Квадратичная функция. Посторенние графика квадратичной функции

Функция, заданная формулой , где х,у – переменные, а,в,с – заданные числа, , называется квадратичной.

Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Опишем два из них.

1 способ. Квадратичную функцию всегда можно привести к виду путем выделения полного квадрата.

Преобразуем квадратный трехчлен . Имеем: Получили формулу

Эта формула имеет вид , где и

График функции получается из графика функции с помощью параллельного переноса, при котором точка переходит в точку . Значит, график любой квадратичной функции получается из графика функции с помощью указанного параллельного переноса.

2 способ. График функции есть парабола. Ее вершиной является точка (m; n), где и Осью симметрии параболы служит прямая х = т, параллельная оси Оу. При a > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 – вниз. Для построения графика квадратичной функции находят координаты нескольких точек соответствующей параболы:

§ абсциссу вершины параболы по формуле , а ординату – ;

§ нули функции;

§ точку пересечения параболы с осью Оу – точку (0; с);

§ дополнительные точки, если необходимо.

 

	Д >0 Два корня х1 и х2; график пересекает ось Ох в двух точках.	Д = 0 Один корень х0; график касается оси Ох.	Д < 0 Корней нет; график по одну сторону от оси Ох.
a > 0
a < 0

Степенная функция

Функция вида называется степенной функциейс показателем степени n.

Если n = 2, то. 1. D(y) = R. 2. E(y) = . 3. Функция четная. 4. y=0 при x=0. 5. y > 0 при . 6. Функция возрастает на ; Функция убывает на . 7. Функция непрерывна, ограничена снизу нулем.
Если n = 3, то . 1. D(y) = R. 2. E(y) =R. 3. Функция нечетная. 4. y=0 при x=0. 5. y > 0 при ; y < 0 при . 6. Функция возрастает на R. 7. Функция непрерывна, неограниченна.
Если , то . 1. D (у) = . 2. Е (у) = . 3. Функция ни четная, ни нечетная. 4. y=0 при x=0. 5. y > 0 при x > 0. 6. Функция возрастает на . 7. Функция непрерывна, ограничена снизу нулем.

Графики степенной функции при различных значениях n представлены в таблице.

n > 0, n N	n < 0, n Z
п - четное	п - нечетное	п - четное	п - нечетное
n R,
п > 1	0 < n < 1	n < 0

 

 

Арифметическая прогрессия

Бесконечной числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел. Ее принято обозначать .

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

Это число d называется разностью арифметической прогрессии.

d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = … = a_k – a_k-1 = …

Арифметическая прогрессия задается своим первым членом a₁ и разностью d.

Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по формуле (формула n-го члена) .

Если d > 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей.

Если d < 0, то арифметическая прогрессия является убывающей.

Если d = 0, то все члены арифметической прогрессии равны между собой и она является постоянной последовательностью.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов.

или , где n, k N, n 2.

Сумма членов равноудаленных от концов прогрессии есть величина постоянная, т.е. .

Если на плоскости отмечать точки с координатами , то, все эти точки будут лежать на графике функции, задаваемой формулой .

Это означает, что арифметическая прогрессия является линейной функцией, заданной на множестве натуральных чисел N и её можно задать формулой вида , где k, b – числа.

Сумма n – первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле или .

Доказательство:

Запишем сумму n –первых членов арифметической прогрессии двумя способами.

Сложим почленно эти равенства.

В каждой скобке стоит сумма вида , где k = 0, 1, …, n-1.

Tаких скобок ровно n, тогда или , что и требовалось доказать.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, в которой первый член отличен от нуля, а каждый последующий равен предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной последовательности число не равное нулю.

Это число называется знаменателем геометрической прогрессии .

Геометрическая прогрессия задается своим первым членом b₁ и знаменателем q.

Любой член геометрической прогрессии можно записать по формуле (формула n-го члена) .

Геометрическая прогрессия возрастает, если или .

Геометрическая прогрессия убывает, если или .

Если q < 0, то последовательность является ни возрастающей, ни убывающей, т.к. знаки ее членов чередуются.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Последовательность чисел является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начинается со второго, является средним геометрическим предыдущего и последующего членов или , где n, k N, n 2.

Произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная, т.е. .

Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии

, при q ≠ 1 и при q = 1.

Доказательство:

Сумма n –первых членов геометрической прогрессии равна (1).

Если q = 1, то все члены равны b₁, тогда – что и требовалось доказать.

Если q ≠ 1, то умножим равенство на q, тогда .

По определению геометрической прогрессии

(2).

Вычтем равенство (1) из равенства (2), получим ;

;

или , что и требовалось доказать.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если |q| < 1.

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число, к которому стремится сумма ее n –первых членов при n→∞.

Сумма S бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна .