Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Методические указания к контрольной работе 2Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Задание 1. Это задание относится к теме: «Исследование функции с помощью производной и построение её графика». Для того чтобы построить график функции необходимо провести исследование основных свойств этой функции по следующей схеме:
1) найти область определения D() функции ; 2) найти точки пересечения графика функции с координатными осями; 3) выяснить, является ли функция чётной или нечётной; 4) выяснить, является ли функция периодической или нет; 5) найти интервалы возрастания (убывания) функции и точки локального экстремума; 6) найти интервалы выпуклости вверх (вниз) и точки перегиба функции; 7) найти вертикальные и наклонные асимптоты кривой (графика функции ); исследовать поведение функции на границах области определения D() (например, область определения логарифмической функции D() = (0, +∞); на границе = 0 области определения поведение функции определится в пункте 7), так как прямая = 0 является вертикальной асимптотой и , а на границе +∞ необходимо вычислить + ∞).
Остановимся подробнее на каждом выше указанном пункте схемы.
1. Областью определения функции называют множество всех значений аргумента , для которых можно выполнить все указанные в функции действия над аргументом. Область определения функции принято обозначать D(). Например, область определения функции определяется системой неравенств + 1 ≠ 0, . Эти неравенства эквивалентны неравенствам либо После объединения решений двух последних систем неравенств получим, что D() = = (– ∞, –1) [0, + ∞).
2. Точка пересечения графика функции с осью OY (осью ординат) имеет координаты (0, ). Чтобы найти точку пересечения графика с осью OX (осью абсцисс) необходимо решить уравнение = 0; если точка – решение этого уравнения, то есть = 0, тогда точка с координатами (,0) является точкой пересечения графика функции с осью OX. Если уравнение = 0 имеет несколько решений , , , , тогда точки , , , будут точками пересечения графика с осью OX. Найдём, например, точки пересечения графика функции = с координатными осями. Так как = 2, тогда точка пересечения с осью OY имеет координаты (0,2). Для определения точек пересечения графика с осью OX решим уравнение = 0, которое эквивалентно квадратному уравнению , имеющему два решения = 1, = 2. Следовательно, график рассматриваемой функции пересекает ось OX в двух точках с координатами (1,0), (2,0).
3. Определение. Функция называется чётной, если для любых значений аргумента , принадлежащих области определения D(), выполняется равенство = ; если же для любых D() выполняется равенство = , тогда функция называется нечётной.
Области определения чётной и нечётной функций должны быть симметричны относительно точки = 0, так как вместе с точкой множеству D() принадлежит и точка – . Например, функции , являются чётными, так как для них выполняется равенство = , а функции являются нечётными, так как для них выполняется равенство = . Очевидно, что произведение двух нечётных функций является чётной функцией, а произведение чётной функции на нечётную является функцией нечётной. Например, функция является чётной, так как получена умножением двух нечётных функций, а функция является нечётной как произведение чётной и нечётной функций. Функция не является ни чётной, ни нечётной функцией, так как её область определения D() = (0, +∞) не симметрична относительно начала координат. Свойства чётности и нечётности функции при построении графиков функций используются следующим образом: график чётной функции симметричен относительно оси OY, а график нечётной функции симметричен относительно начала координат. Следовательно, достаточно построить график таких функций для ≥ 0, а затем отобразить симметрично относительно оси OY (для чётной функции) либо относительно начала координат (для нечётной функции).
4. Определение. Функция называется периодической с периодом , если для всех D() выполняется равенство = .
Очевидно, что если число является периодом функции , тогда числа , где = 0, ± 1, ± 2, , также являются периодами этой функции. Основным периодом функции называют наименьший положительный период этой функции. Следовательно, основной период функций , , равен 2 , а основной период функций , равен . Отметим, что если основной период функции равен , тогда основной период функции будет равен , где . Действительно, = = = . Следовательно, по определению периода, будет основным периодом функции . Отсюда следует, что основным периодом функций будет число , а основной период функций буде равен .
Периодичность функции при построении графика учитывают следующим образом: строят график функции на промежутке , или на любом другом промежутке длины , а затем продолжают этот график по периоду на всю область определения.
5. Функция называется монотонно возрастающей (монотонно убывающей) на интервале , если для любых , , таких что , , выполняется неравенство ( ).
Для того чтобы функция монотонно возрастала (монотонно убывала) на интервале достаточно чтобы её производная > 0 () для всех значений , за исключением конечного числа точек, в которых . Например, функция имеет производную > 0 для всех , а . Следовательно, эта функ- ция монотонно возрастает на всей числовой прямой. Определение. Точка называется точкой локального максимума (локального минимума) функции , если существует число ∆ > 0 такое, что для любых значений ( – ∆, + ∆) выполняется неравенство ( ). Точки локального максимума и локального минимума функции называют точками экстремума этой функции.
Необходимый признак экстремума. Если точка является точкой экстремума функции и существует производная , тогда = = 0. Из необходимого признака экстремума следует, что у дифференцируемой функции точками экстремума могут быть только такие точки, в которых производная этой функции равна нулю. Такие точки называют стационарными точками функции. Точками экстремума функции могут быть и такие точки, в которых непрерывна, но не дифференцируема. Все точки этих двух типов, которые могут быть точками экстремума, называют критическими точками этой функции. Например, функция = непрерывна для любых (– ∞, + ∞). Производная этой функции = = . Решив уравнение = 0, найдём единственную стационарную точку . Но так как производная рассматриваемой функции не существует в точках = ± 1 (в этих точках знаменатель дроби равен 0), то у функции, кроме стационарной точки , имеются две критических точки второго типа = ± 1.
Таким образом, для отыскания точек локального минимума и локального максимума функции сначала необходимо найти все критические точки этой функции. Так как не все критические точки в действительности являются точками экстремума функции, необходимо каждую из них проверить на наличие экстремума с помощью достаточных признаков экстремума. Рассмотрим два достаточных признака экстремума. Первый достаточный признак экстремума. Пусть точка является критической точкой и существует производная на множестве (, ) (, + ∆), где число ∆ > 0. 1. Если > 0 на промежутке ( – ∆, ) и < 0 на промежутке (, + ∆) (производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку ), тогда точка является точкой локального максимума .
2. Если < 0 на промежутке ( – –∆, ) и > 0 на промежутке (x , x + ∆) (производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку ), тогда точка является точкой локального минимума .
3. Если > 0 ( < 0) на множестве (, ) (, + ∆) (производная не меняет знак при переходе через точку ), тогда точка не является точкой экстремума.
Второй достаточный признак экстремума. Пусть точка является стационарной точкой (то есть = 0). Тогда: 1) если > 0, то точка является точкой локального минимума; 2) если < 0, то точка является точкой локального максимума . Пример. Выше было установлено, что функция = имеет три критических точки = – 1, = 0, = 1. Для проверки этих точек на экстремум применим первый достаточный признак экстремума (второй признак не применим к точкам ± 1, так как в этих точках не существует производная = ). Из выражения для производной видно, что знаменатель дроби для всех значений , кроме = ± 1. Следовательно, производная меняет знак с минуса на плюс в точке = 0 ( < 0 при < 0 и > 0 при > 0), и точка = 0 является точкой локального минимума. На промежутках (–∞,–1) (–1,0) производная отрицательна (функция монотонно убывает), а на промежутках (0,1) (1,+∞) производная положительна (функция монотонно возрастает).
Следовательно, производная не меняет знак при переходе через точки = ± 1, а значит, эти точки не являются точками экстремума. Так как точка = 0 является стационарной, то для проверки этой точки на экстремум можно применить и второй достаточный признак экстремума. Действительно, = – , а = > 0.
Следовательно, точка = 0 является точкой локального минимума рассматриваемой функции.
6. Определение. Кривая называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале , если она расположена под касательной (над касательной), проведенной к этой кривой в любой точке . Так как уравнение касательной к кривой в точке имеет вид , то из определения следует, что кривая выпукла вверх на интервале , если для любых , выполняется неравенство < < , и выпукла вниз на этом интервале, если выполняется противоположное неравенство > . Справедливо следующее достаточное условие выпуклости вверх (вниз) на интервале: а) если > 0 для любых , тогда кривая выпукла вниз на ; б) если < 0 для любых , то– гда кривая выпукла вверх на интервале . Определение. Точка , ) называется точкой перегиба кривой , если кривая меняет направление выпуклости в этой точке. То есть существует число ∆ > 0 такое, что на интервале ( – ∆, ) кривая выпукла вверх (вниз), а на интервале (, + ∆) выпукла вниз (вверх). Необходимый признак точки перегиба. Если точка , ) кривой является точкой перегиба и существует , тогда = 0.
Из необходимого признака следует, что точками перегиба кривой могут быть только точки, в которых = 0 либо вторая производная не существует, а функция непрерывна. Достаточный признак точки перегиба. 1). Если < 0 ( > > 0) для всех ( – ∆, ) и > 0 ( < 0) для всех (, + ∆), тогда точка является точкой перегиба кривой. 2). Если < 0 ( > 0) для всех (, ) (, + ∆), тогда точка не является точкой перегиба кривой . Пример. Найдём точки перегиба кривой . Находим, = = , а = = .
Так как вторая производная существует для любых , то точками перегиба могут быть только точки, в которых = 0. Последнее уравнение имеет три корня = , = 0, = . Так как < 0 при (–∞, – ), > > 0 при (– , 0), < 0 при (0, ), > 0 при (, +∞), то рассматриваемая кривая выпукла вверх на множестве (–∞,– ) (0, ) и выпукла вниз на множестве (– , 0) (, +∞), а точки = ─ , = 0, = являются точками перегиба кривой.
7. Определение. Прямая линия называется вертикальной асимптотой кривой (графика функции ), если хотя бы один из односторонних пределов , равен ∞.
Например, прямая 0 является вертикальной асимптотой кривой , так как правосторонний предел = . Функция = имеет две вертикальные асимптоты ± 1, так как пределы . Для более точного представления о поведении кривой при её приближении к асимптотам вычислим односторонние пределы. Имеем, предел слева = , предел справа = ; для вертикальной асимптоты 1 левосторонний предел = , а правосторонний предел = . Определение. Прямая линия , заданная уравнением , называется наклонной асимптотой кривой при (при ), если расстояние от точки этой кривой до прямой стремится к нулю () при (при ). В случае , то есть асимптота имеет уравнение , её принято называть горизонтальной асимптотой. Отыскание наклонных асимптот основано на следующей теореме. Теорема. Прямая линия , заданная уравнением , является наклонной асимптотой кривой при (при ) а) существует (существует ), б) существует (существует ). Пример. Найдём наклонные асимптоты кривой . Сначала ищется угловой коэффициент прямой = = = = = 1. После того, как найден коэффициент k = =1, находим коэффициент = = = = = 0. Вычисление коэффициентов асимптоты проведено при , так как вычисляемые пределы одинаковы как при , так и при . Таким образом, рассматриваемая кривая имеет при и одну и туже наклонную асимптоту . Задание 2. При вычислении пределов функций возникают семь типов неопределённостей , , [o∙∞], , , , [∞ ─ ∞]. Неопределённости первых двух типов возникают при вычислении пределов вида , когда числитель и знаменатель дроби одновременно стремятся к 0 или ∞, то есть либо = = (возможно = ∞). Такого рода неопределённости непосредственно раскрывает следующая теорема. Теорема (Лопиталя). Пусть выполнены следующие условия: 1) функции , дифференцируемы на интервале ; 2) ≠ 0 на ; 3) либо ; 4) существует . Тогда существует . Теорема сформулирована для случая левостороннего предела , . Утверждение этой теоремы остаётся верным и в случае правостороннего предела , . Возможно также, что . Пример. Вычислим . Видно, что = = 0. Следовательно, = = = – 1. Пример. Вычислим . Применив правило Лопиталя (числитель и знаменатель дроби стремятся к +∞ при ), получим = = = = = 0.
Раскрытие неопределённости [o∙∞]. Такого рода неопределённость возникает при вычислении предела вида , когда , . В этом случае исходный предел преобразуют к одному из двух видов либо . В первом случае и при x → a (неопределённость типа ), а во втором случае и при (неопределённость типа ). Затем, применяя правило Лопиталя, получают = = = либо = = . Пример. Вычислим . Так как , а , то имеем неопределённость типа [o∙∞]. Здесь удобнее отпра
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-16; просмотров: 194; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.141.19.115 (0.008 с.) |