Векторный анализ и аналитическая геометрия в пространстве.

1. Дать определения векторного произведения двух векторов.

2. Чему равно векторное произведение одноименных и разноименных ортов?

3. Записать формулу векторного произведения в координатной форме.

4. Записать формулу для определения площади параллелограмма, треугольника.

5. Дать определение смешанного произведения трех векторов.

6. Записать формулу смешанного произведения в координатной форме.

7. Записать и объяснить различные варианты общих уравнений плоскости.

8. Записать уравнения плоскости в отрезках на осях, с угловым коэффициентом.

9. Записать формулы основных задач на плоскость.

10. Записать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве.

11. Составить уравнение плоскости по заданному нормальному вектору и заданной точке.

12. Составить уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.

13. Сформулировать и решить задачу о пересечении заданной прямой с заданной плоскостью.

 

Матрицы и детерминанты.

1. Что такое вектор-столбец, вектор-строка, прямоугольная матрица, квадратная матрица?

2. Что является результатом умножения строки на столбец? При каких условиях такое произведение определено?

3. Что является результатом умножения столбца на строку?

4. При каких условиях можно перемножить две матрицы?

5. Что является результатом произведения двух квадратных матриц?

6. Какие операции над матрицей называются элементарными?

7. Что такое транспонирование матрицы?

8. Описать метод Гаусса приведения матрицы к треугольному виду.

9. Дать определение детерминанта (определителя) n-го порядка.

10. Сформулировать основные свойства детерминантов.

11. Дать определение минору и алгебраическому дополнению элемента матрицы.

12. Что такое единичная матрица?

13. Дать определение обратной матрице.

14. При каком условии можно обратить матрицу?

15. Сформулировать алгоритм обращения матрицы.

16. Дать определение ранга матрицы.

Системы линейных алгебраических уравнений.

1. Что такое система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)?

2. Что называется решением системы линейных уравнений?

3. Как записать СЛАУ в матричной форме.

4. Что такое вырожденные и невырожденные СЛАУ?

5. Записать решение невырожденной СЛАУ в матричной форме.

6. Сформулировать теорему Кронекера-Капелли.

7. Привести примеры СЛАУ, имеющих единственное решение, имеющих бесконечно много решений, не имеющих решений.

8. Сформулировать теорему и доказать теорему Крамера.

9. Изложить алгоритм решения вырожденной СЛАУ.

Элементы теории множеств.

1. Сформулировать понятие множества. Привести примеры.

2. Дать понятия числовых и точечных множеств. Привести примеры.

3. Изложить основные способы задания и обозначения множеств.

4. Дать определения основных операций над множествами.

5. Дать определения соответствия между множествами.

6. Сформулировать понятие и мощности множества.

Числовые множества.

1. Доказать, что целые числа образуют кольцо.

2. Доказать, что рациональные числа образуют поле.

3. Доказать, что действительные числа образуют поле.

4. Дать определение комплексного числа.

5. Записать комплексное число в алгебраической и в тригонометрической формах.

6. Что такое модуль и аргумент комплексного числа?

7. Дать геометрическую интерпретацию комплексного числа.

8. Что такое комплексно-сопряженное число?

9. Сформулировать правила сложения, умножения, деления комплексных чисел.

10. Сформулировать правила возведения комплексного числа в степени и извлечения из него корня.

11. Сколько комплексных корней имеет многочлен n-й степени? Приведите примеры для n=2.

 

 

Линейные пространства.

1. Привести примеры линейных пространств.

2. Доказать, что множество всех коллинеарных между собой векторов образует линейное пространство.

3. Что является линейной оболочкой двух неколлинеарных векторов?

4. Что является линейной оболочкой двух коллинеарных векторов?

5. Что такое базис в линейном пространстве?

6. Как связаны количество базисных векторов и размерность пространства?

7. Привести примеры бесконечномерных линейных пространств.

 

Линейные операторы.

1. Дать определение линейного оператора.

2. Доказать, что линейный оператор можно представить матрицей.

3. Как линейный оператор преобразует базисные векторы?

4. Что такое собственный базис линейного оператора?

5. Как преобразуется собственный вектор линейного оператора при действии на него этого оператора?

6. Что такое собственное число линейного оператора?

7. Как сформулировать задачу на собственные значения?

8. Как получается характеристическое уравнение?

9. Как искать собственный вектор для простого (не кратного) собственного значения?

10. Как искать собственные векторы для кратного собственного значения?

11. Записать и решить задачу на собственные значения для двумерного евклидового пространства.