Матрицы. Функции нескольких переменных. Квадратичные формы

 

Литература [ 1, ч. 1, гл. 4, § 2; гл. 5, § 4;

6, § 15 - 21; 6, гл. 8, § 1, 2, 3, 4;

2, гл. 8, § 1, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 16;

1, ч. 1, гл. 5, § 7; 4, § 22 - 26].

 

Прямоугольная квадратная таблица, составленная из h n элементов a _ij некоторого множества, называется матрицей порядка n и записывается в виде:

.

Минором элемента a_ij является определитель М _ij, получаемый из матрицы А вычеркиванием строки с номером i и столбца с номером j.

Если определитель Δ, составленный из элементов матрицы, отличен от нуля, то матрица А имеет обратную матрицу А ^-1. При этом справедливы равенства:

,

где Е – единичная матрица порядка n,

Известно, что матрица А^-1 единственная, и она определяется формулой:

,

где - алгебраическое дополнение элемента a _ij.

Рассмотрим матрицу-столбец X и столбец B:

и запишем систему линейных алгебраических уравнений в матричной форме:

.

Решение этой системы имеет вид: .

Вектор X называется собственным для матрицы A, если выполняется равенство A×X=l×X, где l - её собственное число. Для нахождения собственных чисел матрицы A необходимо найти корни характеристического уравнения:

.

Собственный вектор Х находится как решение системы уравнений, которая в матричной форме имеет вид

.

При отыскании собственных векторов следует иметь в виду, что они определяются с точностью до произвольного множителя. Таким образом, фактически определяется собственная прямая, остающаяся неизменной при данном линейном преобразовании с помощью матрицы А.

 

 

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ ДВУХ ПРЕМЕННЫХ.

Если дифференцируемая функция f(x, y) имеет в точке (x0,y0) экстремум, то:

Далее введём обозначения:

 

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА

Если функция z = f(x, y) имеет в окрестности точки (x₀ ,y₀) первые и вторые непрерывные частные производные, то в точке (x₀ ,y₀), в которой f_x^’=0, f_y^’=0 имеет место экстремум, если M₂(x₀, y₀) > 0, причём максимум, если M₁(x₀, y₀) < 0 и минимум, если M₁(x₀, y₀) > 0. Если же M₂ < 0, то функция экстремума не имеет.

При отыскании наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области следует найти все внутренние точки, где функция может иметь экстремум. Затем нужно исследовать функцию на границе области и найти точки, где функция может принимать наибольшее и наименьшее значения. Для получения ответа сравнить числовые значения функции во всех найденных точках.

 

ГРАДИЕНТ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

 

Рассмотрим функцию трёх переменных U=f(x, y, z), которая имеет частные производные первого порядка. Тогда вектор называют градиентом функции, он задаёт направление возрастания функции U (x, y, z) с наибольшей скоростью.

Производная по направлению вектора вычисляется по формуле

Пример 8. Найти производную функции U = z×e^-xyв точке M ₀(0,1,1) по направлению вектора .

Решение. Найдем частные производные:

;

и вычислим .

Тогда .

 

Однородный многочлен второй степени относительно переменных x, y: называется квадратичной формой от этих переменных.

Если положить a ₁₂=a₂₁, то квадратичной форме можно подставить в соответствие квадратную матрицу:

.

Собственные векторы X, Y матрицы A определяют на плоскости два собственных направления . При этом, если собственные числа, то квадратичная форма в базисе собственных векторов X, Y записывается в каноническом виде:

.

Рассмотрим квадратичную форму трёх переменных:

где a₁₁=a₂₁, a₂₃=a_32, a₁₃=a₃₁.В базисе собственных векторов X, Y и Z эта квадратичная форма имеет вид:

.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду используют для приведения к каноническому виду уравнений линий и поверхностей второго порядка.

 

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И ТЕСТИРОВАНИЯ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

 

Задание 1. Даны уравнения трех прямых на плоскости l ₁, l ₂, l ₃.

Требуется:

а) найти точки пересечения прямых: М _1,2, М _1,3, М _2,3;

б) доказать, что полученный треугольник прямоугольный;

в) найти угол при вершине М _1,3;

г) найти уравнение медианы, проведенной из вершины М _1,2 и расстояние от этой прямой до вершины М _2,3;

д) найти уравнение высоты, проведенной из вершины М _1,2;

 

Варианты заданий

1 l ₁: 2 x – y = 6; 2 l ₁: 3 x + y = 2;

l ₂: 4 x + 8 y = –8; l ₂: 2 x – 6 y = 8;

l ₃: x + 6 y = –2. l ₃: 5 x + y = –8.

3 l ₁: 4 x + 3 y = 5; 4 l ₁: 5 x – y = 9;

l ₂: 3 x – 4 y = –15; l ₂: x + 5 y = 7;

l ₃: x + 5 y = –5. l ₃: 4 x + 2 y = –8.

5 l ₁: 8 x – y = 7; 6 l ₁: 6 x + y = 12;

l ₂: 4 x + 2 y = 6; l ₂: – x + 6 y = 35;

l ₃: x + 3 y = –1. l ₃: 8 x + y = –35.

7 l ₁: x + 4 y = 14; 8 l ₁: 5 x + y = 11;

l ₂: 4 x – y = 5; l ₂: x – 5 y = –3;

l ₃: 3 x + 2 y = 1. l ₃: x + y = 5.

9 l ₁: 6 x – y = 10; 10 l ₁: 7 x – y = 5;

l ₂: x + 6 y = 14; l ₂: x + 7 y = 15;

l ₃: x – y = 7. l ₃: x + 3 y = 11.

11 l ₁: 3 x – y = 7; 12 l ₁: 4 x + y = 9;

l ₂: x + 3 y = 9; l ₂: 2 x – 8 y = –4;

l ₃: x + y = 7. l ₃: x + y = 8.

13 l ₁: 2 x + 4 y = 6; 14 l ₁: 10 x – y = 9;

l ₂: 6 x – 3 y = 3; l ₂: x + 10 y = 11;

l ₃: x + y = 5. l ₃: x + y = –7.

15 l ₁: 4 x – 3 y = 5; 16 l ₁: 3 x – y = 8;

l ₂: 3 x + 4 y = 10; l ₂: x + 3 y = 6;

l ₃: x + y = 2. l ₃: x + 2 y = 8.

17 l ₁: 6 x – y = 11; 18 l ₁: 4 x + 4 y = 12;

l ₂: – x + 6 y = 4; l ₂: – x + y = 1;

l ₃: x + y = 10; l ₃: 2 x – y = 5;

19 l ₁: x + 8 y = 10. 20 l ₁: 5 x + 2 y = 12.

l ₂: – 8 x + y = –15; l ₂: – 2 x + 5 y = 1;

l ₃: x + y = –6. l ₃: x + 2 y = –5.

21 l ₁: x + 10 y = 14; 22 l ₁: 5 x – 2 y = 12;

l ₂: – 10 x + y = –39; l ₂: 2 x + 6 y = –1;

l ₃: x + y = –6. l ₃: x + 4 y = 1.

23 l ₁: 12 x + y = 10; 24 l ₁: 8 x + y = 10;

l ₂: – x + 12 y = –23; l ₂: x – 8 y = –15;

l ₃: x + y = 10. l ₃: x + y = –6.

25 l ₁: 3 x + 5 y = 11;

l ₂: – 5 x + 3 y = –7;

l ₃: x + y = 11.

 

Задание 2. Даны координаты вершин треугольника:

А (х ,у ), А (х ,у ), А (х ,у ).

Требуется:

а)найти вектор ;

б) найти длину стороны ;

в) найти координаты середины стороны ;

г) записать уравнение медианы, проведенной из вершины ;

д) вычислить площадь треугольника;

е)проверить перпендикулярность сторон и .

Варианты заданий

1 А (1,3), А (-2,5), А (7,9).

2 А (3,1), А (5,-2), А (9,7).

3 А (2,5), А (3,7), А (5,9).

4 А (5,2), А (7,3), А (9,5).

5 А (-2,4), А (3,2), А (5,7).

6 А (4,-2), А (2,3), А (7,5).

7 А (0,4), А (5,1), А (7,2).

8 А (4,0), А (1,5), А (2,7).

9 А (3,0), А (5,4), А (-1,2).

10 А (0,2), А (4,0), А (6,4).

11 А (1,1), А (5,7), А (3,3).

12 А (0,-2), А (5,0), А (-3,-4).

13 А (-1,-1), А (6,4), А (2,-1).

14 А (8,-2), А (-2,4), А (0,6).

15 А (9,1), А (7,3), А (5,7).

16 А (-2,-3), А (-4,7), А (0,5).

17 А (-5,0), А (3,0), А (7,4).

18 А (1,1), А (5,5), А (7,3).

19 А (-1,1), А (3,-7), А (5,1).

20 А (2,9), А (6,-1), А (0,5).

22 А (-2,0), А (4,-6), А (8,-2).

21 А (5,0), А (-1,6), А (7,-2).

23 А (0,2), А (8,4), А (6,0).

24 А (3,-1), А (-5,1), А (7,-3).

25 А (4,7), А (0,-3), А (8,-5).

 

Задание 3. Определить тип кривой второго порядка и построить её.

Варианты заданий

1 а) ; б) .

2 а) ; б) .

3 а) ; б) .

4 а) ; б) .

5 а) ; б) .

6 а) ; б) .

7 а) ; б) .

8 а) ; б) .

9 а) ; б) .

10 а) ; б) .

11 а) ; б) .

12 а) ; б) .

13 а) ; б) .

14 а) ; б) .

15 а) ; б) .

16 а) ; б) .

17 а) ; б) .

18 а) ; б) .

19 а) ; б) .

20 а) ; б) .

21 а) ; б) .

22 а) ; б) .

23 а) ; б) .

24 а) ; б) .

25 а) ; б) .

 

Задание 4. Уравнение кривой второго порядка привести к каноническому виду, определить ее характеристики, сделать чертеж.

Варианты заданий

1 5x² + 9y² – 30x + 18y + 9 = 0.

2 16x² + 25y² + 32x – 100y – 284 = 0.

3 4x² + 3y² – 8x + 12y – 32 = 0.

4 9x² – 18x + 4y² + 8y – 23 = 0.

5 4x² – 8x + 16y² – 32y – 44 = 0.

6 4x² – 8x + 16y² – 64y + 4 = 0.

7 9x² – 18x + 16y² + 32y – 191 = 0.

8 25x² – 100x + 9y² – 18y – 116 = 0.

9 9x² – 18x + 25y² – 50y – 119 = 0.

10 9x² + 36x + 4y² – 24y + 36 = 0.

11 16x² + 64x + y² + 6y + 57 = 0.

12 x² + 6x + 16y² + 64y + 57 = 0.

13 9x² – 18x + 16y² + 32y – 119 = 0.

14 25x² + 50x + y² + 2y + 1 = 0.

15 x² – 4x + 25y² – 50y - 71 = 0.

16 4x² + 8x – 12 = y.

17 3x² + 6x – 9 = y.

18 4y² + 8y – 12 = x.

19 3y² + 6y – 9 = x.

20 5y² – 10y – 15 = x.

21 5x² – 10x – 15 = y.

22 y² + 10y + 25 = x.

23 x² + 6x + 9 = y.

24 y² + 2y + 11 = x.

25. x² + 4x + 5 = y.

 

Задание 5. Даны координаты вершин пирамиды .

Необходимо:

а) записать уравнение прямой ;

б) записать уравнение плоскости ;

в) вычислить угол между ребром А₁А₄ и гранью ;

г) записать уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

д) вычислить объем пирамиды.

 

Варианты заданий

Вар.
	(4, 1, 4) (-6, 1, -2) (1, 3, 2) (6, 4, 2) (4, 4, 13) (-4, 2, -2) (1, 4, -8)	(-3, -1, -4) (-8, 1, -3) (-2, 13, 4) (10, -1, -3) (3, 4, 11) (-6, 3, -2) (2, -3, 4)	(4, -5, 1) (-2, 3, -2) (4, -13, -3) (12, -2, -3) (-1, -1, -7) (-18, 4, 3) (2, -4, 6)	(-6, 2, -6) (12, 2, 8) (6, -14, -2) (-8, 8, -2) (-4, 8, 2) (-16, 2, 2) (-4, 2, 8)

 

 

Вар.
	(3, 1, -5) (-4, 6, -1) (-1, 6, -4)	(-1, -2, 9) (1, -8, 1) (-3, 0, 1)	(4, 4, -13) (-2, 2, -1) (-3, -4, -1)	(4, 6, -14) (-4, 4, -2) (2, 28, 8)
	(3, 4, -2) (1, 1, 2) (-3, 2, -3) (-4, 14, -4) (0, 2, -1)	(-11, -2, -3) (1, 3, -6) (-2, 2, -1) (4, -14, 2) (6, -1, -1)	(-5, 1, -3) (-1, 1, 2) (4, -4, -1) (-3, 12, -4) (-14, 4, 4)	(-26, -6, -6) (2, -6, 12) (-4, 2, -6) (-2, -16, 8) (28, -6, -6)
	(3, -4, -2) (3, 4, 11) (-3, -2, 4) (-1, 6, 1) (-5, 4, 1)	(-1, -3, 4) (3, -4, 5) (-7, 3, 1) (2, -4, -1) (-9, 4, -1)	(-2, 1, -2) (1, -2, 5) (-9, 3, 2) (-3, 16, 4) (3, 1, 2)	(-4, 8, -16) (4, 2, -6) (-6, 6, -2) (4, -12, -4) (22, -6, 4)
	(7, 4, -1) (-3, -3, -3) (4, -8, 1) (-3, 2, 14) (3, -2, -2)	(-7, -4, -2) (2, -3, 2) (-3, 2, -1) (2, -3, 6) (4, -4, -4)	(-9, -1, 2) (-4, -5, -3) (2, -2, 2) (2, -1, 2) (-1, -3, -12)	(10, 4, -4) (8, 18, -4) (6, -28, -6) (8, 2, 4) (-6, 6, -8)