Числовая прямая, числовые промежутки

Прямую линию с выбранными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

Каждому числу можно поставить в соответствие единственную точку на координатной прямой.

Для числовых промежутков вводят обозначения:

· [a; b] или a≤ х ≤ b – замкнутый промежуток (или отрезок) с началом a и концом b;

· (a; b) или a< х <b - открытый промежуток (интервал);

· (a; b] или a< х ≤ b; [a; b) или a≤ х < b – полуоткрытые промежутки (полуинтервалы);

· [a; + ∞) или х ≥ a; (- ∞; b] или х ≤ b – лучи;

· (a; + ∞) или х >a; (- ∞; b) или х < b – открытые лучи;

· (- ∞; + ∞) = R – координатная прямая.

 

Модуль числа

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа a называется само это число, если a≥ 0, и противоположное число –a, если a< 0. Модуль a обозначается | a |. Итак,

Геометрически | a | означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчёта.

Если a≠0, то на координатной прямой существуют две точки a и –a, равноудалённые от нуля, модули которых равны:

Свойства.

 

Степень с натуральным показателем. Понятие. Свойства

Степенью числа a с показателем n, где n N, а R, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a: .

Число a называется основанием степени, n – показателем степени.

Свойства:

· при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним

· при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним

· при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним

· степень произведения равна произведению степеней множителей

· степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

·

·

· если 0 ≤ а < b, то

· если а > 1, то , при m > n.

· если 0 < а < 1, то при m > n.

· если а < 0, то при четном n и при нечетном n.

Утверждения:

· чётная степень отрицательного числа есть число положительное;

· нечётная степень отрицательного числа есть число отрицательное;

· любая степень положительного числа есть число положительное;

· при возведении нуля в любую натуральную степень получается нуль;

· при возведении 1 в любую натуральную степень получается единица.

Степень с целым и дробным (рациональным) показателем.

1. Рассмотрим степень а^р, где р Z.

Если р=0,то при

Если р<0, то при

2. Рассмотрим степень , где - рациональное число. Выражение имеет в общем виде смысл только при а>0. Если а>0, р Z, q N, то .

3. Степень с целым и рациональным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с натуральным показателем:

;

;

;

;

.

 

 

Квадратный корень и его свойства

Квадратным корнем из числа а называется такое число, квадрат которого равен а.

Нахождение квадратного корня из числа а называется извлечением квадратного корня.

Арифметическим квадратным корнем из числа a (а≥ 0) называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Для арифметического квадратного корня из числа а принято обозначение: . Знак называют знаком арифметического квадратного корня, а число а - подкоренным выражением.

Оба равенства для арифметических корней: при и при можно объединить в одно: при любом действительном а.

Свойства:

1. .

2. .

3. .

 

 

Числовые выражения

Из чисел, знаков действий и скобок можно составить различные числовые выражения:

Выполняя указанные в выражении действия, получим число, которое называется числовым значением или значением выражения.

Если в выражении встречается деление на нуль, то выражение не имеет смысла.

Два выражения называются тождественно равными, если при всех значениях, входящих в них переменных, принадлежащих общей области определений, соответственные значения этих выражений равны.

 

Одночлены. Многочлены

Алгебраическое выражение, представляющее собой произведение чисел переменных и их степеней, называется одночленом: 3ax⁴; -2b; 0,5c³(-3b²).

Стандартным видом одночлена называется произведение, составленное из числового множителя (коэффициента) и степеней различных переменных: -2; а; 5³; -9а⁵х³.

Степенью одночлена стандартного вида называется сумма показателей степеней переменных.

Например: 8х³у⁵ – степень одночлена равна 3+5=8;

число 7 имеет нулевую степень, т.к. 7=7х⁰.

Одночлены, отличающиеся только числовым коэффициентом или равные между собой, называются подобными. Сумму подобных членов можно заменить одним членом, сложив их коэффициенты и оставив ту же буквенную часть. Такое тождественное преобразование многочленов называют приведение подобных членов.

Алгебраическая сумма одночленов называется многочленом.

Например: 2а²-3ах⁵-6 – многочлен;

- не многочлен.

Если в многочлене все одночлены записаны в стандартном виде и приведены подобные члены, то полученный многочлен называется многочленом стандартного вида: 2х³у³+1,8ху⁴-3у+7.

Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшая степень одночлена, входящего в этот многочлен. Степень многочлена стандартного вида, рассмотренного ранее равна 3+3=6.