Дроби обыкновенные и десятичные

Одна или несколько равных частей единицы называются обыкновенной дробью.

Записывается с помощью черты и двух натуральных чисел. Число, стоящее под чертой и показывающее, на сколько равных частей разделена единица, называется знаменателем дроби. Число, стоящее над чертой и показывающее, сколько взято таких равных частей, называется числителем дроби.

Дробную черту можно рассматривать как знак деления:

Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице:

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной: .

Дробь, в которой числитель равен знаменателю или больше его, называется неправильной: .

Дроби и называются равными, если .

Основное свойство дроби. Если оба члена дроби увеличить в одно и то же число раз или уменьшить в одно и то же число раз, то величина дроби не изменится.

Обыкновенную дробь, знаменатель которой равен 10,100,1000 и т.д. называют десятичной дробью: .

 

Периодические дроби

Бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого разряда, цифры повторяются, называется периодической: 0,3333…=0,(3); 2,6555…=2,6(5).

Любую обыкновенную дробь можно записать в виде либо конечной десятичной дроби, либо бесконечной периодической дроби.

Правило перевода бесконечной периодической дроби в обыкновенную.

Надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и записать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, а после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.

Например: .

Правило перевода обыкновенной дроби в бесконечную периодическую дробь.

Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, следует разделить числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.

Например: .

 

Отношение. Проценты. Пропорции

Отношением числа x к числу y называется частное чисел x и y, то есть или х: у. Отношение означает во сколько раз x больше y, или какую часть числа y составляет число x.

Пропорцией называется равенство двух отношений, то есть .

а и y называются крайними членами, x и b называются средними членами пропорции.

Свойства пропорции.

· произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов, то есть если , то .

· обратно: числа a,b,x,y составляют пропорцию , если .

· из пропорции вытекают пропорции , то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

· чтобы найти неизвестный средний (крайний) член пропорции, надо произведение крайних (средних) членов разделить на известный средний (крайний) член пропорции

;

.

Процентом называется сотая часть какого-либо числа. Процент обозначается знаком %.

Чтобы число процентов выразить в виде дроби, достаточно число процентов разделить на сто.

Например: 125%=1,25; 2,3%=0,023.

Нахождение процентов данного числа. Чтобы найти а% от числа b, надо b умножить на а и разделить на 100.

Например: 30% от 60 составляют .

Нахождение числа по его процентам. Чтобы найти процентное отношение двух чисел a и b, надо отношение чисел умножить на 100%, то есть .

Например: при плановом задании 60 автомобилей в день завод выпускает 66 автомобилей. На сколько процентов выполнен план?

Решение: .

 

Целые числа

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами: 1 и -1, 2 и -2, 15 и -15,…

Числа натуральные, им противоположные, а так же число нуль составляют множество целых чисел Z.

Множество натуральных чисел, дополненное нулем, называется множеством целых неотрицательных чисел.

Для целых чисел определены действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, причем сложение, вычитание и умножение выполняются всегда.

 

Рациональные числа

Объединение множеств целых и дробных чисел (положительных и отрицательных) составляет множество рациональных чисел Q. Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

На множестве рациональных чисел можно производить действия сложения, вычитания, умножения, деления (кроме деления на нуль).

 

Иррациональные числа

Иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь. Множество таких дробей составляет множество иррациональных чисел I.

Например: 0,131331333125…;

π ≈ 3,14;

e ≈ 2,7;

и т.д.

 

Действительные числа

Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел даёт множество действительных чисел, которое обозначается R.