Евклидовы операторы и квадратичные формы.

1. Что такое функционал на линейном пространстве?

2. Как построить билинейный функционал, соответствующий заданному линейному оператору?

3. Что такое сопряженные операторы?

4. Что такое самосопряженный оператор?

5. Какими свойствами обладают собственные числа самосопряженного оператора?

6. Как выглядит матрица самосопряженного оператора?

7. Что такое квадратичная форма.

8. Как по заданной квадратичной форме построить ее матрицу?

9. Какие существуют инварианты квадратичной формы.

10. Сформулировать закон инерции квадратичных форм.

11. Как записать малую и полную квадратичные формы для кривой или поверхности второго порядка, заданной своим уравнением?

12. Как инварианты квадратичной формы связаны с типом кривой или поверхности 2-го порядка?

 

Корни многочленов

1. Доказать, что система многочленов определенного порядка образует кольцо.

2. Что такое делитель многочлена? Привести примеры.

3. Показать на примере работу алгоритма Евклида.

4. Что такое неприводимые многочлены?

5. Сформулировать основную теорему алгебры.

6. Какова связь между общим количеством корней многочлена и их кратностью?

7. Записать формулу Кардано для корней многочлена 3-й степени.

8. Записать метод Ферарьи для нахождения корней многочлена 4-й степени.

9. Сформулировать теорему Абеля.

10. Описать основные методы приближенного нахождения действительных корней многочлена.

 

Рациональные дроби.

1. Что такое рациональная дробь?

2. Доказать, что множество рациональных дробей образует поле.

3. Как преобразовать неправильную рациональную дробь в сумму многочлена и правильной дроби?

4. Что такое элементарная дробь?

5. Как разложить правильную рациональную дробь в сумму элементарных дробей?

6. Сформулировать метод неопределенных коэффициентов.

 

Матричные многочлены и функции.

1. Что такое степень матрицы?

2. Что получится при возведении единичной матрицы в n-ю степень?

3. Записать общий вид матричного многочлена.

4. Записать общий вид матричного многочлена с числовыми коэффициентами.

5. Что такое матричный ряд?

6. Что такое сходимость матричного ряда?

7. Сформулировать достаточное условие сходимости матричного ряда.

8. Дать определение основных матричных функций.

9. Сформулировать метод приближенного нахождения матричной функции разложением по малому параметру.

10. Что такое корень матричного многочлена?

11. Что такое аннулирующий многочлен для данной матрицы? Всегда ли он существует?

12. Что такое минимальный многочлен для данной матрицы?

13. Как связаны минимальный и характеристический многочлены матрицы.

14. Сформулировать теорему Гамильтона-Кэли.

 

 

Задачи для самостоятельной работы

Задачи

 

Задачи из данного раздела рекомендуется давать студентам в качестве домашних заданий.

 

БЛОК ЗАДАНИЙ № 1

 

1.	Вычислить определитель:
2.	Вычислить
3.	Найти произведение АВ, если А= , В= .
4.	Найти ранг матрицы А= .
5.	Вычислить .
6.	Решить систему линейных уравнений:
7.	Даны векторы (0;1) и (5;1). Найти скалярное произведение
8.	Найти , если .
9.	Определить площадь треугольника, построенного на векторах =(3;2;1), =(0;-1;1).
10.	Составить уравнение прямой, если прямая проходит через точку М(1;1) и имеет угловой коэффициент к=1.
11.	Определить кривую, задаваемую на плоскости уравнением x^2-2·y^2=-4.
12.	Найти точку пересечения прямой, заданной точкой A(1,2,-1) и направляющим вектором , и плоскости, заданной уравнением 2x + 3y - 2z + 3 = 0.
13.	Определить поверхность, заданную уравнением .
14.	Найти все комплексные значения
15.	Решить систему линейных уравнений:
16.	Определить объём параллелепипеда, построенного на векторах =(0;2;0), =(0;0;-4), =(1;-1;1).
17.	Найти собственные векторы и собственные числа линейного оператора, заданного матрицей
18.	Определить тип кривой

 

БЛОК ЗАДАНИЙ №2

 

1.	Вычислить определитель:
2.	Вычислить
3.	Найти произведение АВ, если А= , В= .
4.	Вычислить частный определитель D z системы
5.	Вычислить .
6.	Решить систему линейных уравнений:
7.	Даны векторы (4;3) и (-3;4). Найти скалярное произведение
8.	Найти , если ..
9.	Определить площадь треугольника, построенного на векторах =(0;2;4), =(1;-1;0).
10.	Составить уравнение прямой, если прямая проходит через точку М(2;0) и имеет угловой коэффициент к=-1.
11.	Определить кривую, задаваемую на плоскости уравнением .
12.	Найти точку пересечения прямой, заданной точкой A(1,4,3) и направляющим вектором , и плоскости, заданной уравнением 2x + 4y - 3z + 7 = 0.
13.	Определить поверхность, заданную уравнением .
14.	Найти комплексные корни уравнения
15.	Определить объём параллелепипеда, построенного на векторах =(3;0;1), =(0;2;-1), =(0;0;3).
16.	Найти собственные векторы и собственные числа линейного оператора, заданного матрицей
17.	Определить тип кривой

 

БЛОК ЗАДАНИЙ №3

 

1.	Вычислить определитель:
2.	Вычислить
3.	Найти произведение АВ, если А= , В= .
4.	Вычислить частный определитель D y системы .
5.	Вычислить .
6.	Решить систему линейных уравнений:
7.	Даны векторы (2;1) и (-1;1). Найти скалярное произведение
8.	Найти длину вектора .
9.	Определить площадь треугольника, построенного на векторах =(3;2;0), =(0;-1;1).
10.	Составить уравнение прямой, если прямая проходит через точку М(0;3) и имеет угловой коэффициент к=-1.
11.	Определить координаты фокусов эллипса 25x^2+9y^2=900.
12.	Найти точку пересечения прямой, заданной точкой A(-1,2,2) и направляющим вектором , и плоскости, заданной уравнением 2x + 3y - 2z + 4 = 0
13.	Определить поверхность, заданную уравнением .
14.	Найти все комплексные значения
15.	Определить объём параллелепипеда, построенного на векторах =(-7;0;1), =(0;4;0), =(0;0;-5).
16.	Найти собственные векторы и собственные числа линейного оператора, заданного матрицей
17.	Определить тип кривой