Методические указания к контрольной работе 1

ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА

 

 

ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого»

 

ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА

Методические указания и контрольные задания

для студентов заочного сокращенного обучения

Часть 1

ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД

УДК 51(075.8) Печатается по решению

ББК 22.1я73 РИС НовГУ

В93

 

Рецензент

 

доктор физико–математических наук, профессор Е. Ю. Панов

 

 

Высшая математика: методические указания и контрольные задания для студентов заочного сокращенного обучения.Ч1.- 2-е изд., исп. и доп. /авт.-сост. О.Н. Барсов; ФГБОУ ВПО «Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого», Великий Новгород, 2011. – 76с.

 

Пособие содержит задания для контрольных работ за первый семестр и методические указания к их выполнению по курсу высшей математики для студентов ускоренной формы обучения заочного отделения инженерно–технических специальностей.

 

 

УДК 51(075.8)

ББК 22.1я73

 

© ФГБОУ ВПО «Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого», 2011

© О.Н. Барсов, составление, 2011

ВВЕДЕНИЕ

 

Курс высшей математики для студентов ускоренной формы обучения (на базе среднего специального образования) рассчитан на два семестра. В каждом семестре студентам необходимо выполнить две контрольных работы, каждая из которых содержит восемь заданий. Каждая контрольная работа содержит десять вариантов контрольных заданий с номерами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Номер варианта контрольной работы соответствует последней цифре номера зачетной книжки студента. Например, студент, у которого последней цифрой номера зачетной книжки является цифра 3, выполняет третий вариант всех четырех контрольных работ.

Контрольные работы должны быть оформлены в соответствии с нижеизложенными правилами:

1) каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради (12 листов) чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента;

2) на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия и инициалы студента, шифр, номер контрольной работы и название дисциплины; необходимо также, указать дату отсылки работы в университет и адрес студента; в конце работы следует проставить дату выполнения и расписаться;

3) должны быть выполнены все задания своего варианта (работы, содержащие не все задания, а также содержащие задания другого варианта, не засчитываются);

4) задачи в работе надо располагать в порядке возрастания номеров, сохраняя нумерацию;

5) перед решением каждой задачи нужно выписать полностью её условие, подставляя конкретные данные из своего варианта; решение задач следует излагать подробно, объясняя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи;

6) рекомендуется оставлять в конце тетради чистые листы для исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента (вносить исправления в сам текст работы после её рецензирования запрещается);

7) после получения не зачтённой, прорецензированной работы (зачтённые работы остаются у рецензента), студент должен исправить все указанные рецензентом ошибки и недочёты в той же тетради после слов работа над ошибками;

8) к экзамену допускаются только те студенты, контрольные работы которых зачтены рецензентом; так как на рецензирование контрольной работы преподавателю отводится две недели, то задания следует высылать на проверку заблаговременно.

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 1

 

Задание 8. Вычислите указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

6. а) , б) , в) ,

г) ;

 

Задание 9. Исследовать данные функции на непрерывность. Если у функции имеются точки разрыва, тогда определить характер разрыва

функции в этих точках (точка разрыва первого или второго рода).

 

6. а) , б) =

Задание 10. Найдите производные второго порядка функций, первая из которых задана уравнением , вторая неявно, а третья параметрически.

6. а) = , б) , в) , .

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Каждой квадратной матрице ставится в соответствие действительное число, которое вычисляется по определённым правилам по элементам матрицы. Это число называют определителем (детерминантом) матрицы и обозначают det . Порядкомопределителя называют порядок матрицы . Если требуется указать элементы матрицы, то определитель записывают следующим образом:

 

.

 

Если матрица порядка 1 и состоит из одного элемента , то определитель такой матрицы считают равным этому числу, т.е. det = . Далее будем считать, что порядок матрицы > 1.

Минором элемента матрицы называется определитель порядка –1, который образуют элементы матрицы , оставшиеся после вычёркивания в ней i– той строки и j– того столбца. Например, минором матрицы является определитель .

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называют число = . Из определения видно, что алгебраическое дополнение = , если i+j – чётное число, и = – , если i+j – нечётное число.

Определителем квадратной матрицы называют число, равное сумме произведений элементов первой строки этой матрицы на свои алгебраические дополнения.

 

1. Определитель второго порядка

= = .

Например,

= .

 

Обратная матрица

Обратной к квадратной матрице называют матрицу такую, что , где – единичная матрица.

Матрицу обратную к матрице принято обозначать . Из опреде-

ления следует единственность обратной матрицы. Действительно, если и являются обратными к матрице , тогда и . Отсюда имеем .

Теорема. Квадратная матрица имеет обратную матрицу тогда, и только тогда, когда det 0; при этом

 

,

где – алгебраические дополнения элементов матрицы , иначе говоря,

, .

Пример. Найдём , если . det = 6 + 1 = 7 ¹ 0. Следовательно, существует. Найдём алгебраические дополнения матрицы : . Следовательно, . Проверка: .

Пример. Найдём , если . Имеем, det = – 6 + 0 +0+ + 0 – 4 + 1= – 9. Алгебраические дополнения матрицы равны = = –1, .

Следовательно, = .

Проверка: .

 

Задание 2. Рассмотрим линейную неоднородную систему n уравнений с n неизвестными

 

(1)

Вместе с определителем D системы будем рассматривать определители D , получающиеся из определителя D заменой – того столбца столбцом свободных членов, т. е.

D = , D = .

 

Теорема 2 (Крамера). Система (1) имеет единственное решение Û определитель системы D ¹ 0. При этом, решение системы определяется формулами Крамера: .

Пример. Решить по теореме Крамера следующую систему:

Определитель системы = –10 – 40 –21 –8– 30 +35 = – 74 ¹ 0.

Следовательно, рассматриваемая система имеет единственное решение. Вычислим определители D .

Имеем = = 40 + 50 – 14 + 10 – 20 – 140 = –74, = –10 – 80 –15 – 8 – 60 +25 = –148, = –10 –16 + 84 +32 –30 + +14 = 74.

Таким образом, = – решение данной системы.

 

 

Пример.

= = = .

3. Если числитель или знаменатель дроби содержит выражение вида , то для раскрытия неопределённости необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на сопряжённое .

Пример.

= = =

= = == = .

4. Вычисление пределов функции с помощью замечательных пределов: а) , б) в) ,

г) д) .

Пример. Вычислим предел с использованием первого

замечательного предела а). Имеем = = = 8 8

=

Пример. Пусть требуется вычислить . Для этого используем замечательные пределы в) и г). Имеем, = = = (так как при ) = = = = = = = .

Пример. Для вычисления воспользуемся замечательными пределами а) и д).

 

Действительно, = = = = = = .

Обозначим при .

Тогда получим 2 = 2 = = , так как = 1.

 

Если требуется вычислить а , = тогда говорят, что имеет место неопределённость типа . Для раскрытия такой неопределённости используется замечательный предел б).

 

Пример. Вычислим . Так как = 1, а 1– при ,

то имеет место неопределённость типа .

Далее, = 1 + .

Обозначим при .

Тогда , а . Данный предел примет вид =1+ аат место неопределённо ( = = , так как .

 

Задание 9. Это контрольное задание относится к теме: «Непрерывность функции, точки разрыва и их классификация». Рассмотрим основные понятия, относящиеся к этой теме.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в некоторой окрестности точки (то есть можно вычислить значения функции для всех значений ( – δ, + δ), где δ есть некоторое положительное число); 2)существует = .

Если функция непрерывна в каждой точке множества X, тогда говорят, что функция непрерывна на множестве X.

Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если не является непрерывной в этой точке.

Из определения точки разрыва следует, что если не определена в точке , тогда точка является точкой разрыва этой функции. Например, функция = не определена в точке 0, следовательно, 0 является точкой разрыва этой функции.

 

Из определения также следует, что является точкой разрыва функции, если не выполняется условие 2) определения непрерывности. Развернём подробнее условие 2), используя понятие односторонних пределов. Левосторонний и правосторонний пределы функции при → обозначают так: , и, по определению, = ( стремится к , оставаясь меньше ), = ( стремится к , оставаясь больше ). Условие 2) будет равносильно следующему условию: существуют односторонние пределы , и выполняются равенства = = . Следовательно, точка будет точкой разрыва, если хотя бы одно из условий 2) не будет выполнено.

Определение. Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если существуют односторонние пределы , и ≠ либо = ≠ . При этом число – называют скачком функции в точке .

Определение. Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов , не существует или равен бесконечности.

Пример. Функция не определена в точке 0, а значит, 0 является точкой разрыва этой функции. Чтобы выяснить тип точки разрыва, вычислим односторонние пределы , . Так как , а , если , то имеем = = 1. Аналогично, так как , а , если , то = = = 0.

 

Следовательно, точка 0 является точкой разрыва первого рода данной функции, так как 1= ≠ = 0. Скачок функции в этой точке равен – = 0 – 1 = – 1.

Пример. =

Проверим непрерывность этой функции в точке 0. Так как существует (первый замечательный предел) =1, тогда, по теореме об односторонних пределах, существуют односторонние пределы , и справедливы следующие равенства = = = 1 ≠ 0 = .

 

Следовательно, точка 0 является точкой разрыва первого рода рассматриваемой функции, так как = = 1 ≠ 0 = .

 

Пример. = . Рассматриваемая функция не определена в точке 0, а значит 0 – точка разрыва . Вычислим односторонние пределы , . Имеем, = = 0, = =

= +∞.

Так как правосторонний предел = +∞, то точка 0 является

точкой разрыва второго рода.

Выделим теперь основной класс непрерывных функций. Справедливо утверждение, что все элементарные функции (степенная , показательная , логарифмическая , , , , , , , , ) непрерывны в своей области определения. Например, функция определена на множестве (0, +∞), а значит и непрерывна на этом множестве.

Перечислим основные свойства непрерывных функций. Пусть функции и непрерывны в точке .

Тогда: 1) функция C , где C есть постоянная, непрерывна в точке ; 2) + непрерывна в точке ; 3) непрерывна в точке ; 4) непрерывна в точке , если ≠ 0; 5) непрерывность суперпозиции двух функций (сложной функции): если функция непрерывна в точке , = = , а функция непрерывна в точке , тогда функция = = непрерывна в точке .

 

Из непрерывности основных элементарных функций и свойств непрерывных функций следует, что сумма, произведение и частное двух элементарных функций непрерывна в своей области определения. Например, функция + непрерывна на множестве (0, +∞); функция непрерывна в своей области определения (0,+∞) как частное двух элементарных функций. Функция определена на промежутке (–1, 1), а значит и непрерывна на этом промежутке.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

=

 

Отметим, что во всех точках, кроме точек 1, 3, функция непрерывна как элементарная функция. Точки 1, 3 могут быть точками разрыва потому, что слева и справа от них функция задаётся разными аналитическими выражениями, а именно, = для < 1 и = для > 1. Вычислим односторонние пределы в этих точках. Имеем, = = = 1, = = = = 1, = 2 ─ 1= 1.

Следовательно, = = = 1, а значит, рассматриваемая функция непрерывна в точке 1. Для точки 3 имеем, = = = –1, = = = = 1, а = 2 – 3= –1.

Следовательно, ≠ и точка 3 является точкой разрыва первого рода рассматриваемой функции.

 

Задание 10. Это задание относится к теме: «Дифференциальное исчисление функции одной переменной». Основным понятием этой темы является понятие производной функции.

Определение. Производной функции в точке называется число = , если этот предел существует; если в точке существует производная , тогда говорят, что функция дифференцируема в точке ; если функция дифференцируема на множестве X, то функция называется дифференцируемой на множестве X.

Разность – называют приращением аргумента, а разность –– называют приращением функции, соответствующим приращению аргумента – . Если обозначить приращение аргумента ∆ = – , тогда производная, в эквивалентной форме, определится так = = .

Вычислим производную функции = в точке . По определению имеем, = = = = = = .

 

Из определения производной функции и замечательных пределов получают производные основных элементарных функций.

 

Таблица производных основных элементарных функций

1. = (производная степенной функции);

 

2. = (производная показательной функции), в частности = ;

3. = = (производная логарифмической функции), в частности = ;

4. = ;