Матрицы. Функции многих переменных

 

 

Задание 13. Дана система линейных уравнений

Необходимо:

а) записать матрицу системы, свободных членов и неизвестных;

б) записать систему в матричной форме;

в) вычислить определитель системы;

г) найти обратную матрицу системы;

д) записать решение системы в матричной форме;

е) найти собственные числа и собственные векторы матрицы системы.

 

Варианты заданий

1 1; 2; 4; 3; 5; 10.

2 5; 4; 2; 3; 9; 7.

3 5; 6; 8; 7; 22; 30.

4 -1; -2; -4; -3; 5; 10.

5 -2; -3; -5; -4; 5; 10.

6 7; 8; 10; 9; -1; 1.

7 -7; -6; -4; -5; -8; -3.

8 ; - ; - ; - ; 2; 1.

9 ; ; ; ; 4; 12.

10 -3; -4; -7; -5; 1; -2.

11 4; 5; 7; 6; 13; 20.

12. ; ; ; ; -6; -10.

13 -4; -5; -7; -6; -18; -26.

14 8; 7; 5; 6; 15; 11.

15 9; 8; 6; 7; 1; -1.

16 8; 9; 11; 10; -10; -12.

17 10; 9; 7; 8; 39; 29.

18 10; 11; 13; 12; -1; 1.

19 -9; -10; -12; -11; -8; 13.

20 ; ; ; ; 16; 8.

21 ; ; ; ; 5; 7.

22 11; 12; 14; 13; 5; 20 .

23 -11; -10; -8; -9; -32; -25.

24 12; 11; 9; 10; 1; -1.

25 -12; -13; -15; -14; 4; 13.

 

 

Задание 14. Найти производную функции в точке М по направлению вектора .

1 2

 

3 4

 

5 6

 

7 8

 

9 10

 

11 12

13 14

 

Задание 15. Найти угол между градиентами функций и в точке М.

Варианты заданий

1 .

2

3 .

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

 

Задание 16. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области D. ограниченной заданными линиями.

Варианты заданий

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

 

Задание 17. Для функции двух переменных необходимо:

а) найти критические точки;

б) найти ;

в) вычислить ;

г) найти экстремальные значения функции.

Варианты заданий

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14

15 .

16 .

17 .

18 .

19 .

20 .

21 .

22 .

23 .

24 .

25 .

26 .

 

Задание 18. Для функции двух переменных

а) найти область определения функции;

б) найти и ;

в) записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Варианты заданий

1 .

2 .

3 . 4 .

5 .

6 .

 

7 .

8 .

9 . 10 .

11 .

12 .

13 .

14 .

15 .

16 .

17 .

18 .

19 .

20 .

21 .

22 .

23 .

24 .

25 .

 

РЕКОМЕНДАЦИИ СОСТАВЛЕНИЯ ТЕСТОВ

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

 

Тест 1

1 Даны уравнения прямых: l ₁: 2 x – y = 6; l ₂: 4 x + 8 y = –8. Построить их и найти точку пересечения.

2 Даны координаты вершин треугольника А (3,1), А (5,-2), А (9,7). Найти длину стороны .

3 Определить тип кривой и построить её: .

4 Даны координаты вершин треугольника: (6, 4, 2), (10, -1, -3), (12, -2, -3). Найти вектор и уравнение прямой .

5 Даны координаты вершин пирамиды: (6, 4, 2), (10, -1, -3), (12, -2, -3), (-8, 8, -2). Найти ее объем.

 

Тест 2

1 Даны уравнения прямых: l ₁: 2 x – y = 6; l ₂: x + 2 y = –2. Построить их и доказать аналитически перпендикулярность.

2 Даны координаты вершин треугольника А (3,1), А (5,-2), А (9,7). Найти уравнение прямой .

3 Определить тип кривой и построить её: .

4 Даны координаты вершин треугольника: (6, 4, 2), (10, -1, -3), (12, -2, -3). Найти угол при вершине .

5 Найти расстояние от точки до плоскости .

 

Тест 3

1 Даны уравнения прямых: l ₁: 2 x – y = 6; l ₂: 3 x + 2 y = 9. Построить прямую l ₁ и найти точки пересечения прямых l ₁ и l ₂ с координатными осями.

2 Даны координаты вершин треугольника: А (3,1), А (5,-2), А (9,7). Найти угол при вершине А .

3 Определить тип кривой и построить её: .

4 Даны координаты вершин треугольника: (6, 4, 2), (10, -1, -3), (12, -2, -3). Написать уравнение плоскости которой он принадлежит.

5 Написать уравнение прямой через точку перпендикулярно плоскости .

 

Тест 4

1 Даны уравнения прямых: l ₁: 2 x – y = 6; l ₂: -4 x +2 y = 9. Найти точку пересечения прямых и доказать их перпендикулярность.

2 Даны координаты вершин треугольника: А (3,1), А (5,-2), А (9,7). Найти уравнение медианы, проведенной из вершины А .

3 Определить тип кривой и построить её: .

4 Даны координаты вершин треугольника: (6, 4, 2), (10, -1, -3), (12, -2, -3). Написать уравнение плоскости, которой он принадлежит.

 

5 Написать уравнение прямой через точку перпендикулярно плоскости .

 

Тест 5

1 Даны точки: А (3,1), А (5,-2). Найти и .

2 Даны координаты вершин треугольника: А (3,1), А (5,-2), А (9,7). Найти уравнение высоты проведенной из вершины А .

3 Определить тип кривой и построить её: .

4. Даны координаты вершин треугольника: (6, 4, 2), (10, -1, -3),

(12, -2, -3). Написать уравнение плоскости которой он принадлежит.

5 Написать уравнение прямой через точку перпендикулярно плоскости .

 

 

ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

 

Тест 6

1 Найти предел .

2 Вычислить производную функции .

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке .

4 Найти интервалы монотонности функции .

5 Сумма двух положительных чисел . Найти наибольшую величину их произведения.

 

Тест 7

1 Найти предел .

2Вычислить производную функции .

 

3 Написать уравнение нормали к графику функции в точке .

 

4 Найти точки экстремума .

 

5 Точка движется по закону . Найти момент времени t, когда скорость равна нулю и S - путь, пройденный точкой к этому времени.

 

Тест 8

1 Найти предел .

2Вычислить в точке .

.

 

3 Найти под каким углом кривая пересекает ось ОХ в точке .

 

4 Найти критические точки .

 

5 Точка движется по закону . Найти путь, пройденный точкой к моменту остановки.

 

 

Тест 9

1 Найти предел .

2Вычислить в точке .

, .

 

3 Найти тангенс угла наклона касательной графика функции в точке .

 

4. Найти точки перегиба

 

5 Точка движется по закону . Найти её ускорение.

 

Тест 10

1 Найти предел .

2Вычислить производную:

.

 

3 Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

.

4 Найти интервалы выпуклости и вогнутости .

5 Задана скорость движения точки . Найти её ускорение.