Собственные значения и собственные векторы матрицы

 

Комплексное число называется собственным числом квадратной матрицы , если существует ненулевой вектор (матрица-столбец) , такой, что выполнено равенство

. (13)

Вектор называется в этом случае собственным вектором матрицы , соответствующим числу .

Такой собственный вектор – не единственный, т.к., если удовлетворяет уравнению (13), то и вектор - тоже удовлетворяет, где t – любое число, не равное нулю. Следовательно, собственный вектор определяется с точностью до множителя.

 

 

Матричное уравнение (13) эквивалентно однородной системе

(14)

Для того чтобы система (14) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю:

(15)

Уравнение (15) называется характеристическим для матрицы и представляет собой алгебраическое уравнение - ой степени относительно . Его корни и являются собственными числами матрицы .

Если матрица - диагональная, т.е.

, (16)

с разными числами по диагонали (), то собственные числа совпадают с диагональными элементами матрицы .

Как известно из курса алгебры (см, например, ), уравнение (15) имеет, по крайней мере, один корень, а пример с матрицей (16) показывает, что у матрицы размера максимум собственных чисел. Чтобы найти собственные числа, надо решить уравнение (15). Для нахождения собственных векторов решается система (14) при найденных значениях .

►Пример 14. Найти собственные числа матрицы .

Решение.

Составим характеристическое уравнение

.

Вычисляем определитель

 

Уравнение имеет три действительных корня: , которые и являются собственными числами. ◄

Для того чтобы найти собственный вектор, соответствующий собственному числу , надо решить систему (14), подставив в нее значение числа .

►Пример 15. Найти собственные векторыдля матрицы примера 14.

Решение.

Найдем собственный вектор для числа . Для этого решим однородную систему

Ранг матрицы этой системы равен двум, на единицу меньше числа неизвестных. Решение найдем через миноры матрицы :

Итак, собственный вектор имеет вид , где любое число, не равное нулю. Ответ можно писать при t =1, помня замечание, приведенное выше.

Аналогично находятся два других вектора. Советуем студентам найти их самостоятельно. ◄

Упражнения.

Найти собственные числа, и для действительных собственных чисел найти собственные векторы матриц:

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) .

Ответы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

 

 

 

Индивидуальное задание

 

 

1. Вычислить определители:

, , .

2. Даны матрицы:

, , , .

Вычислить:

a) , где - единичная матрица.

b) (вычисления проводить, сохраняя три знака после запятой).

 

3. Решить матричное уравнение (найти матрицу ).

 

.

 

4. Решить системы уравнений двумя способами: по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы.

а) б)

 

5. Исследовать системы уравнений и найти решение, если оно существует.

а)

 

б)

 

в)

 

6. Исследовать и решить системы уравнений.

а)

 

б)

 

в)

Приложение

В приложении приведены примеры работы с матрицами и примеры решения систем с использованием математического пакета MATHEMATICA Первоначально студент должен ознакомиться с работой интерфейса. Для любой работы необходимо знать операции ввода, вывода результатов; команды для выполнения операций.

Ввод данных осуществляется через знак «=». Программа подтверждает ввод строкой «In[1]:=…». Результат выполнения операции находится в строке, начинающейся словом «Out[1]=». Номера в квадратных скобках ввода и вывода совпадают.

Выполнение любой операции происходит по команде со строгим выполнением заданного формата.

Найти эти форматы можно в справке VIRTUAL BOOK. Там же приведены примеры выполнения операций. Ниже приведен ряд команд для выполнения заданий по теме.

 

Ввод матрицы.

In[4]:= m1 = {{2, -5, 4}, {3, -1, 8}, {2, 6, 1}, {-1, 3, 4}}
Out[4]= {{2, -5, 4}, {3, -1, 8}, {2, 6, 1}, {-1, 3, 4}}

Имя матрицы m1. Сама матрица вводится построчно с использование фигурных скобок.

 

Умножение матриц.
In[1]:= m2 = {{1, 6, 4}, {-4, -2, 4}, {3, 1, 8}}
In[1]:= m3 = {{2, -1, 2, 6}, {-5, 5, -2, 3}
Out[1]= {{1, 6, 4}, {-4, -2, 4}, {3, 1, 8}}
Out[2]= {{2, -1, 2, 6}, {-5, 5, -2, 3}}
In[7]:= m1.m2
Out[7]= {{34, 26, 20}, {31, 28, 72}, {-19, 1, 40}, {-1, -8, 40}}

Команда для умножении «.».

 

Вычисление определителя.

In[10]:= Det[m2]
Out[10]= 252

Матрица m2 введена выше.

 

Нахождение обратной матрицы.
In[8]:= Inverse[m2]
Out[8]= {{-(5/63), -(11/63), 8/63}, {11/63, -(1/63), -(5/63)}, {1/126, 17/252, 11/ 126}}

Вычисление собственных чисел и собственных векторов.
In[14]:= Eigenvalues[{{1, 2}, {2, 1}}]
Out[14]= {3, -1}
In[16]:= Eigenvectors[{{1, 2}, {2, 1}}]
Out[16]= {{1, 1}, {-1, 1}}.

 

m4 = {{2, 1}, {8, 7}, {3, -5}, {-4, 6}}

 

Определение ранга матрицы.

In[18]:= MatrixRank[m1]
Out[18]= 3

Решение систем линейных уравнений.
In[17]:= Solve[{2 x + y - z + 2 t == 12, -x + 2 y + 4 z + 3 t == 4,
2 x + y + 4 z - 2 t == -10, x + 3 y + 5 z + 2 t == 3}, {x, y, z, t}]
Out[17]= {{x -> 1, y -> 2, z -> -2, t -> 3}}.

В этом примере система имеет единственное решение. Вместо знака равенства в ответе используется «->». Ниже система, имеющая множество решений и система, не имеющая решений.

 

In[20]:= Solve[{x + y + z == 4, 2 x + y + z == 5, 3 x + 2 y + 2 z == 9}, {x, y, z}]
Equations may not give solutions for all"solve",
In[20]:= Solve[{x + y + z == 4, 2 x + y + z == 5, 3 x + 2 y + 2 z == 10}, {x, y, z}]
Out[20]= {{x -> 1, y -> 3 - z}}
Out[21]= {}

 

Наряду со строчной записью ввода вывода использоваться записью матриц и других математических объектов в привычном виде. Для этого можно использовать команду TraditionalForm