Решение линейных систем с помощью обратной матрицы

 

Если ввести одностолбцовые матрицы неизвестных

= и свободных членов =, то система (1), с учетом действий над матрицами, примет вид

 

= . (2)

 

Равенство (2) называют матричной формой записи линейной системы (1). Если определитель системы (1) D = det ¹ 0, то матрица системы имеет обратную матрицу . У множив матричное равенство (2) слева на , получим равенство или (так как, ). Следовательно, столбец неизвестных равен произведению на столбец свободных членов.

 

Пример. Решить систему

Матрица системы , а её определитель

det = 24 + 8 –9 – 6 +36 – 8 = 45.

Найдем обратную матрицу .

 

Имеем

Следовательно, = , а столбец неизвестных = = = = .

Таким образом, числа являются решением данной системы.

 

Задание 3. Метод Гаусса. Пусть дана система m уравнений с n неизвестными общего вида

 

(3)

 

Для практического отыскания решений общих линейных систем чаще всего используется метод Гаусса. Этот метод состоит из следующих трех этапов:

1. Записываем расширенную матрицу системы (3) и сверху над каждым столбцом записываем неизвестные, из коэффициентов при которых образован этот столбец

= .

 

2.Приводим расширенную матрицу системы (3) к трапецевидной форме с матрицей . Для этого применяются элементарные преобразования матрицы следующего вида а) перестановка местами двух строк матрицы ; б) умножение строки матрицы на число, отличное от нуля; в) прибавление к одной строке матрицы другой строки; г) перестановка местами столбцов матрицы вместе с неизвестными. Элементарные преобразования а), б), в) над строками расширенной матрицы системы соответствуют следующие преобразования самой системы (3): перестановка местами двух строк расширенной матрицы системы эквивалентна перестановке местами двух соответствующих уравнений этой системы; умножение строки матрицы на число, отличное от 0, эквивалентно умножению соответствующего уравнения системы (3) на это число; прибавление к одной строке матрицы другой строки эквивалентно сложению двух соответствующих уравнений системы. Следовательно, матрица , полученная из матрицы указанными преобразованиями, является расширенной матрицей системы, эквивалентной исходной системе.

3. При этом возможны три случая: а) система имеет единственное решение, б) система имеет бесконечно много решений, в) система несовместна (не имеет решений). Рассмотрим все эти случаи на конкретных примерах.

Пример 1. Решить методом Гаусса систему

Приведем расширенную матрицу системы к трапецевидной форме.

= ® ®

® ®.

 

Следовательно, ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных, а поэтому система имеет единственное решение. Из последней строки матрицы находим (так как ), из третьей строки получаем или , а ; из второй строки получаем уравнение и находим ; наконец из первой строки получаем = .

Следовательно, есть единственное решение данной системы. Чтобы убедиться в правильности решения сделаем проверку, то есть подставим найденное решение в каждое уравнение системы:

 

Пример 2. Решить систему методом Гаусса

Приведем расширенную матрицу системы к трапецевидной форме:

= ® ® ® →= .

Данная система имеет бесконечное множество решений, так как из третьей строки матрицы получаем .

Из второй строки получаем уравнение = или. Из первой строки матрицы получаем, + + .

Обозначив , запишем множество всех решений системы

,

где – любое действительное число.

Пример 3. Решить систему

 

Приводим расширенную матрицу системы к трапецевидной форме:

 

= ® ® ® ®.

 

Из последнего уравнения полученной матрицы имеем 0 = –2, что невозможно. Значит, рассматриваемая система несовместна.

 

Задание 4. Разберём порядок выполнения этого задания на примере векторов .

Векторы компланарны (образуют базис в пространстве) смешанное произведение этих векторов отлично от нуля. Вычислим смешанное произведение = = 0 + 0 + 0 – 0 – 0 + 2 = 2 ≠ 0.

Следовательно, данные векторы образуют базис. Координаты вектора в базисе определяются равенством = + + . Подставив в это равенство декартовы координаты векторов , , получим векторное равенство = = + + + = .

Приравнивая соответствующие координаты векторов в левой и правой частях последнего равенства, получим линейную систему для определения координат вектора .

Из последнего уравнения системы находим = 1, из первого уравнения получим = – 1, = – 1.

Следовательно, в базисе вектор + .

Единичный орт вектора получается делением каждой координаты этого вектора на его длину, то есть . В нашем случае длина вектора = .

Следовательно, единичный орт вектора равен . Проекцию вектора на вектор найдем по формуле (проекция вектора на вектор равна скалярному произведению вектора на единичный орт вектора ).

Косинус угла α между векторами и находим из определения скалярного произведения = = = = .

Следовательно, .

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна модулю векторного произведения этих векторов . Вычислим сначала векторное произведение этих векторов по формуле

=

– = . Найдём теперь площадь параллелограмма = = . Объём параллелепипеда, построенного на векторах равен модулю смешанного произведения этих векторов, то есть V = 2.

Следовательно, V = 2.

Задание 5. Условимся называть – мерными векторами или просто векторами одностолбцовые матрицы вида . Пусть дана квадратная матрица порядка .

Определение. Число называется собственным числом матрицы , если существует отличный от нуля вектор (хотя бы одно число ) такой, что выполняется равенство

, (4)

 

а вектор называется собственным вектором матрицы , соответствующим собственному числу .

Из определения собственных чисел и собственных векторов следует практический способ их отыскания. Действительно, преобразуем равенство (4) следующим способом: или (так как ) или

 

, (5)

 

где – единичная матрица порядка . Равенство (5) является матричной формой записи линейной однородной системы

 

(6)

 

Известно, что однородная система (6) имеет ненулевое решение тогда, и только тогда, когда её определитель равен нулю. Следовательно, матрица имеет собственные числа и собственные векторы тогда и только тогда, когда

det . (7)

 

Равенство (7), которое является алгебраическим уравнением степени , называется характеристическим уравнением для матрицы .

Из сказанного выше следует, что число является собственным числом матрицы тогда и только тогда, когда есть корень характеристического уравнения (7). А вектор – собственный вектор матрицы , соответствующий собственному числу , тогда и только тогда, когда является решением линейной однородной системы (5) для этого .

Пример. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

= . Составим характеристическое уравнение det = = = (2 - )×[ ( - 4) + 3 ] = (2 - )( - 4 + 3) = 0.

 

Следовательно, =2, = 3, = 1 есть собственные числа данной матрицы. Теперь для каждого собственного числа найдем соответствующие им собственные векторы.

1) Для =2 система (6) имеет вид (подставили = 2). Расширенная матрица этой системы равна ® . Использованы следующие преобразования: из третьей строки вычли первую строку; из второй строки, умноженной на 2, вычли первую строку, умноженную на 3. Из последней матрицы следует, а неизвестная может принимать любые значения. Обозначив = , запишем множество всех собственных векторов, соответствующих собственному числу = 2, в виде где – любое действительное число, отличное от 0.

 

2). Для = 3 система (6) имеет вид

 

Преобразуем расширенную матрицу этой системы = ® ® .

 

Из второй строки последней матрицы находим , а из первой строки следует, что или .

Следовательно, собственные векторы, соответствующие этому собственному числу, имеют вид где – любое действительное число.

 

3) Для = 1 система (6) имеет вид

 

а расширенная матрица этой системы

 

= ® .

 

Отсюда находим .

Следовательно, искомые собственные векторы где – любое действительное число, отличное от 0.

 

 

Задание 6. Пусть точки пространства (–2, 3, 1), (0, –4, –1), а плоскость P имеет уравнение .

1. Обозначим . Если , то есть числа одного знака, тогда точки и лежат в одном полупространстве относительно плоскости P. Если же , то эти точки расположены в разных полупространствах относительно плоскости P.

 

Имеем: = = , = = = . Следовательно, разных знаков, а точки , лежат в разных полупространствах относительно плоскости P.

 

2. Длину отрезка найдём по формуле

| | = = = ;

расстояние от точки до плоскости P определяется равенством = .

 

Следовательно, расстояние от точки до плоскости P равно

 

.

 

3. Вектор , ) является направляющим вектором прямой . Следовательно, каноническое уравнение прямой (уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей данный направляющий вектор) имеет вид

 

Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью P перейдем к параметрическому уравнению этой прямой, введя параметр равенством

. Выразив из последнего равенства через : и подставив эти значения в уравнение плоскости, получим равенство . Из этого уравнения находим , а из параметрического уравнения прямой определяем координаты точки пересечения прямой и плоскости = 3 = .

Следовательно, точка пересечения имеет координаты .

 

Синус угла между прямой и плоскостью определяется следующим равенством

где направляющий вектор прямой, нормальный вектор плоскости, а скалярное произведение этих векторов. В нашем случае , .

 

4. Так как прямая должна быть перпендикулярна плоскости P, то нормаль к плоскости будет направляющим вектором искомой прямой, то есть . Каноническое уравнение искомой прямой имеет вид . Точка (–2, 3, 1) принадлежит этой прямой.

Следовательно, расстояние от точки (0,–4,–1) до прямой равно площади параллелограмма, построенного на векторах , делённой на (длину основания). Таким образом, искомое расстояние . Векторное произведение векторов равно = = .

Следовательно, .

5. Проекцией точки на плоскость P является основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость P. Уравнение этого перпендикуляра было составлено в предыдущем пункте и имеет вид = . Найдём точку пересечения этого перпендикуляра с плоскостью P. Для этого перейдём к параметрическому уравнению = и подставим в уравнение плоскости + .

Получаем, или , а координаты проекции точки на плоскость P равны + 0.

Следовательно, есть проекция точки на плоскость P. Пусть точка симметрична точке относительно плоскости P. Следовательно, точка принадлежит перпендикуляру и | | = | |. Вектор , а координаты точки равны сумме соответствующих координат точки и вектора , то есть .

 

Задание 7. При выполнении этого задания необходимо учесть связь декартовых координат точки с полярными координатами этой точки: . Пусть, например, уравнение линии в полярных координатах имеет вид . Умножив это уравнение на , получим равенство , которое в декартовых прямоугольных координатах примет вид или = . Возводя последнее равенство в квадрат, получим = или . Поделив последнее равенство на 4, получаем каноническое уравнение параболы с вершиной в точке .

 

Задание 8. 1) Если требуется вычислить предел при функции, являющейся частным двух полиномов, то говорят, что имеется неопределённость вида . Для раскрытия этой неопределённости необходимо поделить числитель и знаменатель дроби на старшую степень .

Пример. Вычислим = =

= , так как дроби стремятся к нулю при , а старшей степенью переменной является .

Пример. Вычислим = , так как старшей степенью переменной является , а после деления числителя и знаменателя дроби на , числитель стремится к 1, а знаменатель к 0.

2. Если требуется вычислить предел при ( – число) функции, являющейся частным двух полиномов, а числитель и знаменатель одновременно стремятся к 0, то говорят, что имеется неопределённость вида . Для раскрытия этой неопределённости необходимо разложить числитель и знаменатель дроби на множители и сократить .

Пример.

= = = .

3. Если числитель или знаменатель дроби содержит выражение вида , то для раскрытия неопределённости необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на сопряжённое .

Пример.

= = =

= = == = .

4. Вычисление пределов функции с помощью замечательных пределов: а) , б) в) ,

г) д) .

Пример. Вычислим предел с использованием первого

замечательного предела а). Имеем = = = 8 8

=

Пример. Пусть требуется вычислить . Для этого используем замечательные пределы в) и г). Имеем, = = = (так как при ) = = = = = = = .

Пример. Для вычисления воспользуемся замечательными пределами а) и д).

 

Действительно, = = = = = = .

Обозначим при .

Тогда получим 2 = 2 = = , так как = 1.

 

Если требуется вычислить а , = тогда говорят, что имеет место неопределённость типа . Для раскрытия такой неопределённости используется замечательный предел б).

 

Пример. Вычислим . Так как = 1, а 1– при ,

то имеет место не