Экстремум функции двух переменных

Определение. Точка называется точкой локального максимума (локального минимума) функции , если существует число

∆ > 0 такое, что для любых точек плоскости , удовлетворяющих неравенству < ∆, выполняется неравенство ≤ ( для точки локального минимума).

Необходимый признак экстремума. Если точка является точкой локального экстремума (точкой локального максимума или минимума) функции и в этой точке существуют частные производные первого порядка , , тогда = = 0.

Точки плоскости, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называют стационарными точками функции . Из необходимого признака экстремума следует, что для отыскания точек локального экстремума функции необходимо сначала найти стационарные точки этой функции.

Например, стационарные точки функции являются решением системы двух уравнений с двумя неизвестными

Из первого уравнения системы получаем . Подставив это выражение во второе уравнение вместо y, получим равенство , из которого находим два корня = 0, = 1. Первый корень не входит в область определения функции, а по второму корню = 1 находим = –1 и стационарную точку .

Достаточный признак экстремума. Пусть точка является стационарной точкой функция ( = = 0), и функция имеет в этой точке непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Обозначим A = , B = , C = , ∆ = AC ─ B . Тогда: 1) если A > 0 и ∆ > 0, то является точкой локального минимума; 2) если A < 0 и ∆ > 0, то является точкой локального максимума; 3) если ∆ < 0, то не является точкой локального экстремума; 4) если A = 0 либо ∆ = 0, тогда требуется дополнительное исследование.

 

Пример. Найдём точки локального экстремума функции + . Ранее была найдена единственная стационарная точка этой функции . Вычисляем частные производные второго порядка в стационарной точке. Имеем, = , = 1, = . Следовательно, A = = = ─2, B = 1, C = , ∆ = AC – B = 4 – 1 = 3 > 0.

Таким образом, A = – 2 < 0, ∆ = 3 > > 0 и точка является точкой локального максимума рассматриваемой функции.

Пусть поверхность в пространстве задана уравнением = 0 и точка принадлежит этой поверхности, то есть = =0. Тогда уравнение касательной плоскости, проведенной к этой поверхности в точке , имеет вид

 

+ + = 0.

 

В частности, когда уравнение поверхности задано уравнением z = = , это уравнение можно переписать в виде = – z = =0. Тогда будет = , = , = –1, а уравнение касательной плоскости примет следующий вид

+ – = 0, где = .

 

Составим уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением в точке (–1,2). Находим, что = = 3. В нашем случае = , следовательно, = , = = . Таким образом, , и уравнение искомой касательной плоскости имеет вид . Умножив последнее равенство на 3, и перенося всё в левую часть, получим окончательно .

 

Задание 6. Определение. Функция называется первообразной для функции на промежутке , если для любых выполняется равенство .

Свойства первообразной. 1). Если – первообразная для функции , тогда , где – произвольная постоянная, тоже является первообразной для . 2). Если , – первообразные для функции , тогда = , где – постоянная, 3). Если – первообразная для функции , тогда – первообразная для функции . Например, – первообразная для функции (так как = ), следовательно, функция будет первообразной для функции .

 

Неопределённый интеграл. Из свойств первообразной следует, что множество всех первообразных для функции можно представить в виде , где – одна из первообразных, C – произвольная постоянная.

 

Определение. Неопределённым интегралом от функции назы-

вается множество всех первообразных для этой функции; неопределённый

интеграл обозначают . Следовательно, = , где

– одна из первообразных. Например, .

Свойства неопределённого интеграла. 1). Линейность = = (постоянный множитель можно вынести за знак интеграла); = + (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов). Например, = 2) = + +C. 2) = (производная от неопределённого интеграла равна подинтегральной функции). 3) = (дифференциал от неопределённого интеграла равен подинтегральному выражению).

 

Таблица неопределённых интегралов

1. ;

 

2. ;

 

3. , в частности ;

 

4. ;

 

5. ;

6. ;

 

7. ;

 

8. , в частности ;

 

9. , в частности ;

 

10. .

 

Докажем равенство 10. По определению первообразной нужно доказать, что производная правой части этого равенства равна подинтегральной функции. Действительно, имеем = = = = = .

 

Пример. Вычислим . Поделив числитель подинтегральной дроби на знаменатель, а затем, применив свойство линейности неопределённого интеграла, получаем равенства = = = + –

+ = – + .

Формула интегрирования по частям. Если – непрерывно дифференцируемые функции, тогда справедливо равенство

 

, (11)

которое называют формулой интегрирования по частям.

Рассмотрим интегралы, которые вычисляются только с помощью этой формулы.

1. Интегралы вида , , , где – полином степени , вычисляются – кратным интегрированием по частям (формула интегрирования по частям применяется столько раз, какова степень полинома). При этом полагают , , либо , либо . При каждом интегрировании по частям степень полинома уменьшается на единицу.

Пример. Вычислим . Воспользовавшись формулой (10), получим = = = – = (применим ещё раз формулу (11)) = = –

+ = + .

 

2. Интегралы вида вычисляются – кратным интегрированием по частям (формула интегрирования по частям применяется столько раз, какова степень логарифма). При этом полагают , . При каждом интегрировании по частям степень логарифма уменьшается на единицу.

 

Пример. Вычислим с помощью формулы интегрирования по частям = = –

– = (применим опять формулу интегрирования по

частям) = = – 2 = – +

+ = – + + .

 

3. Интегралы, в которых под знаком интеграла находятся обратные тригонометрические функции, тоже вычисляются интегрированием по частям. Это интегралы вида , , , . При вычислении этих интегралов за обозначают обратные тригонометрические функции.

Пример. Вычислим = = – = – = – = = – = – + – .

 

Замена переменной в неопределённом интеграле. Пусть функция непрерывно дифференцируема, а функция непрерывна, тогда справедливо равенство , которое называют формулой замены переменной в неопределённом интеграле.

Пример. Для вычисления сделаем замену , , тогда получим = = = = = =

+ .

Пример. Для вычисления сделаем замену , , , тогда получим = = = = = = = = – .

 

Задание 7. Пусть функция определена на промежутке . Точки такие, что называют разбиением промежутка . Число , , , называют рангом разбиения . Выберем произвольным образом точек . Сумму называют интегральной суммой для функции на промежутке , соответствующей данному разбиению.

Определение. Определённым интегралом от функции по промежутку называют предел интегральных сумм, когда ранг разбиения стремится к 0. Определённый интеграл от функции по промежутку обозначают . Следовательно, = . Если определённый интеграл существует, то говорят, что функция интегрируема на промежутке .