поочередно вычеркивая столбцы и изменяя знак при каждом переходе.

Так для системы двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными

решение имеет вид

, где принимает любое значение.

 

►Пример 13. Решить систему

Решение.

Матрица коэффициентов . Определитель Минор Следовательно, ранг матрицы коэффициентов равен двум и на единицу меньше числа неизвестных. Оставив две линейно независимых строки в матрице , получаем

.

Ответ запишем в виде вектора . ◄

Упражнения.

Решить системы.

1) 2) 3)

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; .